5.4 Potencial efetivo para um buraco negro de Lovelock
5.4.2 Buracos Negros de Lovelock AdS com Topologia Planar
Os buracos negros de Lovelock possuem grande variedade de configurações, uma delas é tomar o elemento topológico como nulo, ou seja η = 0, o que significa adotarmos uma topologia planar para o buraco negro, neste sentido só é possível para universos AdS. Desta forma obtemos o elementoA(r)da métrica como,
A(r) =
r2
l2 − 2GM +δd−2α,1
rd−2α−1
!1/α
. (5.93)
Agora que definirmos a topologia do buraco negro, podemos variar as outras duas variáveis, o número dimensionalde o inteiroα.
Para o primeiro caso, tomaremosd= 3eα = 1, obtendo assim o elementoA(r)como, A(r) =
"
r2
l2 −2M0
#
, (5.94)
onde2M0 = 2M + 1.
Com isso, obtemos o seguinte potencial, com o auxilio das equações, (5.77) e (5.78,5.79,5.80,5.82),
V(r) = k2 r2
r2
l2 −2M0
!
−k2M0 r2
r2
l2 −2M0
!1/2
(5.95) Este mesmo resultado foi encontrado por (CARDOSO; LEMOS,2001) para o Buraco negro deBañados-Teitelboim-Zanelli(BTZ) em(2 + 1)dimensões.
Deixando claro que o método que utilizamos para o calculo do potencial efetivo devido uma pertubação fermiônica do buraco negro de BTZ, trata-se de uma relação geral, para os casosAdSe buracos negros de soluções Einstein-Hilbert sem a constante cosmológica. Pois em ambas situações, nosso método de calculo tem obtido os resultados que eram esperados nesses casos.
O comportamento do potencial fermiônico para o buraco negro BTZ como descrito na equação (5.95), é plotado comM = 1e descrito na Figura-11.
5.4. POTENCIAL EFETIVO PARA UM BURACO NEGRO DE LOVELOCK 65
Potencial Efetivo de Lovelock em três dimensões
Figura 11 – Potencial efetivo do Buraco Negro de Lovelock AdS, em3dimensões, ondeM = 1 eα= 1.
Tomando agora 4 dimensões, e o inteiroαcomoα= 1, obtemos o elementoA(r)sendo, A(r) =
com o potencial efetivoV(r)devido a perturbação fermiônica, da forma, V(r) = k2
Que é descrito na Figura-12, e com a variação do raio deDe Sitter (l)na Figura-13.
0
Potencial Efetivo de Lovelock AdS em d=4
Figura 12 – Potencial efetivo do Buraco Negro de Lovelock AdS, em4dimensões comα = 1.
5.4. POTENCIAL EFETIVO PARA UM BURACO NEGRO DE LOVELOCK 66
Potencial Efetivo de Lovelock AdS em d=4 l=1 l=2 l=3 l=4 l=5
Figura 13 – Potencial efetivo do Buraco Negro de Lovelock AdS, comlvariando.
Com a variação do raio de De Sitter, ou seja com a variação da constante cosmológica, obtemos resultados que diferem com relação ao máximo do potencial efetivo da perturbação fermiônica e com o raio efetivo dessa pertubação, onde para os casos em que a constante cosmológica é nula, os resultados foram apresentados na seção anterior.
Tendo então a variação do raio deDe Sitter, o potencial todo passa a ser alterado, não só como anteriormente alterava-se somente o máximo, com raio efetivo intacto, agora temos alteração total, mas com o mesmo comportamento no infinito, ou seja, tendendo a uma constante, como pode-se ser observado.
definindo um potencial efetivoV(r), sendo, V(r) = k2
que é descrito na figura-14.
5.4. POTENCIAL EFETIVO PARA UM BURACO NEGRO DE LOVELOCK 67
Potencial Efetivo de Lovelock AdS em d=5
Figura 14 – Potencial efetivo do Buraco Negro de Lovelock AdS, em5dimensões, ondeM = 1, α = 1.
Com um comportamento similar ao caso 4-dimensional, diferenciando seu raio do potencial máximo e valor máximo, porém continua com o mesmo comportamento do caso anterior, tendendo a uma constante no infinito, neste potencial, a curva possui um comportamento menos suave que o observado no caso anterior 4-dimensional, ou seja este potencial tende a uma constante mais rapidamente que o caso anterior.
Se variarmos oαparaα = 2, obtemos
surgindo um potencial do tipo, V(r) = k2
que é descrito no gráfico da Figura-15.
Onde podemos observar o comportamento similar ao caso anterior em 4 dimensões e o caso 5-dimensional comα= 1, porém neste caso, ondeα =d−1/2e que leva a uma gravidade de Chern-Simons, temos algumas mudanças sutis no potencial efetivo, que pode ser observada na equação5.101e na Figura-15.
5.4. POTENCIAL EFETIVO PARA UM BURACO NEGRO DE LOVELOCK 68
Potencial Efetivo de Lovelock AdS em d=5
Figura 15 – Potencial efetivo do Buraco Negro de Lovelock AdS, em5dimensões, ondeM = 1, α = 2.
Para6dimensões, temos o número inteiroαvariando comoα= 1,2, portanto, podemos ter duas escolhas possíveis desse valor para o buraco negro de Lovelock 6-dimensional, com α = 1eα= 2, obtemos em cada caso respectivamente, os potenciais efetivos devido a essa pertubação. Paraα= 1, obtemos o seguinte potencial
V(r) = k2
Com o potencial efetivo descrito pelo gráfico na Figura-16.
0
Potencial Efetivo de Lovelock AdS em d=6
Figura 16 – Potencial efetivo do Buraco Negro de Lovelock AdS, em6dimensões, ondeM = 1, α = 1.
5.4. POTENCIAL EFETIVO PARA UM BURACO NEGRO DE LOVELOCK 69
Se variarmos oαparaα= 2, obtemos um novo potencial efetivoV(r)para a pertubação fermiônica, mas com pequenas correções,
V(r) = k2
com representação gráfica na Figura-17.
0
Potencial Efetivo Lovelock AdS em d=6
Figura 17 – Potencial efetivo do Buraco Negro de Lovelock AdS, em6dimensões, ondeM = 1, α = 2.
Onde neste caso fica explicita a diferença ao escolhermos o inteiroα, comα = 1obtemos o potencial efetivo com uma curva que rápido tende ao valor contante k2/l2, mas já para o caso em queα= 2, temos que a curva é muito suave, levando bastante tempo para o potencial convergir para o mesmo valor. Valor este, que todos os potenciais efetivos devido a pertubação fermiônica convergem, em todos os casos de topologia planar emAdS.
Neste ultimo caso, vamos adotar de um espaço-tempo com 7 dimensões (d = 7), com isso podemos obter os casos em que α varia entre 1 e 3. Sendo α = 3 o caso da gravidade de Chern-Simons. Porém, vamos calcular, para os seguintes valores deα,α = 1eα= 2.
Comα= 1eα= 2, obtemos os seguintes potenciais respectivamente,
V(r) = k2
Com os potenciais efetivos descritos nos gráficos da Figura-18.
5.4. POTENCIAL EFETIVO PARA UM BURACO NEGRO DE LOVELOCK 70
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 2 4 6 8 10 12 14
Potencial Efetivo V(r)
Distância Radial
Potencial Efetivo de Lovelock AdS em d=7
=1
=2
Figura 18 – Potencial efetivo do Buraco Negro de Lovelock AdS, em7dimensões, ondeM = 1, a curva vermelha representaα= 1e a curva verdeα= 2.
Concluímos que em todos os casos de configuraçãoAdSpara o buraco negro de Lovelock, o potencial devido a perturbação fermiônica comporta-se de tal modo, que no infinito, não importando a dimensionalidade e a configuração do número inteiroαo resultado, pode ser definido como:
V(r→ ∞) = k2
l2. (5.106)
Resultado que leva a conclusão, que independente da configuração desses buracos negros AdS, o potencial visto no infinito, não seria dependente da configuração dimensional do mesmo, desde que as componentes da métrica possuam dependência radial e a simetria coerente com a que definimos para o buraco negro de Lovelock.
