Cálculo pelo processo elástico através de CZERNY

O cálculo pelo processo elástico se fundamenta na teoria da elasticidade, para o trabalho será admitido que o material das lajes seja homogêneo, isótropo e com comportamento linear. O método é o que fornece a melhor distribuição das armaduras. Pelo processo elástico, utilizam-se as tabelas desenvolvidas por Czerny para a determinação dos momentos positivos em lajes simplesmente apoiadas, e negativos aonde há engaste nos bordos. As lajes ainda podem ser armadas em uma ou duas direções com alguns critérios de cálculos como citado no texto de Campos Filho (2014),

As lajes podem ser armadas em uma ou duas direções. As lajes armadas em uma única direção podem ser calculadas como vigas de largura unitária. Já as lajes armadas em duas direções, podem ser analisadas utilizando o modelo elástico-linear, com elementos de placa, utilizando o coeficiente de Poisson v = 0,2 para o material elástico linear.(CAMPOS FILHO, 2014)

No processo elástico baseado nas tabelas de Czerny, considera lajes retangulares sendo que o lado menor será sempre lx, sendo o maior lado ly.

Quando a razão entre ly e lx for maior ou igual a dois, então a laje será armada em uma direção, e armada nas duas direções ou em cruz, quando a razão resultante for menor ou igual a dois. Assim temos:

 Laje armada em uma direção, quando ≥ 2 conforme fig. (9);

Figura 8– Laje armada em cruz.

Fonte: Campos Filho (2014).

Figura 9– Laje armada em uma direção.

Fonte: Campos Filho (2014).

2.5.1.1 Cálculo dos momentos

As tabelas de Czerny se diferenciam entre si de acordo com o tipo de vínculo existente nos bordos das lajes. As lajes a serem calculadas possuem todos os lados simplesmente apoiados, logo a tabela a ser utilizada é a tipo 1 (Quadro 7). Os diferentes tipos de tabela para o cálculo dos momentos no método de Czerny, estão no anexo A.

Quadro 7– Tabela tipo 1 de Czerny.

Fonte: Campos Filho (2014)

Czerny, em suas tabelas, determinou coeficientes para o cálculo dos momentos nas lajes.

As equações a serem utilizadas para a obtenção dos momentos são as seguintes: = . ²;

= . ²; Sendo:

lx = menor vão;

mx = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a lx; my = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a ly;

e = são coeficientes tabelados;

2.5.2 Cálculo pelo método de Libânio (adaptação do método de Bares)

segundo a Teoria das Placas, com base na teoria matemática da elasticidade.

2.5.2.1 Pré-dimensionamento

O pré-dimensionamento pelo método de Libânio é idêntico ao método de Czerny já apresentado anteriormente.

2.5.2.2 Classificação

No processo baseado nas tabelas de Libânio, assim como pelo método de Czerny, considera lajes retangulares sendo o menor lado lx e o maior ly.

A classificação quanto a direção da armadura pode ser laje armada em uma direção ou laje armada em duas direções seguindo a equação = . Será adotado laje armada em duas direções se a razão entre ly e lx for menor que 2 e armada em uma direção caso a relação resulte em valor maior que 2.

2.5.2.3 Cálculo dos momentos

Os cálculos dos momentos serão obtidos por meio de tabelas, as tabelas empregadas nesse trabalho, foram baseadas nas de Bares (1972), com coeficiente de Poisson igual a 0,15.

Segundo Bastos (2005) o emprego dessas tabelas é utilizado de forma, que obteremos valores de coeficientes tabelados. Os coeficientes tabelados , ′ , , ′ são adimensionais , sendo os momentos fletores por unidade de largura dados pelas expressões:

= . . 100

′ = ′ . . 100

= . . 100 ′ = ′ . . 100 , ′ → çã ã , ′ → çã ã

O fator de multiplicação depende de e é o mesmo para todos os casos.

