Códigos

Para analisar o modelo dado pela Eq. (3.14), utilizamos três códigos: O CAMB, COSMOMC e o MULTINEST, necessários para gerar o espectro de potência, estimar pa- râmetros cosmológicos e fazer comparação entre diferentes modelos, respectivamente. O código COSMOMC é o mais utilizado para resolver as equações de Boltzmann∗e explorar o espaço dos parâmetros cosmológicos [69], nesse caso, as previsões teóricas são gera- das pelo código CAMB [70] e as análises são obtidas através do método Markov-Chain Monte-Carlo. Foram realizadas duas modificações principais para a versão mais recente do código COSMOMC. A primeira no código CAMB, que em sua formulação básica as- sume uma parametrização power-law para o espectro primordial de perturbações dada por PR = As(k/k∗)ns−1. No nosso caso, estamos trabalhando com o potencial do campo

escalar e é necessário calcular a dinâmica e as perturbações do modelo para gerar o es- pectro de potência primordial. Sendo assim, modificamos o código CAMB seguindo as linhas do MODECODE [61, 71], adaptado para o modelo de potencial a ser analisado. O MODECODE consiste numa ferramenta numérica bastante precisa que permite calcular a

∗

As equações de Boltzmann, no contexto cosmológico, são aplicadas para descrever os fluidos de bárions e fótons no Universo primordial. Tais equações são resolvidas utilizando softwares numéricos que possibilitam calcular suas integrais.

anisotropia da CMB, resolvendo numericamente as equações do modo inflacionário que envolve uma forma exata do potencial do inflaton V (φ) de um modelo inflacionário de único campo. Portanto, o código resolve as equações de Friedmann e Klein-Gordon, bem como as componentes de Fourier da quantidade invariante de Gauge u. Integrando este sistema de equações Eqs. (3.3) e (3.4), é possível obter o parâmetro de Hubble H, o campo φ como função do tempo e a solução uk para o modo k. Assim, seguindo estas etapas,

o código pode calcular o espectro de potência da perturbação de curvatura P_R Eq. (3.9), avaliado quando o modo cruza o horizonte.

A segunda modificação principal foi feita no código COSMOMC, ou seja, imple- mentando o algoritmo MULTINEST [72–74] para fazer a análise Bayesiana do modelo. Este último, permite analisar com precisão modelos que envolvem um número conside- rável de parâmetros e que apresentem distribuições de densidade não gaussianas e/ou degenerescência. Além disso, possibilita calcular a evidência bayesiana com uma estima- tiva de erro, permitindo fazer comparação entre vários modelos.

3.2.1.1 Inferência bayesiana

Na cosmologia, um dos métodos mais utilizado para análise estatística dos dados é a inferência bayesiana que tem como principal característica atribuir probabilidade a todas as quantidades envolvidas e tratá-las de acordo com uma série de regras, entre as quais o teorema de Bayes é o mais importante. [75, 76]. O objetivo é atualizar nosso co- nhecimento sobre a distribuição de uma variável aleatória com novos dados emergentes. Uma implicação importante é que temos que quantificar o que acreditamos que sabíamos antes de colecionar os dados: O que é conhecido como probabilidade à priori. Todas as etapas subsequentes são algorítmicas, mas a definição do prior é subjetiva, pois se pode utilizar diferentes métodos para obter o conhecimento prévio a respeito dos parâmetros.

Já a probabilidade posterior é a probabilidade do parâmetro do modelo obter cer- tos valores, após a realização da experiência. Assim, pode ser definida como:

onde θ é o parâmetro desconhecido do modelo e x corresponde aos dados observados. Assim, pode-se obter os valores esperados e seus respectivos erros. A maioria das vezes, podemos calcular o contrário, ou seja, p(x|θ). Sendo assim, considerando por exemplo, um modelo gaussiano com média µ e variância σ2 _{e seja, θ = (µ, σ), parâmetros do modelo,}

logo a probabilidade da variável x dados os parâmetros é:

p(x|θ) = √1 2πσ exp  −(x − µ) 2 2σ2  . (3.24)

