Cálculo dos elementos da matriz de custos do primeiro quadrante

Sem perda de generalidade, considere uma tarefa

iI

_s a ser alocada a um técnico

1, 2,...,



k =K

n

, e que este técnico teve a tarefa

jI

_s− como a última tarefa alocada nos estágios anteriores. Na formação deste pseudo-custo diversas parcelas devem ser computadas, como descrito a seguir. A primeira parcela, denotada por

c

_ik(1), representa os custos com transportes, e é calculada por:

𝑐_𝑖𝑘(1)= 𝛽(𝑜_𝑗𝑖+ 𝑜_𝑖𝑐− 𝑜_𝑗𝑐) (5)

A variável

c

_ik(1) refere-se ao custo de transporte adicional caso a um técnico

kK

, presente no local da tarefa

jI

_s−, seja alocado a uma tarefa

iI

_s. Após a realização de uma tarefa (ou ao sair do depósito), o técnico pode ou voltar para a sua casa ou ir ao local de uma próxima tarefa, como mostra a figura 03.

Figura 03 – Esquema de distâncias

Fonte: Autor

Neste figura, tem-se: ji

o

a distância, em quilômetros, do local onde o técnico se encontra até o local onde a tarefa

i

será realizada;

ic

o

é a distância dessa nova tarefa

i

até a casa do técnico; jc

o

é a distância que o técnico precisa percorrer caso retorne do ponto onde se encontra a sua casa; e



é o custo em reais por quilômetro percorrido.

A segunda parcela, denotada por

c

_ik(2), é uma penalidade por realização da tarefa fora do prazo. Seja

p

_ik

→N u(

_ik

,

_ik

)

o tempo de realização da tarefa

iI

_s por parte do técnico

kK

, dado por uma distribuição normal com média

u

_ik e desvio padrão



_ik. Ao alocar uma tarefa i ao técnico k é necessário analisar a probabilidade desta tarefa iniciar dentro da janela de tempo acordada com o cliente, denotada por

b e

_i

,

_i



, já que tarefas com início posterior a esta janela são consideradas como “fora do prazo”. Além disso, de acordo com a empresa, outra condição que precisa ser satisfeita, para que uma dada tarefa seja considerada dentro do prazo, é que, aquelas cuja janela de tempo se encontra na parte da manhã terminem até as 12:00, enquanto que aquelas com janelas na parte da tarde devem ser finalizadas até as 18:00. No caso de tarefas com janelas extensas (8:00 – 18:00) ou janelas pela parte da noite (X – 21:00), o limite é o próprio final da janela. Sendo assim, aplica-se uma penalidade com o intuito de garantir que o número de tarefas que respeitem o prazo seja o maior possível. Pensando na primeira condição, aplica-se uma penalidade



multiplicada pela probabilidade da tarefa

iI

_s ser iniciada fora do intervalo

b e

_i

,

_i



, caso seja alocada ao

técnico

kK

. Já, com relação ao limite para o término da tarefa, a mesma penalidade



é multiplicada pela probabilidade que a tarefa

iI

_s tem de terminar após um limiar de tempo

i

L

(sendo

L

_i igual a (12:00, 18:00, 21:00), dependendo do posicionamento da janela de tempo acordada com o cliente). Juntando as duas condições, chega-se na seguinte expressão:

𝑐_𝑖𝑘(2) =

𝛾𝑃

(𝜏𝑗𝑘 + 𝑡𝑗𝑖 ≤ 𝑒𝑖)

+ 𝛾𝑃

(𝜏𝑖𝑘 ≥ 𝐿𝑖) (6)

Ou seja:

𝑐_𝑖𝑘(2) =

𝛾

{

𝑃

(𝜏𝑗𝑘 + 𝑡𝑗𝑖 ≤ 𝑒𝑖) + [

1 − 𝑃

(𝜏𝑖𝑘 ≥ 𝐿𝑖)]}

(7)

Nas expressões acima

P

(



_jk

+ t

_ji

e

_i

)

representa a chance que uma tarefa

iI

_s tem de ser iniciada antes do final da respectiva janela de tempo,

e

_i, ao ser alocada a um dado técnico

kK

que estava realizando uma tarefa

jI

_s− (que será nula caso ainda não exista alguma tarefa alocada ao técnico). O tempo de viagem entre os locais das tarefas

jI

_s− e

s

iI

, denotado por

t

_ji, também é uma variável aleatória normalmente distribuída, enquanto que



_jk indica o término da última tarefa alocada ao técnico

kK

. Para um melhor entendimento dessas duas condições, veja a figura 04.

