O Bounded Real Lemma

A maior parte dos resultados auxiliares ao JBRL, Lema 3, diz respeito ao funcional de custo definido acima. O primeiro teorema que estabelecemos ´e o seguinte:

Teorema 4 Para qualquer condic¸˜ao inicial(x0,θ0) e todo v ∈ Lⁿv

2 (T ), bem como T > 0 e

P= (P1, P2, . . .) : [0, T ] → Hn∗

supcontinuamente diferenci´avel, o funcional de custo definido em (4.4) pode ser escrito sob a forma

Jγ T(x0,θ0, v) = Ehx0, P_θ0(0)x0i − Ehx(T ), P_θT(T )x(T )i + Z T 0 E ( hx(t), ˙Pθt(t)x(t)i + *" x(t) v(t) # , M_θ^γ_t(P(t)) " x(t) v(t) #+) dt, (4.5)

onde, para m= n + nv, definimos Mγ_{(P) = (M}^γ

matrizes m× m Mγ i(P) = " Ti(P) −C_i^∗Ci Gi(P) G_i(P)^∗ Hγ i # , (4.6) com Gi(P) = PiBi−C_i^∗Die Hγ i =γ2Inv− D^∗_iDipara qualquer i∈ S .

Prova: Considere a seguinte func¸˜ao de Lyapunov:

F(t, x(t)) =

∑

j∈S

tr(Pj(t)Qj(t)) =

∑

j∈S

E{hx(t), Pj(t)x(t)i1_{{θt= j}}}, (4.7)

onde Q_j(t) := E[x(t)x(t)^∗1_{θt= j}], j ∈ S . Considere ainda as func¸˜oes Ft-mensur´aveis

f_j(t, x(t)) = hx(t), Pj(t)x(t)i e Fj(t, x(t)) = E[ fj(t, x(t))1_{{θt= j}}], cuja diferencial se

es-creve:

dF_j(t, x(t)) = E{d fj(t, x(t))1_{{θt= j}}} + E{ fj(t, x(t))d1_{{θt= j}}}. (4.8)

A fim de calcular a primeira diferencial no lado direito da express˜ao acima iremos proce-der da seguinte maneira, ondeδf_j(t, x(t); dx(t)) denota a primeira variac¸˜ao Gˆateaux de fj na direc¸˜ao(0, dx(t)), calculada em (t, x(t)):

d f_j(t, x(t)) = ∂

∂t ^fj(t, x(t))dt +δf_j(t, x(t); dx(t))

= {hx(t), ˙Pj(t)x(t)i + hAjx(t) + Bjv(t), Pj(t)x(t)i

+hPj(t)x(t), Ajx(t) + Bjv(t)i}dt. (4.9) Com relac¸˜ao ao segundo termo no lado direito de (4.8) temos que:

E[ fj(t, x(t))d1_{{θt= j}}] = E[ fj(t, x(t))1_{{θt+dt= j}}− fj(t, x(t))1_{{θt= j}}] = E f_j(t, x(t))[P(θt+dt = j|θt) − P(θt= j|θt)] = E

λ_θtjf_j(t, x(t))dt + o(dt) , (4.10) assumindo j6=θt. No entanto, para j=θt temos que P(θt+dt = j|θt) − P(θt = j|θt) =

1+λθtθtdt+ o(dt) − 1, e portanto (4.10) vale para todo j ∈ S .

Somando a express˜ao (4.8) para todo j∈ S e eliminando os termos o(dt) decorre,

uma vez que a seq¨uˆencia de somas parciais∑M

j=1F_j(t, x(t)) converge uniformemente para

um limite em[0, T ], que

dF(t, x(t)) = Ehx(t), ˙Pθtx(t)idt *"

e o resultado segue em se integrando ambos os lados da express˜ao acima e combinando a (4.4).

O principal resultado deste cap´ıtulo (JBRL) ´e apresentado a seguir.

Lema 3 (Jump-Bounded Real Lemma) O sistemaΣ ´e SS comkLk <γ se e somente se

existir P= (P1, P2, . . .) ∈ ˜Hⁿ⁻

suptal que Mγ_{(P) ∈ ˜H}m+

sup.

