8.1
G en eralid ad es
O objetivo principal deste trabalho foi desenvolver e verificar a eficiência dos métodos sem malha, em particular o hp Clouds Method, aplicados às formulações integrais de con torno. Um objetivo intermediário atingido foi o domínio da formulação de Galerkin (versões Forte, Hiper e Simétrica) e de seus problemas inerentes (integração, regularização etc.). Os resultados obtidos mostram o potencial da metodologia, sua robustez e versatilidade para soluções adaptativas.
A seguir são apresentadas as principais conclusões alcançadas no decorrer deste trabalho, procurando discriminar aspectos positivos e negativos da técnica proposta.
Adicionalmente é apresentado um delineamento de futuros desenvolvimentos empregando a atual formulação e estrutrura computacional desenvolvida.
8.2
C on clu são
Durante um desenvolvimento teórico de uma nova metodologia, são esperadas vantagens e desvantagens em relação às metodologias conhecidas. No presente trabalho, as vantagens superam consideravelmente as desvantagens. A seguir são listadas as principais vantagens da presente formulação.
C a p ítu lo 8 - C o n clu sõ es e h o rizo n te s p a ra fu tu r o s d e se n v o lv im e n to s 122
• 0 método de Galerkin mostrou-se insensível aos finais de fronteira (equivalente ao nó
duplo do método da colocação).
• 0 número de condição para a partição da unidade é baixo, crescendo lentamente com o acréscimo do número de nuvens.
• O método de Galerkin, para as abordagens Hiper e Simétrica, não é afetado pelo fator
escala em função do procedimento de integração.
• O método das nuvens, devido à facilidade natural para a adaptatividade p, apresenta um comportamento muito satisfatório em processos adaptativos, especialmente para a formulação simétrica de Galerkin.
• 0 enriquecimento p adaptativo apresenta maior eficiência que o enriquecimento p uni forme, isto é, menor número de graus de liberdade do sistema de equações para a
mesma precisão dos resultados.
• A adaptatividade p em problemas singulares e malhas uniformes apresenta taxas de convergência algébricas.
• A adaptividade p em problemas singulares com uso de malhas geométricas apresenta taxas de convergência exponenciais.
• 0 esquema de Shepard, empregado pelo método das nuvens, é um procedimento gene ralizado para a construção de partições da unidade.
• 0 indicador de erros desenvolvido é bastante robusto para a formulação de Galerkin.
• 0 método das nuvens tem boa aplicabilidade à formulação de Galerkin.
• A adaptatividade p acoplada com o método das nuvens é factível e tem bom desempenho
A seguir são listadas as desvantagens observadas no desenvolvimento.
• 0 enriquecimento p feito com funções de mesmo tipo da partição da unidade (Legendre x função tenda) resulta em matrizes singulares.
• O emprego da integração analítica para o método de Galerkin na adaptatividade p tom a
o código computacional extenso e de difícil depuração.
• A construção do sistema de equações na formulação de Galerkin envolve um volume de cálculo muito maior que o da formulação por colocação. A formulação Simétrica compensa esse efeito por dois motivos: o número de termos a ser calculado é menor, e o sistema de equações é simétrico.
Cotejando as desvantagens e desvantagens acima enumeradas, conclui-se que a presente formulação, em relação as existentes, tem boas propriedades para solução de problemas de valores no contorno, o que a torna uma boa ferramenta no aumento do escopo de aplicação da formulação de Galerkin para as equações integrais de contorno.
8.3
H o rizo n tes para fu tu ros d esen v o lv im en to s
A adaptatividade p e o método das nuvens, aqui apresentados, aplicados ao métodos de Galerkin das equações integrais de contorno é apenas um passo inicial, não podendo o tema ser considerado esgotado. Há um caminho muito longo a ser percorrido no desenvolvimento de novas ferramentas de análise para outros tipos de problemas.
Não restringindo o desenvolvimento a outros tópicos, os que seguem são sugestões para desenvolvimentos futuros.
• Eliminar a restrição da aplicação, do programa desenvolvido, apenas aos problemas
limitados por contornos retos. Este trabalho, já se encontra em fase de desenvolvimen to.
C a p ítu lo 8 - C o n clu sõ es e h o riz o n te s p a ra fu tu r o s d e se n v o lv im e n to s 124
• Introduzir a variável tempo na formulação, de maneira a permitir a análise de proble
mas transientes.
• Aplicar este método para problemas tridimensionais. Este tema, perfeitamente exeqüí vel em termos teóricos, apresenta maiores dificuldades nos aspectos computacionais.
• Introduzir forças de campo (fontes e sumidouros) na formulação.
• Possibilitar que condições de contorno mais complexas possam ser aplicadas.
• Verificar a eficiência da integração numérica em relação à semi-analítica que é feita
atualmente.
• Gerar um banco de dados referente ao número de pontos de integração versus proxi
midade dos pontos fonte e campo, para maximizar o desempenho da metodologia RISP. Um dos restritores do bom desempenho do método de GalerMn é o custo do cálculo dos termos das matrizes.
• Otimizar o programa de tal forma a explorar todas as simetrias possíveis, o que me lhoraria o desempenho do método de Galerkin em relação aos elementos de contorno por colocação.
• Introduzir novos estimadores de erro a posteriori. Este aspecto constitui um desafio
teórico compensadorj pois a eficiência do método pode ser substancialmente melhorada se o estimador de erros é adequadamente formulado.
• Introduzir a adaptatividade hp no programa desenvolvido bem como indicadores de er ros a posteriori associados, já que é mostrada a superioridade do procedimento quando são usadas malhas geométrica na solução de problemas com singularidades.
• Introduzir novas partições da unidade, como por exemplo a constante, de tal maneira que fique barato e fácil o cálculo dos termos das matrizes.
• Introduzir outras famílias de funções enriquecedoras, tais como funções de Trefftz, com
o objetivo de evitar a singularidade das matrizes.
• Aplicar a metodologia das nuvens, bem como a adaptatividade p e hp, para outros
problemas tais como: elasticidade bi e tridimensional, plasticidade, acústica, placas, difusão, eletromagnetismo etc.