Figura 04 – Cálculo da penalidade por realização da tarefa fora do prazo

Fonte: Autor

Por fim, é levada em conta a parcela referente às horas extras, denotada por

c

_ik(3). Os técnicos possuem uma jornada de trabalho delimitada pelo intervalo

_B E

_kd

,

_kd

_

, onde

B

_kdé o início da jornada do técnico

k

no dia

d

, e

E

_kd é o fim da mesma. Estipulou-se uma jornada de

8

horas de trabalho (

+1

hora para refeição), ou seja

E

_kd

=

B

_kd

+9

, podendo

B

_kd ser um horário matutino ou vespertino, a depender da primeira tarefa alocada para o técnico naquele dia. Assim, toda tarefa cujo final extrapolar

E

_kd implicará em horas extras, que, em outras palavras, significa maiores custos. Desta forma, o custo de horas extras de uma tarefa

iI

_s pode ser estimado como sendo o valor esperado do excesso de horas trabalhadas em relação ao final da jornada de trabalho, isto é

h

=E_max

(



_ik

−E

_kd

;0

)

_

, quando realizada pelo técnico

kK

, multiplicado pelo custo de cada hora extra



_k (150% de uma hora de trabalho normal, em torno de R$ 13,50).

Além disso, considera-se o fato de que cada técnico pode realizar até duas horas extras em uma mesma jornada de trabalho, e caso esta condição não seja satisfeita, uma penalidade, proporcional às chances de violação desta condição, é adicionada. Assim, tem-se:

Distribuição de probabilidade do tempo de chegada no local da tarefa i

Distribuição de probabilidade do tempo de término da tarefa i

Tempo Tarefa i Tarefa j jk p t_ji pik i L i e i b

(

ik i

)

P



L

(

jk ji i

)

P



+ t e

𝑐_𝑖𝑘(3) = 𝜆𝑘ℎ̅ + 𝑀𝑃(𝜏𝑖𝑘 ≥ 𝐸𝑘𝑑 + 2)

(8)

onde

M

é uma constante, suficientemente grande, usada para desestimular o uso de horas extras em quantidades acima do permitido pela legislação.

Por fim, considerando as expressões apresentadas em (5), (7) e (8), tem-se para o cálculo do custo de alocação do técnico

kK

à tarefa

iI

_s (custo do primeiro quadrante), a seguinte expressão:

𝑐𝑖𝑘 = 𝑐_𝑖𝑘(1)+ 𝑐_𝑖𝑘(2)+ 𝑐_𝑖𝑘(3)

(9)

Observe-se que, para o caso em que o técnico ainda não realizou nenhuma tarefa no decorrer da jornada de trabalho que se inicia, estas expressões são adaptadas para considerar que o técnico ainda encontra-se em sua residência, e antes da realização da primeira tarefa terá que passar pelo depósito, a fim de receber os materiais a serem utilizados nas tarefas do dia.

3.2.3 Cálculo de ℎ̅

A estimativa da quantidade de horas extras que serão acrescidas a um técnico

kK

caso este venha a ser alocado à tarefa

iI

_s é calculada considerando o valor esperado das horas extras realizadas no dia. Considerando que a variável aleatória que define o instante de término da tarefa

iI

_s se aproxima de uma distribuição normal



_ik

→N

(

 ,

2

)

, e que

d k

E

é o instante de término da jornada de trabalho regular, as horas extras serão calculadas pela seguinte expressão:

ou

ℎ = { 𝜏𝑖𝑘 − 𝐸𝑘𝑑 se 𝜏𝑖𝑘 ≥ 𝐸𝑘𝑑

0 caso contrário (11)

Assim, considerando que



_ik segue uma distribuição normal, o valor esperado da expressão (10) é determinado por:

ℎ̅ = 𝐸(ℎ|𝐸_𝑘𝑑) = 𝜎 𝜂 (𝐸𝑘 𝑑_{− 𝜇}

𝜎 ) ₍₁₂₎

como demonstrado por MAYERLE (2018), e apresentado no anexo A. Nesta expressão

( )z

é um valor obtido por meio de uma função polinomial que ajusta valores da função de excesso simulados para a distribuição normal padrão

N( )0,1

e o limiar

z

.

No documento Um problema de VRP: alocação de técnicos em uma empresa de telecomunicações, levando em conta tempos estocásticos e janelas de tempo. (páginas 41-46)