Busca Tabu Aplicada na Melhoria dos Roteiros

Para gerar uma solução inicial foi empregada a versão paralela do método das economias de Clarke e Wright (1964) na qual roteiros são construídos de forma simultânea a partir da leitura de uma lista de economias si, j em ordem decrescente dos valores. O algoritmo da versão paralela do Método das Economias é mostrado na Figura 16.

Algoritmo da versão paralela do Método das Economias

Passo 1. Selecionar um veículo disponível. Caso não haja mais veículos, parar

Passo 2. Calcular as economias s_i,j para todos os pares de pontos de parada i, j: s_{i, j} = d_{0, i} + d_{0, j} – d_{i, j} Passo 3. Ordenar os pares i, j na ordem decrescente dos valores das economias s_{i, j}

Passo 4. Começar pelo par de vértices i, j com maior economia e proceder na seqüência obtida no Passo 2. Para um par i, j da seqüência, verificar se i, j estão ou não incluídos em um roteiro

existente:

Passo 4.1. Se i e j não foram incluídos em nenhum dos roteiros já abertos, então criar um novo roteiro com os vértices i e j se a(s) restrição(ões) não for(em) violada(s)

Passo 4.2. Se exatamente um dos pontos i ou j já pertence a algum roteiro pré-estabelecido, verificar se este ponto é o primeiro ou último do roteiro. Se isso ocorrer, acrescentar a ligação i, j a esse roteiro caso a(s) restrição(ões) não seja(m) violada(s). Caso contrário, desconsiderar o par i, j.

Passo 4.3. Se ambos os vértices i e j já pertencem a dois roteiros distintos pré-estabelecidos (roteiros diferentes), verificar se ambos são extremos dos respectivos roteiros (vértices adjacentes a base). Nesse caso, unir os roteiros em um só, se a(s) restrição(s) não for(em) violada(s)

Figura 16 – Algoritmo da versão paralela do Método das Economias Fonte: Clarke e Wright (1964)

A solução inicial define uma primeira seqüência de visita aos clientes conforme os critérios do CVRP, sem exceder o peso, o comprimento do compartimento de carga, respeitando as restrições de carregamento tridimensionais e de jornada máxima de trabalho. Para o cálculo das economias si,j é definida uma matriz simétrica de distâncias euclidianas (não arredondadas)

entre os pontos. O número de veículos (que corresponde ao número de rotas) é definido nesta etapa, sendo que este valor não poderá ser ultrapassado na fase seguinte de melhoria. Uma modificação pré-melhoria é executada sobre os roteiros resultantes da solução inicial. Este procedimento é idêntico ao movimento intra-rota que será detalhado posteriormente.

O processo de melhoria da solução inicial foi realizado com a aplicação da Busca Tabu, uma metaheurística que, desde sua introdução por Glover (1986), vem sendo largamente empregada na resolução de problemas combinatoriais. O pseudo-código com o procedimento de Busca Tabu para o modelo proposto é mostrado na Figura 17.

Nas linhas de 1 a 5 da Figura 17 é feita a inicialização da Busca Tabu tornando a solução inicial (e a possível pré-melhoria) como solução corrente. Neste estágio também, a solução incumbente (a melhor solução encontrada até o momento) assume o valor da solução corrente. É inicializado também o contador de tempo, uma vez que o critério de parada é um tempo limite de processamento.

A aplicação da Busca Tabu requer inicialmente a definição de um espaço de busca e de uma estrutura de vizinhança. No modelo proposto o espaço de busca foi definido como o conjunto de rotas que satisfaz a todas as restrições, mas ele pode ser explorado considerando também as infactíveis a fim de favorecer a diversificação. Já a vizinhança é explorada através de dois tipos de movimento: inserção inter-rotas e trocas intra-rota respectivamente.

Na inserção inter-rotas (linha 12) para cada rota j toma-se cada um dos i clientes na seqüência em que aparecem e insere-se cada um destes no final de cada uma das k outras rotas. O cliente enviado é inserido na rota k sendo testado em todas as posições adjacentes aos n/2 pares de melhores economias da rota (sendo n o tamanho da rota para onde foi enviado), o que já constitui um movimento intra-rota (linha 13).

1

Procedimento de Busca Tabu para o modelo proposto Inicializa parâmetros gerais a partir da leitura da instância.

