Calcular as Probabilidades de Transição

Através da aplicação de métodos numéricos de integração, facilmente se calculam as probabilidades de permanência. No entanto, devido às características da operação com múltiplos estados, o cálculo das probabilidades de transição associadas a um processo estocástico contínuo no tempo é, regra geral, de difícil integração.

Existem no entanto algumas soluções de aplicação geral a qualquer operação com múltiplos estados que nos permitem de calcular as referidas probabilidades de transição a partir da estimação das correspondentes intensidades de transição.

Estas soluções podem ser obtidas de duas formas distintas:

• De forma exacta a partir da suposição de determinadas hipóteses restritivas às funções de transição (probabilidades e intensidades):

− Intensidades de transição constantes: nesta hipótese são consideradas

constantes as intensidades de transição para qualquer idade x e qualquer

transição de i para j , o que nos conduz ao conhecido processo estocástico

de Markov homogéneo (Jones, B.L. (1993));

− Intensidade de transição constante definida por intervalos de tempo: esta

definida por intervalos de intensidade constante, conservando desta forma a

não-homogeneidade do processo no tempo (Jones, B.L. (1993));

− Intensidade de transição contínua: esta hipótese supõe a continuidade das

intensidades de transição em todo o intervalo de tempo considerado, a partir das correspondentes probabilidades de transição em n etapas

(Wolthuis, H. (1994)).

• De forma aproximada a partir da aplicação de algoritmos numéricos:

− Método numérico baseado no teorema do valor médio: método baseado na

aplicação do teorema do valor médio (Waters, H.R.(1984)).

− Método numérico baseado na integração por produto: este método propõe

a obtenção aproximada da matriz ℘_x(t) a partir das matrizes de intensidade

de transição de cada um dos sub-intervalos que resultam de uma partição da

CAPITULO

III

AVALIAÇÃO

FINANCEIRO-ACTUARIAL

DE

III.1. INTRODUÇÃO

Partindo do estudo de Haberman e Pitacco (1999), iremos neste capítulo formular um

modelo actuarial para um seguro de dependência. Para tal iremo-nos basear nos modelos de múltiplos estados descrevendo, através de um processo estocástico contínuo no tempo, as diferentes probabilidades de transição que compõem a estrutura probabilística necessária para a formulação financeiro-actuarial de um seguro com estas características.

Existe um leque de possibilidades bastante alargado para o conjunto de produtos que poderíamos considerar deste tipo de seguro. No entanto, iremos considerar um seguro composto por coberturas relacionadas com o risco de dependência (Seguro de Dependência), bem como a garantia de um capital seguro em caso de morte (Seguro de Morte).

Consideremos um produto de seguro com as seguintes características:

9 Coberturas/Serviços prestados:

• Apoio Domiciliário e Teleassistência (ADT)

• Assistência Residencial ou Hospitalar (ARH)

9 O modelo considera três graus de dependência de acordo com a gravidade

apresentada, isto é, o grau I corresponde a uma dependência moderada, o grau II corresponde a uma dependência grave e o grau III corresponde a uma dependência severa.

9 Não existe possibilidade de recuperação para pessoas dependentes1 pois as

incapacidades que apresentam as pessoas com mais de 65 anos são de carácter

1

Na prática, e de acordo com o nível de dependência definido pela companhia de seguros para cada grau de dependência, poderemos considerar a recuperação do estado de dependência de grau II para o estado de dependência de grau I. No estanto esta situação implica o estudo do modelo de múltiplos estados descrito probabilisticamente através de um semi-processo estocástico de Markov contínuo no tempo, o qual não é objecto de estudo neste nosso trabalho.

permanente em 90% dos casos, pelo que podemos supor que a probabilidade de

um indivíduo deixar de ser dependente é igual a zero2.

9 A idade limite de subscrição é os 65 anos de idade, sendo que se pressupõem que o

segurado é saudável (autónomo) nessa idade.

9 O contrato de seguro só produz efeitos a partir dos 65 anos de idade e não tem

idade limite de permanência.

9 As prestações são mistas, isto é, os benefícios garantidos comportam uma

prestação económica (renda e/ou capital seguro) e permitem o acesso a uma rede de serviços de assistência. A nível das prestações económicas, o contrato de seguro garante à pessoa segura:

a) Em dependência de grau I, uma renda contínua constante vitalícia R3

paga enquanto o segurado se encontrar em situação de dependência moderada.

b) Em dependência de grau II, uma renda contínua constante vitalícia R paga

enquanto o segurado se encontrar em situação de dependência grave, bem

como um capital seguro no valor de C no momento da entrada neste estado d2

de dependência.

c) Em dependência de grau III, uma renda contínua constante vitalícia R paga

enquanto o segurado se encontrar em situação de dependência severa, bem

como um capital seguro no valor de C , no momento da entrada neste estado d3

de dependência. Note-se que Cd2 ≤Cd3_.

d) Em caso de morte, um capital seguro _{C . Assumiremos que} f Cf ≤Cd2 +Cd3_.

9 No que diz respeito às coberturas/serviços prestados, para dependentes moderados

será considerada apenas a cobertura de ADT, para dependentes graves a cobertura a considerar já poderá ser a ADT e a ARH, para dependentes severos vamos

2

Artís, M.; Ayuso, M.; Guillén, M. (2007; 383). 3

Na prática faz sentido que esta renda seja variável de acordo com o grau de dependência em que a pessoa segura se encontra, de tal forma que RI < RII < RIII, sendo Ri o valor da renda contínua vitalícia paga enquanto o segurado se encontrar no estado de dependência de grau i ={I, II, III}. De forma a tornar o nosso modelo em

estudo mais simples optámos por considerar o caso particular de uma renda contínua constante vitalícia R paga independentemente do estado de dependência do segurado.

considerar apenas a cobertura ARH. Os custos inerentes a estes serviços poderão ser financiados através das prestações económicas acima definidas garantidas de acordo com o grau de dependência em que se encontre a pessoa segura.

9 Como contrapartida aos benefícios garantidos, o segurado deverá pagar um prémio

vitalício nivelado (constante) P4, desde a idade de subscrição x, enquanto a

pessoa for viva, independentemente do grau de dependência em que se encontre.

9 É admissível a operação de resgate.

III.2. MODELO DE MÚLTIPLOS ESTADOS APLICADO A UMA OPERAÇÃO DE