As tabelas de Libanio se diferenciam entre si de acordo com o tipo de vínculo existente nos bordos das lajes. As lajes a serem calculadas no presente trabalho terão todos os lados apoiados, logo a tabela a ser utilizada é a tipo 1. Os diferentes tipos de tabela para o cálculo dos momentos no método de Libanio, estão no anexo B

Para o presente trabalho utilizamos o quadro 8 a seguir para calculo de lajes simplesmente apoiadas.

Quadro 8– Coeficientes para o cálculo dos momentos fletores

Fonte: Bastos (2005, p. 108)

2.5.3 Cálculo pelo método de Marcus

Segundo (Araújo, 2003) “o método de Marcus é uma adaptação da denominada teoria das grelhas para o cálculo de placas. O método é destinado ao cálculo de lajes retangulares, sendo um método simplificado muito utilizado no projeto de lajes de concreto armado.”

Considera-se, para exemplificar, a laje simplesmente apoiada nos quatro lados. A laje é submetida a uma carga uniformemente distribuída por unidade de área. (Figura 10)

Figura 10– Laje simplesmente apoiada nos quatro lados

Fonte:Araujo (2003).

A carga total é dividida nas parcelas e , que correspondem às direções x e y, respectivamente, de tal forma que as flechas e no centro de cada faixa em um mesmo ponto sejam iguais (ARAUJO, 2003, p.67):

= + = 5 384 . = 5 384 . =

Onde:

= módulo de elasticidade longitudinal do concreto = momento de inércia da faixa de largura unitária

Substituindo a equação e na equação = ,utilizando a equação do e definido a relação entre vãos como = / , pode-se escrever:

= ; =

= ; = 1 −

Utilizando a equação do e , é possível definir os momentos máximos nas direções x e y da seguinte forma:

= ; =

= ; =

Através desses cálculos obtemos o momento fletor positivo através das teorias das grelhas, no qual são maiores que o correto. Isso ocorre porque, na teoria das grelhas , a rigidez a torção da laje é desprezada. Então esse efeito de rigidez foi introduzido no método de Marcus, consequentemente, haverá uma redução nos momentos fletores (ARAUJO, 2003, p. 70).

Com isso os momentos fletores corrigidos, e , são dados por:

= ; =

Os coeficientes e dependem das condições de contorno e da relação entre os vãos da laje:

= 1 − ; = 1 −

a) faixabiapoiada: = 8

b) faixa engastada e apoiada: = 14,22

c) faixabiengastada: = 24

Os cálculos mostrados anteriormente podem-se se expandir para outros casos de condições de contorno. Os possíveis casos são mostrados na figura 11 e a sua formulação respectiva pode ser encontrada no quadro 9.

Figura 11– condições de contorno lajes retangulares

Quadro 9 – Coeficientes para o cálculo dos momentos fletores

Fonte: Araújo (2003, p. 73)

2.6 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS PARA TODOS OS MÉTODOS DE CÁLCULO MANUAL

Nos três cálculos manuais de lajes será utilizado a tabela do Kc/Ks para o cálculo da armadura nas duas direções.

Para a área de armadura é considerada a seção retangular com a base da laje de 100cm sendo então bw = 100, e H=espessura total da laje, dx altura útil da armadura na direção principal e dy altura útil da armadura na direção secundária como mostra a figura 12.

Figura 12– Altura útil. Fonte: Santos (2001). Sendo assim: = − . −∅ 2 = − . −∅ 2 − ∅ Sendo:

c = cobrimento determinado pela NBR 6118:2014 de acordo com a classe de agressividade ambiental;

∅ = diâmetro da armadura na direção x; ∅ = diâmetro da armadura na direção y.

Conhecidos os momentos fletores característicos ( ), passa-se a determinação das armaduras. Esse dimensionamento é feito utilizando as Tabelas Gerais.

Inicialmente, determina-se o momento fletor de cálculo, em kN.cm/m:

Em seguida calcula-se o valor do coeficiente :

= . , = 100

Conhecidos o do concreto, o aço de , obtém-se, no quadro 10, o valor de .

Quadro 10– Tabela Kc/Ks para cálculo do As

Calcula-se, então, a área da armadura necessária:

= . → = .