A pr´oxima proposic¸˜ao prova o teorema acima em uma direc¸˜ao, i.e., estabelece uma relac¸˜ao entre SS comkLk <γ e a existˆencia de algum P∈ ˜Hⁿ_sup⁻ tal que Mγ_{(P) ∈ ˜H}m+

sup.

Proposic¸˜ao 4 O sistemaΣ´e SS comkLk <γsempre que existir P∈ ˜Hⁿ⁻

suptal que Mγ_{(P) ∈}

˜

H^m+

sup.

Prova: Da hip´otese temos que existeε > 0 tal que M_i^γ(P) ≥ε2I para todo i∈ S .

Logo, escolhendo qualquer 0< ˜ε2<ε2teremos as desigualdades estritas Mγ

i(P) − ˜ε2I>

0, donde o primeiro bloco diagonal[M_i^γ(P) − ˜ε2I]11= Ti(P) −C_i^∗C_i− ˜ε2I_n> 0 para todo

i∈ S . Assim, definindo Ri= Ti(P) −C_i^∗C_i− ˜ε2I_n> 0, i ∈ S , decorre que existe −P ∈

˜

Hⁿ⁺

suptal que

Ti(−P) + (Ri+C_i^∗Ci+ ˜ε2

In) = 0, i∈ S , (4.12) ondeRi+ C_i^∗Ci+ ˜ε2In> ˜ε2In, de onde segue a estabilidade SS de Σ, de acordo com o Teorema 3. Al´em disso tem-se, para taisγ e P, que

Jγ T(0,θ0, v) = Z T 0 E[γ2kv(t)k²− k(Lv)(t)k²]dt = −Ehx(T ), P_θTx(T )i + Z T 0 E *" x(t) v(t) # , M_θ^γ_t(P) " x(t) v(t) #+ dt ≥ 0 +ε2^{Z T} 0 E[kv(t)k²]dt, (4.13) que ´e estritamente positivo sempre quekvkR₊6= 0. Por fim, fazendo T →∞ decorre que γ2kvk2

R₊ > kLvk2

R₊ para qualquer v∈ Lⁿv

2 (R+) com kvkR₊ 6= 0, donde conclu´ımos que kLk <γ.

Para provar a segunda parte do JBRL, Lema 3, primeiro ser˜ao estabelecidos alguns resultados intermedi´arios.

A seguinte proposic¸˜ao especializa o principal resultado de [89] para que seja utilizado aqui. S˜ao estabelecidas a existˆencia e unicidade de soluc¸˜oes para as equac¸˜oes diferenciais

em espac¸o de Banach de que estaremos tratando em seguida.

Proposic¸˜ao 5 Existem func¸˜oes X = (X1, X2, . . .) e Y = (Y1,Y2, . . .) de (−∞, T ] em Hn∗

sup

tais que, para qualquer i∈ S e todo 0 < T <∞,

˙ X_i+ Ti(X ) −C_i^∗C_i= 0, X_i(T ) = 0, (4.14) e ˙ Y_i+ Ti(Y ) −C_i^∗C_i− Gi(Y )R⁻¹_i G_i(Y )^∗= 0, Y_i(T ) = 0, (4.15) onde R= (R1, . . .) ∈ Hⁿv+

sup e R_i> 0, i ∈ S . Al´em disso, as ´unicas soluc¸˜oes s˜ao

continua-mente diferenci´aveis.

Prova: ´E suficiente provar a existˆencia (com as propriedades indicadas) de Y , uma vez que (4.15) se reduz a (4.14) quando B e D s˜ao identicamente zero. A equac¸˜ao (4.15) pode ser escrita como

˙

Y_i+Yi_A˜_i+ ˜A^∗_iY_i+

∑

j6=i

λi jY_j+ ˜Q_i−YiB_iR⁻¹_i B^∗_iY_i= 0, (4.16) onde ˜A_i= Ai+¹₂λiiI+ BiR⁻¹_i D^∗_iC_i e ˜Q_i= −C_i^∗(I + DiR⁻¹_i D^∗_i)Ci para i∈ S . Mais ainda,

tem-se que ˜A= ( ˜A₁, ˜A₂, . . .) ∈ Hn

sup e ˜Q= ( ˜Q₁, ˜Q₂, . . .) = ˜Q^∗.