Comentários Finais
Durante o desenvolvimento dessa dissertação, a ideia principal era determinar os potenciais efetivos devido a pertubações de campos fermiônicos em buracos negros de Lovelock, assim podendo investigar a sua estabilidade.
Ao longo do trabalho, as perturbações fermiônicas para um determinado buraco negro, com certas características, como dependência radial, simetria diagonal, fora realizado. Para uma métrica dessa forma, os cálculos aqui realizados podem ser aplicados para determinar o potencial efetivo devido a uma pertubação de spin1/2para qualquer tipo de espaço-tempo, com as características bem definidas. Todos os resultados que obtemos foram realizados para um campo de férmions com massa nula, esse campo de teste, poderia, por exemplo, representar um campo de neutrinos, mas nada impede que os cálculos para os potenciais efetivos aqui realizados sejam aplicados para campos fermiônicos massivos, com certeza essa é uma etapa que pode ser de motivação a trabalhos futuros.
Durante o trabalho adotamos uma métrica, que poderia representar o espaço-tempo de Lovelock, como também o de Schwarzschild, pois como se sabe, a métrica de Lovelock é uma generalização para Schwarzschild. Logo, se nossos resultados para uma perturbação fermiônica em um buraco negro de Lovelock, nas condições especiais que levam a um espaço-tempo de Schwarzschild, coincidirem com os resultados para o espaço-tempo de Schwarzschild puro, nossos resultados estariam corretos. Tal condição como esperada foi encontrada e com total semelhança.
Investigamos a perturbação de férmions na métrica geral, e obtemos uma expressão ge-ral para determinarmos o potencial efetivo dessas pertubações através da métrica modelo.
Vários potenciais foram determinados, obtemos o caso mais simples, de interesse por pura comprovação, o de Schwarzschild. O resultado que obtivemos para a métrica de Schwarzschild pura, ou utilizando a métrica de Lovelock, considerando as condições especiaisd= 1,α = 1 e com topologia esférica, concordam totalmente, como já era esperado. Também obtivemos para uma métrica AdS resultados que concordam com a literatura, como no caso de (2+1) dimensionalidade, obtivemos os mesmos resultados que Vitor Cardoso para o buraco negro de BTZ, reafirmando ainda mais, que os cálculos estão corretos.
Foi feita também, a investigação dos casos em que a constante cosmológica tente a zero, ou seja, quando o raio de de Sitter, tende a infinito, os resultados foram esclarecedores, e satisfatórios, pois como esperávamos o potencial tenderia a zero, satisfazendo o padrão de
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resultados já esperados.
Para os casos em que a constante cosmológica é diferente de zero, obtemos os potenciais efetivos até um número dimensional igual a 7. Entre esses resultados, verificamos que o potencial tende a uma constante, que está relacionada ao momento da ondak, que definimos quando realizamos a transformada de Fourier na separação de coordenadas na equação de Dirac, e ao raio de De Sitterlque está relacionado com a constante cosmológica.
Como vimos no ultimo capitulo, em todos os casos de configuraçãoAdS para o buraco negro de Lovelock o potencial efetivo, comporta-se de tal modo, que no infinito, não impor-tando a dimensionalidade e a configuração do número inteiroαo resultado, pode ser definido como,V(r → ∞) = kl22. Resultado este, que leva a conclusão, independente da configuração desses buracos negrosAdSde Lovelock, o potencial visto no infinito, não seria dependente da configuração dimensional do mesmo.
Futuramente, fica a proposta de determinar as frequências para esses buracos negros utilizando de técnicas numéricas, através dos potenciais já determinados. Utilizando dos polos das funções de Green e obtendo essas frequências quase-normais para o buraco negro de Lovelock.
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