5.5 M´etodos com espa¸camento freq¨ uencial linear por partes
5.5.1 Bounded-Q fast filter bank
OBounded-QFast Filter Bank (BQFFB), apresentado em [P1], [P4] e [66], combina o espa¸camento linear por partes da BQT com a alta seletividade do FFB. Isso pode ser alcan¸cado usando-se um CQFFB para separar o sinal de entrada em oitavas e, a seguir, aplicar um FFB dentro de cada oitava para obter um espa¸camento linear.
Nesse esquema, o CQFFB requer apenas dez canais de sa´ıda, correspondendo ao limite de dez oitavas do sistema auditivo humano, o que n˜ao demanda muito em termos de custo computacional. Este CQFFB ´e composto por filtros projetados de acordo com o seguinte procedimento:
1. Obtenha o filtro da oitava mais alta (indexada por D) a partir do segundo filtro de um FFB de dois canais;
2. Obtenha o filtro de cada oitava seguinte (indexada pord = (D−1), ...,1) como a cascata do segundo filtro de um FFN de 2D−d+1 canais com o primeiro filtro de um FFB de 2D−d canais.
Este procedimento ´e descrito pelo Algoritmo 5.1. Neste algoritmo, o filtro se-parador da oitava de ´ındice d ´e denotado por CQF F B(d), D indica o n´umero de oitavas e o filtro de ´ındiceb de um FFB de ccanais ´e representado porF F B(c, b).
Algoritmo 5.1Algoritmo para forma¸c˜ao dos filtros CQFFB separadores de oitava.
Para d=D at´e 1 Se d=D
CQF F B(d)←F F B(2,2) sen˜ao
CQF F B(d)←F F B(2D−d+1,2)∗F F B(2D−d,2) Fim do “Se”
Fim do la¸co “Para”
0000 0000 0000 1111 1111 1111 00000
00000 00000 11111 11111 11111
0000 0000 0000 1111 1111 1111 00000
00000 00000 11111 11111 11111
0000 0000 0000 1111 1111 1111
00 00 00 11 11 11
FFB de 2 canais
FFB de 2 canais
FFB de 4 canais
D
D − 1
π 2 π
2 π
2 π
2 π
π 2
π
π
2
π
π
2
π
π
2
Figura 5.5: Procedimento para construir os filtros CQFFB para separar oitavas em um BQFFB. As regi˜oes hachuradas em apenas uma dire¸c˜ao indicam as bandas de passagem dos filtros que comp˜oem um filtro separador de oitava e as regi˜oes hachuradas em duas dire¸c˜oes denotam as bandas de passagem dos filtros separadores de oitavas resultantes. ´E mostrada apenas a passagem da oitava D para a oitava D−1 para ilustra¸c˜ao.
Como ilustra¸c˜ao adicional, a Figura 5.5 mostra a passagem da oitava D para a oitavaD−1. Nesta figura, exitem regi˜oes hachuradas em apenas uma dire¸c˜ao (que indicam filtros que comp˜oem um filtro separador de oitava) e regi˜oes hachuradas em duas dire¸c˜oes (que denotam os filtros separadores de oitavas resultantes). O procedimento pode ser entendido da seguinte forma:
• O primeiro gr´afico mostra a forma¸c˜ao do filtro relativo `a ´ultima oitava, de
´ındice D. Esse filtro ´e formado pelo segundo filtro de um FFB de 2 canais.
O primeiro filtro desse FFB se estende de −π/2 a π/2. O segundo filtro se estende de π/2 a 3π/2, que ´e a regi˜ao hachurada. Como o sinal de entrada ´e real, ou seja, o espectro estende-se de 0 aπ, a interse¸c˜ao entre a banda do sinal de entrada e a banda de passagem do segundo filtro do FFB de 2 canais pode ser vista como a banda de passagem do filtro separador de oitavas relativo `a oitava D, hachurada em duas dire¸c˜oes. A raz˜ao para esta primeira etapa do procedimento ´e o fato de que o filtro associado `a oitava mais alta (indexada porD), cuja banda de passagem vai deπ/2 aπ, ´e realizado pelo segundo filtro de um FFB de 2 canais. A banda resultante ´e limitada pela borda superior do espectro do sinal (ver parte superior da Figura 5.5).
• O segundo gr´afico mostra um FFB de 2 canais. Novamente, o primeiro filtro desse FFB se estende de −π/2 a π/2. Para se obter o filtro relativo `a oitava D−1, necessita-se deste filtro, cuja regi˜ao est´a hachurada.
• O terceiro gr´afico mostra um FFB de 4 canais em que o segundo canal est´a ha-churado. O filtro relativo a este segundo canal tamb´em ´e usado para constituir o filtro relativo `a oitava D−1.
• O quarto gr´afico mostra a interse¸c˜ao entre a regi˜ao hachurada no segundo gr´afico e a regi˜ao hachurada no terceiro gr´afico, que resulta no filtro relativo
`a oitava de ´ındice D−1, segundo o Algoritmo 5.1. Para a oitava (D−1), o filtro deve ser projetado de modo que seu limite inferior seja π/4 e seu limite superior seja π/2. Esses limites podem ser alcan¸cados combinando-se o primeiro filtro baixas) do primeiro gr´afico com o segundo filtro (passa-banda) do segundo gr´afico.
Esse processo ´e repetido iterativamente at´e que se chegue `a oitava mais baixa (es-tendida at´e DC), permitindo construir os demais n´ıveis do banco de filtros. Usando-se os filtros anteriormente mencionados na Se¸c˜ao 5.3.2 (isto ´e, com as mesmas ordens descritas em [62]) para separa¸c˜ao de oitavas, o total de coeficientes n˜ao-nulos ne-cess´arios para tal procedimento ´e dado pela Tabela 5.2.
Tabela 5.2: N´umero acumulado de coeficientes n˜ao-nulos dos filtros CQFFB sepa-radores de oitava usados no BQFFB, onde d=D´e a oitava mais alta.
N´umero ´Indice da Coeficientes Coeficientes octaves (D) oitava (d) na oitava d acumulados F(D)
1 D 7 7
2 D−1 6 13
3 D−2 3 16
4 D−3 3 19
5 D−4 2 21
6 D−5 2 23
7 D−6 2 25
8 D−7 2 27
9 D−8 2 29
10 D−9 2 31
Depois que as oitavas tiverem sido separadas na etapa deconstant-Q, cada uma deve ser dividida em N canais linearmente espa¸cados atrav´es do seguinte procedi-mento, tamb´em visualizado na Figura 5.6. Nessa figura, est˜ao mostradas as 3 oitavas superiores, de ´ındicesD, D−1 e D−2.
1. Para d = 1, ..., D, sub-amostrar o sinal de sa´ıda do filtro relativo `a oitava d por um fator igual a 2D−d+1. ´E importante reparar que a oitava de ´ındice D tamb´em ´e sub-amostrada;
2. Submeter cada sinal sub-amostrado a um FFB de 2N canais, obtendo os canais
da oitava d separados.
Esse procedimento pode tamb´em ser descrito atrav´es do Algoritmo 5.2, no qual D ´e o n´umero de oitavas, X ´e o sinal de entrada, CQF F B(d) ´e o filtro CQFFB separador de oitavas relativo `a oitavad, F F B2N ´e o FFB de 2N canais, YBQF F B ´e a sa´ıda do BQFFB, o operador⊗ denota convolu¸c˜ao e ↓indica sub-amostragem:
Algoritmo 5.2Algoritmo para implementa¸c˜ao do BQFFB atrav´es de um CQFFB seguido por um FFB.
Para d= 1 at´e D
Y =CQF F B(d)⊗X YS =Y ↓2D−d+1 B(d) =F F B2N ⊗YS Fim do la¸co “Para”
YBQF F B =PD
d=1B(d)
Figura 5.6: Implementa¸c˜ao do BQFFB baseada em um CQFFB seguido de um FFB.
A sub-amostragem do sinal de cada oitava faz com que seu espectro fique mais largo (de 0 a 2π), sem necessitar do filtro de decima¸c˜ao, j´a que os filtros FFB de alta seletividade empregados na etapa de separa¸c˜ao de oitavas eram suficientes para
evitar aliasing. ´E importante notar que o FFB usado dentro de cada oitava deve apresentar o dobro do n´umero de canais que se deseja separar, visto que a parte ne-gativa das respostas em freq¨uˆencia dos filtros tamb´em ´e gerada. A Tabela 5.2 mostra o n´umero acumulado F(D) de coeficientes n˜ao-nulos para os filtros separadores de oitavas calculados em fun¸c˜ao do n´umero de oitavas, denotado por D. Assim, o n´umero de multiplica¸c˜oes complexas por amostra de entrada para o BQFFB ´e dado por:
CBQFFB,Total = (F(D) +D) + 2C(l)D, (5.16)
onde C(l) ´e obtido da Tabela 5.1.
A Tabela 5.3 resume as principais caracter´ısticas de todas as ferramentas de an´alise espectral vistas at´e aqui. Por fim, ´e importante lembrar que, diferentemente da FFT e do FFB, nem o CQFFB nem o BQFFB s˜ao estruturalmente invers´ıveis.
A ress´ıntese direta do sinal analisado atrav´es desses m´etodos requer um banco de filtros de s´ıntese que possa aproximar a reconstru¸c˜ao perfeita. Esse fato resulta da n˜ao-inversibilidade da CQT [56].
Tabela 5.3: Compara¸c˜ao entre as diferentes ferramentas de an´alise espectral. O asterisco (*) indica as ferramentas de alta seletividade baseadas em FFB, as quais tendem a ser mais complexas que as baseadas em FFT.
Ferramenta Distribui¸c˜ao Seletividade Complexidade de an´alise na freq¨uˆencia do canal Computacional
FFT linear baixa baixa
FFB linear alta baixa (*)
CQT geom´etrica baixa alta
CQFFB geom´etrica alta alta (*)
BQT linear por partes baixa m´edia
BQFFB linear por partes alta m´edia (*)