Os resultados de existˆencia e unicidade de Y seguem ent˜ao pelo mesmo procedimento apresentado na prova do Theorem 4.1 em [89].

O lema a seguir estabelece que o custo associado a qualquer perturbac¸˜ao em Lⁿv

2 (T )

e condic¸˜ao inicial fixada pode ser inferiormente limitado de maneira uniforme.

Lema 4 Supondo SS do sistemaΣcomkLk <γ tem-se, para qualquer condic¸˜ao inicial

(β, i) ∈ Cn× S e todo T > 0, que existe uma constante finita c > 0 tal que Jγ

T(β, i, v) ≥ −ckβk² ∀ v ∈ Lⁿv

2 (T ). (4.17)

Prova: Com base na Proposic¸˜ao 5 escolha X_T = (XT,1, XT,2, . . .) : [0, T ] → Hn∗

sup

sa-tisfazendo (4.14) sobre todo[0, T ], de tal forma que o funcional de custo na forma do

Teorema 4, considerando X_T(·) no lugar de P(·), se escreve Jγ

T(β, i, v) = hβ, XT,i(0)βi + Z T

Podemos facilmente remover o ´ultimo termo de dentro da integral, escrevendo Jγ

T(0, i, v)

sob a mesma forma e lembrando que x(·) = xzi(·) + xzs(·). Resulta ent˜ao que Jγ T(β, i, v) = J^γ_T(0, i, v) + hβ, XT,i(0)βi + Z T 0 E{hG_θt(XT)^∗x_zi(t), v(t)i + hv(t), G_θt(XT)^∗x_zi(t)i}dt. (4.19)

Defina v₀(·) = v(·)I_{[0,T ]}(·). Escolhendo ent˜ao ε> 0 tal que ε2<γ2− kLk2 tem-se

Jγ T(0, i, v) ≥ γ2kv0k²R₊− kLv0k²R₊ ≥ (γ2− kLk²)kv0k²R₊ ≥ ε2^Z ∞ 0 E[kv0(t)k²]dt = Z T 0 Ehεv(t),εv(t)idt, (4.20) e assim, completando quadrados, podemos eliminar um termo quadr´atico:

Jγ T(β, i, v) ≥ hβ, XT,i(0)βi + Z T 0 E{hεv(t),εv(t)i +hε−1Gθt(XT)^∗x_zi(t),εv(t)i + hεv(t),ε−1Gθt(XT)^∗x_zi(t)i +kε−1Gθt(XT)^∗x_zi(t)k²− kε−1Gθt(XT)^∗x_zi(t)k²}dt ≥ hβ, XT,i(0)βi −ε−2^{Z T} 0 E[kG_θt(XT)^∗x_zi(t)k²]dt. (4.21)

Em seguida procuremos por limitantes uniformes para X_T(·) sobre todo [0, T ]. Pela

ho-mogeneidade de (4.14) temos que X_T(t) = XT−t(0) para qualquer t ∈ [0, T ], levando a hβ, XT,i(t)βi = hβ, XT−t,i(0)βi = J^γ_T−t(β, i, 0) = −kzk²_T−t≤ 0. (4.22) O limitante inferior pode ser obtido como segue: primeiro note que, para v identicamente zero, temos que z(s) = C_θsx_zi(s) para s ∈ [0, T ], donde

E[kz(s)k²] =

∑

j∈S E[kC_θsx_zi(s)k²1_{θs= j}] ≤

∑

j∈S E[kCjk²kxzi(s)k²1_{θs= j}] ≤ kCk²_sup

∑

j∈S E[kxzi(s)k²1_{θs= j}] = kCk²_supE[kxzi(s)k²], (4.23)

e portanto existe uma constante c₀> 0 tal que Z T−t 0 E[kz(s)k²]ds ≤ kCksup Z ∞ 0 E[kxzi(s)k²]ds ≤ c0kCksupkβk², (4.24) diretamente da hip´otese de SS. Juntando os resultados segue que, para qualquerβ ∈ Cⁿ,

