3.3 Efeito Hall de Spin
3.3.2 Bombeamento de Spins
Nesta se¸c˜ao analisaremos a interface FM/NM sob a excita¸c˜ao de um campo magn´etico externo de microondas. Na presen¸ca de um campo externo est´atico H0 e um campo
magn´etico rf h(t) (aplicado perpendicularmente `a H0), a magnetiza¸c˜ao M iniciar´a um
movimento de precess˜ao em torno da sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio (assumimos que na ausˆencia de h(t), M est´a alinhada com H0). Aqui a dinˆamica da rota¸c˜ao de M ser´a descrita pela
equa¸c˜ao de Landau-Liftshitz-Gilbert dM dt =−γM × Heff + αG M0 M× ∂M ∂t (3.37)
onde, por simplicidade, Heff = H0+ h(t). Na ausˆencia de amortecimento, a magne-
tiza¸c˜ao permaneceria precessionando em torno de H0 indefinidamente. Quando αG´e n˜ao
nulo temos o efeito do amortecimento na precess˜ao de M, que relaxa at´e sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio, perdendo assim, momento angular para a rede. Este momento angular perdido por M poderia ser visto como uma corrente de spins que penetra no material adjacente. Vale ressaltar que o momento angular perdido tem dire¸c˜ao paralela `a M, mas os spins associados `a este momento angular s˜ao orientados anti paralelarmente `a M, pois o fator giromagn´etico g = −2.002319 que relaciona o spin com o momento magn´etico do el´etron
µs= g( e
2me )
S ´e negativo, onde e e me s˜ao respectivamente o m´odulo da carga eletrˆonica e a massa do el´etron. O processo de bombeamento de spins em dire¸c˜ao `a camada NM, resultando em uma acumula¸c˜ao de spins na interface FM/NM, pode tamb´em ser visto como uma contribui¸c˜ao `a relaxa¸c˜ao que se soma `a relaxa¸c˜ao intr´ınseca de Gilbert.
A corrente de spin gerada pela precess˜ao de M ´e dada por [21]
jpumps = ~ 4π ( Armˆ × d ˆm dt − Ai d ˆm dt ) . (3.38) Onde jpump
3.3 EFEITO HALL DE SPIN 35
Figura 3.2: Interface FM/NM. A magnetiza¸c˜ao M = M0+ m(t) pode ser decomposta em
uma componente est´atica M0 e uma componente oscilante no tempo m(t). Na interface,
momento angular µ↑ na dire¸c˜ao de M0 ´e acumulado dentro do filme NM. Os spins
associados `a este momento angular (polariza¸c˜ao de spin anti paralela `a M0) parte deles
retorna para o filme FM, dando origem a uma corrente de volta jvoltas e parte decai dentro do material NM devido ao espalhamento de spin flip.
dire¸c˜ao da componente oscilante no tempo de M = M0+ m(t) (figura 3.2). Assumindo
um monodom´ınio uniforme espacialmente para todo t, A ≡ Ar + iAi ´e a condutˆancia de spin pumping. No regime de filmes magn´eticos ultrafinos podemos assumir Ai = 0, e
Ar ≡ depende da matriz de espalhamento do filme ferromagn´etico atrav´es de
A = g↑↓ gσσ′ ≡∑
mn
[δmn− rσmn(rmnσ′ )∗]
(3.39)
onde rmn↑ (rmn↓ ) ´e o coeficiente de reflex˜ao para el´etrons com spin up (spin down) no metal n˜ao-magn´etico e m e n denominam os modos transversos na energia de Fermi no material n˜ao magn´etico. Se assumirmos que o material NM n˜ao ´e um absorvedor perfeito de spins, ou seja, nem todo o momento angular que entra no material NM devido `a precess˜ao de M ´e absorvido pela rede, ´e de se esperar que ap´os um intervalo de tempo, uma acumula¸c˜ao de momento angular ir´a surgir na interface, no filme NM. Isto s´o ´e
3.3 EFEITO HALL DE SPIN 36
poss´ıvel pois a magnetiza¸c˜ao continua bombeando momento angular para o material NM (sistema fora do equil´ıbrio). Esta acumula¸c˜ao de spins µs(momento angular acumulado) tem dire¸c˜ao paralela `a dire¸c˜ao de equil´ıbrio M0 da magnetiza¸c˜ao. Note por´em que os
spins acumulados associados `a acumula¸c˜ao de spins µs possuem polariza¸c˜ao anti paralela `
a M0, isto se d´a pelo fato de g, o fator giromagn´etico, ser negativo.
