Canal de Apagamento Quântico

O modelo de canal de apagamento quântico (do inglês quantum erasure channel - QEC),3 foi primeiro considerado por Grassl e outros em [39]. Neste modelo é considerada uma situação na qual a posição dos qubits errôneos é conhecida.

Admite-se que toda informação é fisicamente representável e, portanto, todos os qubits representando-a são codificados em estados de sistemas físicos [70]. Os qubits irão ter dois estados distinguíveis que serão denominados “zero” e “um”. Eles estarão em contato com um ambiente que pode ser modelado como um reservatório de calor a uma temperatura fixa T . Haverá também um parâmetro externo que permite fazer uma operação sobre o qubit. Este parâmetro externo será o meio com o qual se irá apagar o qubit. Em todos os casos admitir- se-á ter um grande número de qubits, mas estes serão apagados individualmente, um por um. Ver-se-á o grande número de qubits como um conjunto (an ensemble, em inglês). Para ter uma visão mais clara de todo o processo se poderia pensar, por exemplo, no qubit como sendo uma partícula de spin-1/2 e do parâmetro externo como sendo um campo magnético que se pode alterar. Isto mostra que tudo que se precisa é de um reservatório de calor e um parâmetro externo para apagamento. Não é necessário reservatórios de calor adicionais ou parâmetros externos adicionais. Apagamento é uma operação de reset. Ela pode ser definida como “restaurar para um” ou como “restaurar para zero”. De qualquer forma, segue-se de dois estados possíveis do qubit para um estado possível.

Em seu artigo seminal de 1961 [71], Landauer argumenta que como o apagamento é uma função lógica que não tem um inverso de valor único, ele deve ser associado com a irrever- sibilidade física e, portanto, requer a dissipação de calor. Ele argumenta que um qubit tem um grau de liberdade e a dissipação de calor deve ser da ordem de kBT , em que kB é a constante de Boltzmann e T é a temperatura na qual o apagamento ocorre. Mais precisamente, desde que antes do apagamento um qubit pode estar em qualquer um dos dois possíveis estados e depois do apagamento ele pode estar somente em um estado, isso implica em uma mudança na entropia da informação de −k ln(2). Uma vez que a entropia não pode diminuir (decrescer) este (apaga- mento) deve aparecer, argumenta Landauer, em algum outro lugar como calor. Implícito neste argumento é a suposição essencial que a entropia da informação se traduz em entropia física.

Em geral, a corrupção do dado não é, a priori, óbvia para o observador, que deve co- dificar o dado de modo especial para detectar tal corrupção. Sobre alguns modelos físicos entretanto, é imediatamente conhecido quando algum operador de erro tiver sido aplicado. Con- siderando a situação em que erros são acompanhados pela emissão de quanta4_{eles podem, em} princípio, serem detectados [39]. Por exemplo, se os qubits são representados por átomos, uma importante fonte de erros é a emissão espontânea. Um elétron pode passar espontaneamente de uma órbita para outra de energia menor e, com isso, o átomo correspondente emite um fóton

3_{Outros canais quânticos são apresentados no Apêndice B.2.} 4_{plural de quantum.}

numa direção qualquer. O fóton emitido tem energia igual à energia do estado inicial menos a energia do estado final. Esse processo é chamado de emissão espontânea ou decaimento espon- tâneo. Fótons espontâneos podem ser observados pelas técnicas de fotodetecção. Para ilustrar, considere as seguintes situações:

• seja um sistema físico consistindo de um átomo no qual a informação é apropriadamente codificada em dois níveis de energia. Esses níveis constituem o espaço computacional Hcomp. Uma transição que leva um estado do sistema para fora do espaço computacional é chamada um transição não ressonante, sendo denotada por H⊥_comp. A manipulação do sistema é realizada por meio de técnicas que permitem identificar a população desses níveis de trabalho, usando um laser sintonizado na diferença de energia entre esses dois estados (transição ressonante). Se uma transição é sinalizada pela emissão de um fóton, por exemplo, e a medida da população do nível previsto não indica variação, pode-se concluir que aquela foi uma transição não ressonante. O estado foi, portanto, levado para fora do espaço computacional. Este fato caracteriza o canal de apagamento quântico [42]; • similarmente, se bits quânticos são armazenados em forma de cavidades quantizadas, um fóton de cavidade detectado indica um erro [72]. Tome um átomo excitado passando com- pletamente por dupla fenda, como representado pela Figura 2.2 [6]. Se nada está entre as fendas e a tela coletora no final, bordas podem ser observadas no padrão de interferência. Mas, se for colocada uma sonda, consistindo de duas cavidades ressonantes (identificadas por 1 e 2 na Figura 2.2) que são compostas por detector e espelhos removíveis, então as bordas de interferência desaparecem, desde que o átomo, enquanto relaxando para seu es- tado fundamental, libere um fóton em uma das duas cavidades, dependendo da fenda em que ele passou completamente. Este fato é usualmente interpretado como a sonda man- tendo uma trilha de qual é a forma da informação sobre a trajetória do átomo, de tal modo que uma informação pode ser, em princípio, extraída pelo experimentador. Experimental- mente, isto pode ser realizado depois da passagem do átomo pelas cavidades, removendo simultaneamente ambos os espelhos na Figura 2.2, de tal modo que o detector entre as duas cavidades seja acoplado com o estado simétrico da radiação dentro delas. Então, separando os dois sub-efeitos dos eventos correspondendo aos resultados das medidas, é possível recuperar as bordas de interferência originais.

É usualmente admitido que o espaço do sistema Hsysseja um produto tensorial de espa- ços bidimensionais H2 (qubits), i. e.,

Hsys = H2⊗ . . . ⊗ H2. (2.34)

Entretanto, isto é uma aproximação [39]. Por exemplo, átomos usualmente tem muitos níveis que podem ser corrompidos; isso é atribuído a uma evolução dinâmica não desejada do

1

2

Figura 2.2 A figura ilustra um esquema para detecção de apagamento quântico.

sistema. Portanto, o espaço de Hilbert do sistema Hsys, é um produto tensorial de espaços multidimensionais em que subespaços bidimensionais são usados para computação:

Hsys = Hk⊗ . . . ⊗ Hk, (2.35)

Hcomp = H2⊗ . . . ⊗ H2, (2.36)

em que Hcomp é o subespaço dos estados computacionais permitidos. Cada espaço bidimensio- nal H2 é um subespaço de Hk, mas não necessariamente um fator tensorial de Hk (assume-se, por simplificação, que as dimensões de todos os fatores tensoriais sejam iguais). Com isso, o espaço do sistema Hsyspode somente ser decomposto como uma soma direta de subespaços

Hsys = Hcomp⊕ H⊥comp (2.37)

e, geralmente, não como um produto tensorial. Durante as computações livres de apagamento o sistema permanece em Hcomp. Qualquer população encontrada em H⊥comp é uma sinalização de apagamento.

O QEC, com probabilidade , substitui o estado do qubit que entra por um “estado apagado” |2i ortogonal a |0i e |1i, assim, tanto apaga o qubit quanto informa ao receptor que o mesmo foi apagado.