De maneira an´aloga a (4.23) decorre, sempre omitindo a dependˆencia temporal de X_T(·),

que E[kG_θt(XT)^∗x_zi(t)k2] ≤ kG(XT)k2

supE[kxzi(t)k2]. Como kGj(XT)k = kXT, jB_j−

C^∗_jDjk ≤ kXT, jkkBjk + kCjkkDjk, segue de (4.25) que, para todo t ∈ [0, T ],

kG(XT(t))ksup≤ c0kCksupkBksup+ kCksupkDksup (4.26) e assim, mais uma vez usando a hip´otese de SS,

Z T 0

E[kG_θt(XT)^∗x_zi(t)k²]dt ≤ kCk_sup² (c0kBksup+ kDksup)²kxzik²R₊

≤ c0kCk²_sup(c0kBksup+ kDksup)²kβk². (4.27) Substituindo (4.25) e (4.27) de volta em (4.21) vem o resultado,

Jγ

T(β, i, v) ≥ −{c0kCksup+ε−2c₀kCk²_sup(c0kBksup+ kDksup)²}kβk²

≥ −ckβk², (4.28)

para alguma constante c> 0 convenientemente escolhida.

O seguinte lema garante a positividade uniforme do segundo bloco diagonal da matriz

Mγ_{(·) definida em (4.6), que ´e obviamente uma condic¸˜ao necess´aria para que o Lema 3}

se verifique.

Lema 5 Suponha que o sistemaΣ´e SS comkLk <γ. Ent˜ao Hγ_{= (H}γ

1, H₂^γ, . . .) ∈ ˜Hⁿv+

sup.

Prova: Note que kH^γksup= sup_i∈Skγ2I_nv− D^∗_iD_ik ≤γ2+ kDk2

sup; portanto, falta somente provar que existe ε> 0 tal que H_i^γ≥ε2Inv para todo i∈ S . Em primeiro lugar,

provemos por contradic¸˜ao que Hγ

i ≥ 0 sobre i ∈ S ; isto ´e, suponha que existaµ ∈ Cⁿv, ˜

µ := kµk, tal que hµ, H_i^γµi < −α para algum i∈ S eα > 0.

Tome mais uma vez o ´unico X_T :[0, T ] → Hn∗

supque satisfaz (4.14) para todo i∈ S .

Assim, omitindo sua dependˆencia no tempo,

Jγ T(0, i, v) = Z T 0 E{hxzs(t), G_θt(XT)v(t)i + hG_θt(XT)v(t), xzs(t)i +hv(t), H_θ^γ tv(t)i}dt. (4.29)

Considerando vδ^{(·) =}µI_[0,δ)(·) no lugar de v temos que, para todo t∈ [0,δ), E{hxzs(t), G_θt(XT)v(t)i + hG_θt(XT)v(t), xzs(t)i} =

∑

j∈S E{[hxzs(t), G_θt(XT)µi + hG_θt(XT)µ, xzs(t)i]1_{{θt= j}}} ≤

∑

j∈S

2kE[xzs(t)1_{{θt= j}}]k kGj(XT)µk ≤ 2 ˜µkG(XT)ksupkE[xzs(t)]k

≤ 2 ˜µ(c0kBksup+ kDksup)kCksupkE[xzs(t)]k, (4.30) onde empregamos (4.26) para obter a ´ultima desigualdade. Voltando a (4.29) e usando a hip´otese de negatividade em Hγ

i teremos que, para algumκ> 0 adequado,

Jγ

T(0, i, v_δ) ≤ Z δ

0 {κkE[xzs(t)]k −α}dt. (4.31) Uma vez que as trajet´orias de θ s˜ao cont´ınuas `a direita, segue que E[xzs(t)] tamb´em ´e

cont´ınua em t = 0⁺. Tendo em mente que x_zs(0) = 0, decorre que o lado direito da

ex-press˜ao acima ´e portanto negativo em se tomandoδ > 0 suficientemente pequeno. Mas

isso contradiz o lema anterior, donde se conclui que Hγ

i ≥ 0 para qualquer i ∈ S .

Finalmente, considere 0<ε<γ e ˜γ= (γ2−ε2)^1/2, de tal forma quekLk < ˜γ<γ.

Repetindo os passos anteriores desde o comec¸o com ˜γ no lugar de γ conclu´ımos que

Hγ^˜

i = (γ2−ε2)Inv− D^∗_iD_i≥ 0 para todo i ∈ S , donde

Hγ

i =γ2I_nv− D_i^∗D_i≥ε2I_nv (4.32)

segue imediatamente.

Em seguida estabelecemos um resultado que relaciona a minimizac¸˜ao do funcional de custo Jγ

T(x0,θ0, ·) a uma perturbac¸˜ao espec´ıfica vT, para uso posterior.

Lema 6 Suponha que o sistemaΣ´e SS comkLk <γe denote como PT a soluc¸˜ao de (4.15)

com Hγ _{no lugar de R. Assim, definindo K(P}

T) = (K1(PT), K2(PT), . . .) com Ki(PT) = −(H_i^γ)⁻¹G_i(PT)^∗sobre i∈ S , temos que:

(i) A perturbac¸˜ao estoc´astica v_T(·) := K_θ(·)(PT)x(·) ´e tal que

v_T = arg min

v∈DJγ

T(x0,θ0, v), (4.33)

(ii) O custo m´ınimo associado ´e dado por Jγ T(x0,θ0, vT) = Ehx0, PT,θ0(0)x0i, (4.34) e, obviamente, Jγ T(x0,θ0, vT) ≤ J^γ_T(x0,θ0, v) para qualquer v ∈ Lⁿv 2 (T ).

Prova: De acordo com a positividade de(H_i^γ)^∗= H_i^γ sobre todo i∈ S (Lema 5),

podemos definir o produto internoh·, ·i_Hγ θt

= h·, H_θ^γ

t·i e a norma induzida pelo mesmo, k · k_Hγ

θt

. Ent˜ao a prova vem facilmente, uma vez que se escreva o custo em uma forma mais adequada. Do Teorema 4:

Jγ T(x0,θ0, v) = Ehx0, P_θ0(0)x0i − Ehx(T ), P_θT(T )x(T )i + Z T 0 E{hx(t), [ ˙Pθt+ T_θt(P) −C_θ^∗_tCθt]x(t)i + hG_θt(P)^∗x(t), v(t)i +hv(t), G_θt(P)^∗x(t)i + hv(t), H_θ^γ_tv(t)i}dt = Ehx0, P_θ0(0)x0i − Ehx(T ), P_θT(T )x(T )i + Z T 0 E{kv(t) − K_θt(P)x(t)k²_Hγ θt +hx(t), [ ˙Pθt+ T_θt(P) −C_θ^∗_tCθt− G_θt(P)(H_θ^γ t)⁻¹Gθt(P)^∗]x(t)i}dt. (4.35) Uma vez que o custo associado a um dado conjunto de argumentos ´e independente de uma escolha particular em P (pela sua pr´opria definic¸˜ao), ´e poss´ıvel considerar a express˜ao anterior com P_T (a soluc¸˜ao de (4.15) com R= H^γ) no lugar de P. Assim:

Jγ T(x0,θ0, v) = Ehx0, P_T,θ0(0)x0i + Z T 0 E{kv(t) − K_θt(PT)x(t)k²_Hγ θt }dt ≥ Ehx0, PT,θ0(0)x0i, (4.36)

e a igualdade vale somente se v(t) = vT(t) = K_θt(PT)x(t) para quase todo t ∈ [0, T ], de

onde segue (i) e (ii).

A seguinte proposic¸˜ao garante que PT, a soluc¸˜ao de (4.15) sobre[0, T ], ´e ao mesmo

tempo limitada e mon´otona. Esse resultado ser´a de grande importˆancia no problema de horizonte infinito, lim_T→∞P_T.

Proposic¸˜ao 6 Assuma que o sistemaΣ´e SS comkLk <γe considere P_T :[0, T ] → Hn∗

sup, a

(i) Para todo i∈ S existe uma constante c > 0 tal que

− cIn≤ PT,i(t) ≤ 0. (4.37) (ii) Para todo 0< ˜T < T e i ∈ S temos que P_T˜,i(t) ≥ PT,i(t).