Inicializa SoluçãoCorrente a partir do método das economias considerando restrições de peso, carregamento tridimensional, distribuição de peso e tempo.

Armazena SoluçãoCorrente como a SoluçãoIncumbente Inicializa contador de tempo

Enquanto tempo for menor que tempo de critério de parada faça Inicializa MelhorTroca com maior custo possível

Para j =1 até número de rotas da SoluçãoCorrente Para i =1 até número de clientes da rota j

Para k =1 até número de rotas da SoluçãoCorrente sendo k diferente de j Inicializa TrocaAtual com SoluçãoCorrente.

Insere cliente i da rota j no final da rota k da TrocaAtual.

Faz melhoria na rota j e na rota k da TrocaAtual.

Se TrocaAtual é melhor que MelhorTroca então MelhorTroca recebe TrocaAtual.

Fim se

Se MelhorTroca é melhor que SoluçãoCorrente então Vai para ExecutarMovimento.

Se SoluçãoCorrente for melhor que SoluçãoIncumbente então SoluçãoIncumbente recebe SoluçãoCorrente

Fim se Fim enquanto

Figura 17 – Pseudo-código do procedimento de Busca Tabu Fonte: O autor

O movimento intra-rota (linha 13) inicia quando um cliente é removido da rota j para a rota k (seguindo a lógica da inserção inter-rotas). Na rota original (j) procura-se trocar cada um dos clientes de posição, avaliando a distância final resultante.

Neste tipo de movimento, caso tenha sido encontrada uma ordenação de menor distância que a inicial, é realizado o procedimento de avaliação do carregamento no veículo desta rota. Esta avaliação contempla também a verificação da factibilidade da distribuição de peso nos eixos do veículo (peso máximo por eixo). Tal distribuição é calculada para cada item considerando a concentração do peso em seu ponto central. O peso de cada item incidente no eixo traseiro é calculada através da seguinte expressão, derivada de Valente et al. (1997):

C_at = (D_di x P_i)/D_ee (20)

onde:

Cat é o peso de cada item no eixo traseiro;

Ddi é a distância entre o eixo dianteiro e o ponto central do item mi; P_i é o peso do item m_i;

Dee é a distância entre eixos.

Ao final é feito o somatório dos valores de Cat calculados para todos os itens. O valor obtido é então comparado com o limite de carga conforme a especificação técnica do veículo. A carga sobre o eixo dianteiro será a diferença entre a carga total e a carga incidente no eixo traseiro.

Caso a avaliação da nova solução pela função-objetivo tenha sido melhor que a inicial então esta nova solução da rota é retornada. Do contrário retorna uma resposta informando que há uma melhor solução possível da rota inicial. O objetivo deste passo é realizar uma busca sem a verificação contínua do carregamento para cada troca de posição dos clientes já que este é o que demanda maior tempo computacional. Pelo fato de um cliente ter sido retirado da rota é muito provável que o carregamento seja bem sucedido independente da ordenação imposta na rota.

Mesmo assim supõe-se que, em boa parte das vezes, para um dado conjunto de clientes suas diferentes ordenações possíveis não impossibilitarão a factibilidade do carregamento.

Uma segunda etapa é executada no movimento intra-rota se e apenas se o valor da solução que a etapa anterior encontrou não foi melhor que a inicial (probabilidade de uma ordenação

diferente com distância menor gerar excessos no carregamento) e houve uma ordenação encontrada com menor distância. É efetuada a troca de posição dos clientes na rota dois a dois por proximidade (clientes adjacentes) avaliando a solução gerada. Para todas as trocas realizadas dois a dois verifica qual foi a melhor e se houve melhoria em relação a solução inicial reinicia o procedimento de trocas. Caso contrário retorna a solução inicialmente enviada.

Na linha 14 se uma melhoria (menor distância) é encontrada na troca do cliente que está sendo avaliado atualmente, então essa nova ordenação será escolhida como a melhor, e o procedimento é reiniciado. Quando não houver melhoria para a troca de posições realizada com todos os clientes, então o procedimento é encerrado.

A inserção inter-rotas e as trocas intra-rotas são realizadas até que não ocorram mais melhorias na solução incumbente.

Os movimentos detalhados acima são realizados possibilitando excesso de peso e também excesso de comprimento, o qual é limitado a 50% do comprimento do compartimento de carga. O número de veículos nesta etapa não pode ultrapassar o valor definido na solução inicial.