Nesse caso, podemos relacionar esta última expressão com p(θ|x) através do teorema de Bayes da seguinte forma:

p(θ|x) = p(θ, x) p(x) =

p(x|θ)p(θ)

p(x) , (3.25)

onde p(θ|x) corresponde a probabilidade posterior para os parâmetros; p(x|θ) é conhecida como a likelihood (também pode ser representada por L(x; θ)); p(θ) é denominada de prior (refere-se ao resultado de experimentos anteriores, ou teoria a respeito dos parâmetros)† e p(x) é a evidência que é dada por:

p(x) = Z

dθp(x|θ)p(θ). (3.26)

Esta última, representa a normalização das probabilidades para estimação dos parâme- tros.

As evidências desempenham um papel importante na seleção do modelo, quando se considera mais de um modelo teórico e se quer discriminar entre os modelos, indepen- dentemente dos parâmetros.

A análise bayesiana é uma ferramenta muito importante para identificar o mo- delo que se ajusta bem aos dados cosmológicos. Nesse contexto, é considerado o melhor modelo aquele que consegue o melhor compromisso entre qualidade de ajuste aos da- dos e preditividade. Realmente, um modelo com mais parâmetros livres sempre ajustará melhor os dados quando comparado com o modelo com menos parâmetros, no entanto, tal complexidade adicional deve ser evitada sempre que um modelo mais simples forne-

†

Vale mencionar que, na ausência de qualquer informação anterior, o prior é geralmente assumido como uma cons- tante ou "prior plano".

cer uma descrição adequada das observações. O que a comparação bayesiana de mode- los faz é avaliar o quanto a complexidade extra de um modelo é requerida pelos dados, tendo preferência modelos que descrevam bem os dados sobre uma grande fração de seu volume do espaço de parâmetros‡. Portanto, vamos assumir dois modelos concorrentes denotados por M e M0 (este último, tem menos parâmetros em relação ao outro) respec- tivamente, cujo x corresponde aos dados e θ, θ0 os parâmetros de cada modelo. Assim, a probabilidade posterior do modelo M será dada pelo teorema de Bayes:

p(θ|x, M ) = p(x|θ, M )p(θ|M )

p(x|M ) , (3.27)

que relaciona a probabilidade posterior p(θ|x, M ) com a likelihood (p(x|θ, M )) e a função de distribuição de probabilidade á priori (p(θ, M )). A evidência é caracterizada pelo denomi- nador do teorema de Bayes e é dada por:

p(x|M ) = Z

dθp(x|θ, M )p(θ|M ). (3.28)

Similarmente, obtemos essa relação para o modelo M0. Portanto, a discriminação entre os dois modelos concorrentes pode ser obtida ao se tomar a razão entre suas evidências:

BM0_M =

R dθ0_p(x|θ0_{, M}0_)p(θ0_|M0₎

R dθp(x|θ, M )p(θ|M ) (3.29)

A Eq. (3.29), é conhecida como fator de Bayes do modelo M0 relativo ao modelo M .

A forma mais usual de classificar os modelos de interesse é adotar a escala de Jeffrey para avaliar as diferenças de evidência, ou seja, interpretar os valores de ln Bij em

termos da força da evidência de um modelo de referência escolhido. Portanto, conside- rando dois modelos, teremos [78]: ln Bij = 0−1, ln Bij = 1−2.5, ln Bij = 2.5−5, e ln Bij > 5

que indicam, respectivamente, inconclusivo, fracamente favorecido, moderadamente fa- vorecido e fortemente favorecido em relação ao modelo de referência j. Observe que os valores negativos de ln Bij favorecem fortemente o modelo de referência.

Vale ressaltar que, para nossos resultados, usamos o algoritmo Bayesiano mais ‡

Para um estudo mais aprofundado sobre a abordagem Bayesiana de seleção de modelos sugerimos ao leitor ver [77, 78].

preciso Importance Nested Sampling (INS) [74, 79] ao invéns do (NS), alcançando um erro global < 0.1 do Log-Evidência do INS.