(iii) O limite P= limT→∞P_T(t) existe e ´e tal que P ∈ Hn−

sup.

Prova: Esta prova depende do resultado de otimalidade obtido no lema anterior. Simplesmente tome qualquer par (β, i) ∈ Cn× S junto a t ∈ [0, T ], e escreva

hβ, PT,i(t)βi = hβ, PT−t,i(0)βi = J^γ_T−t(β, i, vT−t) ≤ J^γ_T−t(β, i, 0) = −

Z T−t

0

E[kz(s)k²]ds ≤ 0, (4.38)

onde v_(·) ´e tal como definido em (4.33). Por outro lado, foi provado no Lema 4 que

hβ, PT−t,i(0)βi = J^γ_T−t(β, i, vT−t) ≥ −ckβk2= hβ, −cIn,βi, de onde (4.37) segue.

Para a prova de (ii) defina ˜v(·) = v_T˜−t(·)I_{[0, ˜T−t]}(·) ∈ Lⁿv

2 (R+). O resultado segue

imediatamente das relac¸˜oes

hβ, PT,i(t)βi = hβ, PT−t,i(0)βi = J^γ_T−t(β, i, vT−t) ≤ J^γ_T−t(β, i, ˜v) = J_T^γ_˜−t(β, i, v_T˜−t) − Z T−t ˜ T−t E[kz(s)k²]ds ≤ J^γ_T˜−t(β, i, v_T˜−t) = hβ, P_T˜,i(t)βi. (4.39) Por fim, temos que (iii) ´e simplesmente uma importante conseq¨uˆencia de (i) e (ii) e do fato de Hⁿ_sup^∗ ser um espac¸o completo. De fato:

lim

T→∞^{PT(t) = lim}T→∞^{PT−t(0) = lim}T→∞^{PT(0), (4.40)}

que ´e independente de t. Finalmente, a negatividade e a limitac¸˜ao na norma seguem de (4.37).

Note que o item (iii) da proposic¸˜ao, quando considerado junto ao problema de hori-zonte finito (4.15), implica que para todo i∈ S as equac¸˜oes alg´ebricas de Riccati

Ti(P) −C_i^∗Ci− Gi(P)(γ2

Inv− D^∗_iDi)⁻¹Gi(P)^∗= 0 (4.41)

tenham uma soluc¸˜ao P∈ Hⁿ_sup⁻. Com isto ´e poss´ıvel, imediatamente ap´os o seguinte lema, apresentar a prova do principal resultado desse cap´ıtulo.

Lema 7 Sejam ˜Cε _{= ( ˜C}ε

1, ˜Cε

2, . . .) e ˜D= ( ˜D₁, ˜D₂, . . .), onde ˜Cε

i := [C_i^∗ εI_n]^∗ e ˜D_i:= [D^∗_i 0_nv×n]^∗, para todo i∈ S e paraε > 0. Ent˜ao o operador de perturbac¸˜ao ˜L^ε: v7→

˜zε_{, correspondente ao sistema} ( ˙ x(t) = A_θtx(t) + B_θtv(t), t∈ R+ ˜zε_{(t) = C˜}ε θtx(t) + ˜Dθtv(t) ^(4.42) com x(0) = x0∈ Ln

2 ´e tal que, para alguma constanteκ > 0,

k ˜L^εk²≤ kLk²+κε2, (4.43)

onde a norma de ˜Lε^˜ _{´e definida de forma an´aloga `a de L.}

Prova: Segundo a definic¸˜ao temos que, para qualquer v∈ Lⁿv

2 (R+) e todo t > 0, k ˜Lε_v(t)k2= kLv(t)k²+ε2kxzs(t)k². (4.44)

Integrando em todo R₊ e tomando o valor esperado decorre ent˜ao que

k ˜L^εvk²R₊= kLvk²R₊+ε2kxzsk²R₊ ≤ kLk²+ c²ε2
kvk2

R₊ (4.45)

para alguma constante c> 0 (veja [16, Theorem 5.2], conforme apontado na Nota 3). O

resultado segue ent˜ao imediatamente de (4.3), mutatis mutandis.