O efeito resultante da acumula¸c˜ao de spins na dinˆamica do bombeamento de spins ´e uma corrente de spins total que decai dentro do material n˜ao magn´etico. Isto acontece pois parte dos spins acumulados na interface dentro do material NM retorna ao filme FM como uma corrente jvolta
s , e parte decai dentro do metal normal devido ao espalhamento de spin flip. Assim a corrente de spin total deve ser calculada por js = jpumps − jvoltas (note que js = 0 na ausˆencia de spin flip, pois todos os spins acumulados retornariam para o filme FM, anulando ent˜ao a corrente jpumps bombeada pelo filme FM). Esta corrente, na verdade, carrega momento angular perpendicular `a dire¸c˜ao da magnetiza¸c˜ao M0 da
interface para o material n˜ao magn´etico. Assim js corresponde a um torque no filme ferromagn´etico. Se assumirmos que este torque τ =−js ´e inteiramente transferido para a magnetiza¸c˜ao temos uma generaliza¸c˜ao da equa¸c˜ao de Landau-Liftshitz-Gilbert para a componente oscilante no tempo, aplicada a interfaces FM/NM,
dm dt =−γm × Heff + αG M0 m× dm dt + γ V js (3.40)
com M0 o valor da satura¸c˜ao da magnetiza¸c˜ao e V o volume do filme magn´etico. Encon-
trando a solu¸c˜ao para js = jpumps − jvoltas podemos escrever (3.40) na forma de (3.37) com um novo fator de amortecimento α = αG+ α′.
Para uma magnetiza¸c˜ao girante no tempo temos que tratar a acumula¸c˜ao de spin como um vetor µs para podermos levar em conta as diferentes dire¸c˜oes poss´ıveis da polariza¸c˜ao dos spins acumulados. Mesmo assim, a acumula¸c˜ao de spin µs permanece orientada paralelarmente `a dire¸c˜ao de equil´ıbrio da magnetiza¸c˜ao M, desde que a frequˆencia de
3.3 EFEITO HALL DE SPIN 37
precess˜ao ω seja menor que a taxa de spin-flip τsf−1 [21].
A corrente de spin antes definida como js = −∇δns precisa ser agora descrita como um tensor, para considerarmos a polariza¸c˜ao e a dire¸c˜ao de propaga¸c˜ao dos spins. No nosso sistema assumimos apenas propaga¸c˜ao na dire¸c˜ao (−y) de modo que
js=~(N/2)SDs
∂µs
∂y (3.41)
onde N ´e a densidade de estados de um spin, S a ´area da interface e Ds a constante de difus˜ao. Assim a corrente de spin tem polariza¸c˜ao na dire¸c˜ao de µs (paralela `a M0) e
difunde para dentro do metal normal, na dire¸c˜ao (−y), atrav´es da equa¸c˜ao (3.42) que descreve a polariza¸c˜ao local µs como:
iωµs = Ds∂y2µs− τsf−1µs. (3.42)
Satisfazendo as condi¸c˜oes de contorno de continuidade da corrente de spin na interface e valor nulo da corrente de spin para y =−LN (figura 3.2).
y = 0 : ∂yµs= 2(~NSDs)−1j0s,
y =−LN : ∂yµs = 0.
(3.43)
A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de difus˜ao (3.42) satisfazendo as condi¸c˜oes de contorno (3.43) ´e dada por
µs(y) = cosh κ(y + LN) sinh κLN
2j0
s
~NSDsκ (3.44)
onde j0s ´e a corrente de spin na interface (y = 0). A solu¸c˜ao possui vetor de onda
κ = λ−1SD√1 + iωτsf e λsd ´e o comprimento de difus˜ao caracter´ıstico do espalhamento spin-flip. J´a assumimos ω ≪ τsf−1, logo κ ≈ λ−1SD. Para um campo est´atico aplicado
3.3 EFEITO HALL DE SPIN 38
de 1T, tipicamente ω ∼ 1011 s−1. A taxa de espalhamento el´astico correspondente a
um livre caminho m´edio de λel ∼ 10 nm ´e da ordem de τel−1 ≈ 1014 s−1. Assim esta aproxima¸c˜ao ´e v´alida para metais com uma raz˜ao de conserva¸c˜ao de spin para spin-flip
ϵ ≡ τel/τsf ≥ 10−3. Esta condi¸c˜ao ´e facilmente satisfeita para ´atomos com n´umeros atˆomicos altos, pois ϵ∼ Z4.
Calculando o momento angular que retorna da interface atrav´es da difus˜ao [44][45]
jvoltas = 1 4πg
↑↓µ
s|y=0. (3.45)
Substituindo (3.44) em (3.45) encontramos a corrente de spin total na interface FM/NM j0s = jpumps − βg↑↓j0s (3.46) onde β ≡ τsfδSD/h tanh(LN/λSD) (3.47)
com δSD ≡ (NSλSD)−1. Invertendo (3.46) obtemos
j0s = 1 1 + βg↑↓j pump s = ~ 4π ˜ Ar ( ˆ m×d ˆm dt ) (3.48)
onde ˜Ar = g↑↓/(1 + βg↑↓). Substituindo na equa¸c˜ao do torque (3.40) podemos agora re-escrever a equa¸c˜ao de Landau-Liftshitz-Gilbert como
dm dt =−γm × Heff + α′ M0 m× dm dt (3.49)
3.3 EFEITO HALL DE SPIN 39
espalhamento spin-flip ´e de aumentar o amortecimento da precess˜ao da magnetiza¸c˜ao. Atrav´es de t´ecnicas experimentais como a ressonˆancia ferromagn´etica ´e poss´ıvel obter o valor de α′. Deste modo calculamos ˜Ar indiretamente atrav´es de
˜ Ar = 4πM0V γ~ (α ′− α G). (3.50)