Uma solução R gerada por um movimento é avaliada através da seguinte função-objetivo:

f(R) = DT + α . Ept + β . Ec + δ1 . Eed + δ2 . Eet + π . Etc + γ f(i, j) (21)

onde:

DT representa a distância total do roteiro definido na solução;

α representa uma penalidade aplicada sobre a infactibilidade de peso total e seu valor é igual a 20ē/D onde ē representa o custo médio de uma aresta e D o peso máximo permitido para um veículo;

Ept representa o excesso de peso total;

β representa uma penalidade aplicada sobre a infactibilidade de comprimento da carga e seu valor 20ē/L onde ē representa o custo médio de uma aresta e L o comprimento máximo do compartimento de carga;

Ec representa o excesso de comprimento da carga em relação ao comprimento do compartimento de carga;

δ1 representa uma penalidade aplicada sobre a infactibilidade de peso no eixo dianteiro e seu valor é igual a 20ē/P₁ onde ē representa o custo médio de uma aresta e P₁ o peso máximo permitido no eixo dianteiro;

Eed representa o excesso de peso no eixo dianteiro;

δ2 representa uma penalidade aplicada sobre a infactibilidade de peso no eixo traseiro e seu valor é igual a 20ē/P₂ onde ē representa o custo médio de uma aresta e P₂ o peso máximo permitido no eixo traseiro;

Eet representa o excesso de peso no eixo traseiro;

π representa uma penalidade aplicada sobre a infactibilidade de tempo de ciclo e seu valor é igual a 20ē/Tc onde ē representa o custo médio de uma aresta e Tc o tempo máximo de ciclo;

Etc representa o excesso no tempo de ciclo;

γ representa um parâmetro de diversificação dado por 2n×v onde n é o número de clientes da instância e v é o número de rotas (que provém da solução inicial)

f(i, j) a razão entre o número de vezes que um movimento designa o cliente i para o veículo j e o número de movimentos aceitos

O custo médio de uma aresta é dado pela divisão entre o somatório dos coeficientes cij

de todas as arestas que compõem o grafo G (que representa a rede de atendimento) e o número de arestas em G. Além disso, os excessos de peso total, comprimento, peso no eixo dianteiro, peso no eixo traseiro e de tempo de ciclo, referem-se ao somatório das parcelas individuais que correspondem a cada roteiro da solução.

A equação 21 tem o primeiro, segundo, terceiro e sexto termos com o mesmo significado do primeiro, segundo, terceiro e quarto termos da equação 19 utilizada por Gendreau et al. (2006) e Araújo (2006).

Assim como em Gendreau et al. (2006), foram adotados valores dinâmicos para α e β que variam 10% para mais quando o excesso de peso e excesso de comprimento, entre um

movimento e outro, aumentam e 10% para menos quando diminuem. Já os coeficientes δ1, δ2 e π são mantidos estáticos, o que produz melhores resultados conforme avaliado previamente em testes.

A diversificação da busca é promovida pelo terceiro termo da expressão sendo γ = v

n×

2 (melhor valor demonstrado pelos experimentos computacionais) e f(i, j) a razão entre o número de vezes que um movimento designa o cliente i para o veículo j e o número de movimentos aceitos, estabelecido da mesma forma que em Gendreau et al. (2006).

Para restrição de vizinhança, foi adotado aqui um valor de p = min [n/4; 20]. A vizinhança de um ponto é estabelecida como os pares econômicos (si,j) que contém o ponto em consideração, ordenados conforme valores decrescentes das respectivas economias. Esta lista é percorrida até o valor p definido anteriormente. A Lista Tabu armazena o inverso de todos os movimentos feitos nas últimas iterações: se o cliente i passa da rota j para a rota k nas próximas iterações, é proibido mover o cliente i da rota k de volta para a rota j. O tabu tenure, que indica o número de iterações durante as quais um movimento deve permanecer com o status de tabu, foi definido experimentalmente como o mínimo valor entre n/2 e 15.

Como critério de aspiração considera-se que um movimento tabu é permitido se este resulta em um valor melhor para a função-objetivo do que aquele encontrado para a solução incumbente. Foi adotado também um critério de intensificação duplicando o valor de p nas 3 iterações seguintes quando a solução corrente melhora a solução incumbente.

É comentada a seguir a implementação computacional do modelo.