Prova do Lema 3: Ainda nos resta provar a contrapartida da Proposic¸˜ao 4. Para tanto,

note primeiramente que, para algumε > 0 eδ > 0 suficientemente pequenos, temos do

lema anterior que

kLk <γ ⇒ k ˜Lε^˜_{k <}γ_ε, (4.46) onde¹ ε˜ = (ε2+δ2)1/2 eγ_ε = (γ2−ε2)1/2. Assim, considerando γ_ε no lugar de γ, os resultados anteriores estabelecem que 0< ˜Hγε

i :=γ2Inv− ˜D_i^∗D^˜i−ε2Invpara todo i∈ S , e

portanto existe ˜P= ( ˜P₁, ˜P₂, . . .) ∈ Hn−

suptal que

Ti( ˜P) − ( ˜Cε^˜ i)^∗C^˜ε^˜ i − ˜Gε^˜ i( ˜P)(γ2I_nv− ˜D^∗_iD^˜_i−ε2I_nv)⁻¹G^˜ε^˜ i( ˜P)^∗= 0, (4.47) onde( ˜Cε^˜ i)^∗C^˜ε^˜ i = C_i^∗C_i+ ˜ε2I_n, ˜Gε^˜ i( ˜P) = ˜P_iB_i− ( ˜Cε^˜ i)^∗_D˜_i= ˜P_iB_i−C_i^∗D_i= Gi( ˜P), e ˜D^∗_iD^˜_i=

D^∗_iDi. Logo (4.47) pode ser escrita como (note queT (·) ´e homogˆeneo): Ti(− ˜P) +C∗

iC_i+ ˜ε2

de onde decorre que ˜P na verdade pertence a ˜Hⁿ⁻

sup, diretamente do Teorema 2. Al´em

disso, a express˜ao acima estabelece que

Ti( ˜P) −C_i^∗Ci−ε2

In− Gi( ˜P)(H_i^γ−ε2

Inv)⁻¹Gi( ˜P)^∗=δ2

In> 0, (4.49)

e como Hγ

i −ε2I_nv > 0 para todo i ∈ S , segue do Complemento de Schur que este

˜

P∈ ˜Hⁿ_sup⁻ ´e tal que Mγ_{( ˜P) ∈ ˜H}m+

sup, concluindo a prova.

Encerramos o presente cap´ıtulo com a seguinte proposic¸˜ao. Nela, o resultado do Lema 3 ´e apresentado de uma maneira ligeiramente diferente – a qual ser´a mais adequada para os fins do cap´ıtulo seguinte. A principal inovac¸˜ao em relac¸˜ao ao resultado anterior se expressa por uma dependˆencia afim nas matrizes do sistema (A, B, C, e D).

Proposic¸˜ao 7 O sistemaΣ ´e SS comkLk <γ se e somente se existir P= (P1, P2, . . .) ∈

˜

Hⁿ⁻

suptal que, para todo i∈ S ,     A^∗_iP_i+ PiA_i+∑j∈Sλi jP_j P_iB_i C_i^∗ B^∗_iP_i γ2I_nv D^∗_i C_i D_i I_nz     ≫ 0. (4.50)

Prova: O resultado decorre diretamente do Complemento de Schur Uniforme,

5 Controle H

_∞

Neste cap´ıtulo ser´a estudado o controle H∞ de uma classe de sistemas lineares com saltos Markovianos sujeitos a perturbac¸˜oes aditivas de energia finita. Partindo do JBRL (Lema 3) estabelecido no cap´ıtulo anterior, condic¸˜oes equivalentes `a existˆencia de com-pensadores H∞sub-´otimos s˜ao estabelecidas em termos da factibilidade de desigualdades matriciais lineares (LMIs) interconectadas. Em seguida, s˜ao apresentados algoritmos para o design de controladores ´otimos e sub-´otimos, na sec¸˜ao 5.3. Algumas simulac¸˜oes dos resultados obtidos s˜ao apresentadas ao final do cap´ıtulo.

No documento Marcos Garcia Todorov. Controle H de Sistemas Lineares com Infinitos Saltos Markovianos via Realimentação de Saída (páginas 40-51)