Machado e Figueiredo Filho (2003) afirmam que a estimativa de volume de árvores é “na maioria das vezes, a principal finalidade dos levantamentos florestais, notadamente quando se trata de povoamentos destinados para fins comerciais”, sendo “impraticável a medição de todas as árvores de uma floresta com a finalidade de conhecer seus volumes”. A partir de aferições dos diâmetros à altura do peito de amostras que raramente ultrapassam 2% da floresta e da altura total (h) de algumas ou todas as árvores selecionadas, os volumes são estimados por meio de técnicas indiretas, como fator de forma, equações de volume e funções de afilamento.
Segundo Cao et al. (1980), volumes de árvores são normalmente estimados através de equações de volume, no entanto volumes comerciais estimados independentemente podem apresentar inconsistências com os volumes totais. Estudos procuraram definir a relação matemática entre o DAP, a altura total, o diâmetro na ponta ou a altura limite e volumes comercial e totais, com o desenvolvimento de equações de volume a partir de diferentes técnicas:
- Modelos de razões de volumes, para projeção da razão de volume comercial para total;
- Modelos de equações de afilamento, cuja integração (sólidos de revolução) pode ser usada para projeção de volumes para quaisquer alturas no fuste.
2.2.1 Volumes por sólidos de revolução
O cálculo de volumes a partir das equações de afilamento é realizado considerando a revolução da curva da função de afilamento ao redor do eixo das alturas para gerar uma figura sólida, chamada de sólido de revolução. Uma seção com determinado raio r = f(hi) terá área πr2 que multiplicada pela altura ∆h de um intervalo resulta no volume aproximado desse intervalo: ∆v = πr2∆h.
Considerando o Teorema Fundamental do Cálculo, a soma de um grande número de pequenos intervalos ∆h contidos em uma tora, para ∆h tendendo a zero (resultando em volume exato, para um tronco ideal), é obtida com a integral:
[
]
2 [ ( )] ( ) ( ) b a v= π∫
f hi dhi= π F b −F a (2.11) onde F(hi) é a integral de [f(hi)]2, a e b são as alturas que definem a tora.Liu (1980) cita que, para funções de afilamento com base em raio e altura relativos, o volume de uma tora definida para determinado intervalo [a, b] pode ser calculado multiplicando-se o resultado da integral da função de afilamento com variáveis relativas por R2h, com formulação:
[
]
2 2 2 [ ( )] ( ) ( ) b a v= πR h∫
f hi dhi= πR h F b −F a (2.12)Com esta característica, é possível obter funções de afilamento com alturas e também diâmetros relativos, permitindo maior facilidade de efetuar comparações1.
FORSLUND (1981), sobre equações de volume com base em pares de dados de altura-diâmetro, citando como exemplos di = DAP e hi = 1,3m ou, ainda, dk e hk, para a altura relativa hk a 0,3h, afirma que podem ser desenvolvidas por método direto, sem considerar a forma do tronco, ou indireto, onde uma função de afilamento é construída e então obtida a equação de volume como sua integral. Cita como vantagem o uso de métodos alternativos para estimação de parâmetros, permitindo a avaliação de outros parâmetros tais como área da superfície do tronco, o ponto de inflexão e o centro de massa, além do centro de gravidade, que utiliza em seu modelo.
Em Fang et al. (2000) pode ser encontrada a relação de compatibilidade entre volumes obtidos com o método de equações de volume e com o de funções de afilamento, para funções representando todo o tronco e para funções segmentadas:
Para uma única função:
0 2 ( , ) h h DAP k
∫
di dhi=v hPara função segmentada:
(
1 2)
0 1 1 2 2 2 ( , ) n h h h h h h DAPk di dhi di dhi di dhi v h
−
+ + + =
∫
∫
⋯∫
2.2.2 Volumes por métodos analíticos
Conforme Machado e Figueiredo Filho (2003), pesquisadores florestais procuraram desenvolver metodologias alternativas à definição de funções que seguem protótipos dendrométricos (parabolóide e neilóide, por exemplo), obtendo as
1
As fórmulas (2.11) e (2.12) consideram as unidades de medida das alturas e dos diâmetros já compatibilizadas. Para alturas em metros e diâmetros em centímetros, dividir por 10000 e considerar R2 = D2/4.
conhecidas fórmulas de Huber que a detalhou no ano de 1825 e de Smalian, que a discutiu na Alemanha no ano de 1807, a partir de desenvolvimentos iniciais de pesquisas com Kastner (1758) e Septfontaines (1791), respectivamente. Citam que outras fórmulas surgiram posteriormente, como a de Newton, de Hohenadl e da FAO (Food and Agriculture Organization).
Os referidos métodos levam em consideração a necessidade de obter uma estimativa para a área da seção transversal, que com Huber é obtida como a área do ponto médio da tora; com Smalian, como média das áreas das seções transversais nas extremidades da tora; no método de Newton, como média ponderada das áreas nas pontas e no ponto médio da tora, enquanto que o método de Hohenadl utiliza a divisão do tronco em 5 ou 10 seções sem diferenciação da importância dos segmentos por ponderações. O método da FAO utiliza ponderações para definir a área da seção transversal da base a partir de três seções definidas a 1/6 e 5/6 da tora da base do tronco e uma terceira medida à altura 0,1h. A área média ponderada para a base do tronco (com ponderação 2 para a seção a 1/6 e 1 para as outras duas) e as áreas de seções às alturas 0,3h, 0,5h, 0,7h e 0,9h, sem ponderações, são utilizadas para estimar o volume total.
O método de Newton é definido de forma que a estimativa da área seja exata quando os dados podem ser representados exatamente por um polinômio de terceiro grau, no entanto esta característica não se estende ao cálculo de volumes.
O método de Amostragem Centróide, também citado pelos autores, desenvolvida por Wood et al. (1990), visa determinar o centro do volume (centróide) do tronco inteiro, sendo posteriormente aplicado por Wiant et al. (1992) para determinação de volumes de toras. Em comparações com as fórmulas de Newton e de Huber, Wood e Wiant (1991) obtiveram melhores resultados com o método ao compará-lo com os métodos de Newton e de Huber, resultado também obtido por Patterson et al. (1993), com comparações também com a fórmula de Smalian.
A descrição completa do método pode ser encontrada em Machado e Figueiredo Filho (2003), que sugerem o cálculo do centróide e a medição do diâmetro correspondente no momento da medição dos diâmetros D (extremidade mais grossa da tora) e d (extremidade mais fina da tora).
Para a posição do centróide determinada (e1) sugerem também sua estimativa por uma função de afilamento, quando disponível.
0 ,5 4 0,5 1 2 0,5 1 2 . 2 1 D d e D d + − = − − ℓ ℓ
O cálculo do volume (m3) é determinado por: