Canal liso: an´ alise num´ erica

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Saida

Parede

Parede

Entrada

Celula

Figura 4: Dom´ınio discretizado do canal liso, com as regi˜oes de fronteira indicadas. A malha quadrada cont´em 16x60 c´elulas onde as equa¸c˜oes s˜ao resolvidas e seus valores armazenados.

Para a verifica¸c˜ao da convergˆencia da solu¸c˜ao um dos crit´erios usados ´e definido em termos de “res´ıduos”, os quais fornecem uma medida do grau em que as equa¸c˜oes de conserva¸c˜ao est˜ao sendo satisfeitas ao longo do campo de escoamento. O Res´ıduo Rφ

computado pelo Fluent vinculado ao m´etodo baseado na press˜ao est´a relacionado ao “de- sequil´ıbrio” gerado pela eq. 1.21 somado sobre todas as c´elulas P , escrito como

Rφ= P P | P kakφk+ b − aPφP| P P|aPφP| . (1.22)

Os res´ıduos para cada vari´avel do escoamento (velocidade, press˜ao, etc) d˜ao uma medida da magnitude do erro na solu¸c˜ao em cada intera¸c˜ao. Em geral, a solu¸c˜ao pode ser considerada convergida se os res´ıduos s˜ao da ordem de 10−3

.

1.4

Canal liso: an´alise num´erica

Nesta se¸c˜ao vamos analisar o escoamento de um fluido entre duas placas paralelas, mas diferentemente da abordagem feita na se¸c˜ao 1.2, aqui faremos o tratamento num´erico do problema. Da mesma forma que antes, o fluido ´e tratado de forma que ele seja newtoniano e incompress´ıvel. N˜ao h´a intera¸c˜ao do tipo gravitacional.

Na figura 4, podemos ver a malha usada para discretizar o dom´ınio. As paredes do canal s˜ao tratadas de forma que o fluido n˜ao deslize, assim a velocidade relativa entre a parede e a camada de fluido adjacente `a esta ´e zero. Na regi˜ao de entrada ´e adotado um perfil parab´olico de velocidade de acordo com a equa¸c˜ao 1.12. Na regi˜ao de sa´ıda, adotamos como condi¸c˜ao de contorno de press˜ao, esta sendo constante e igual `a zero.

1.4 Canal liso: an´alise num´erica 31

Figura 5: Perfil parab´olico de velocidade em escala de cores. Fluido escoando da esquerda para a direita. Magnitude de velocidade variando de azul escuro (menor velocidade) at´e vermelho escuro (maior velocidade).

Figura 6: Perfil linear de press˜ao em escala de cores. Fluido escoando da esquerda para a direita. Magnitude de press˜ao variando de azul escuro (menor press˜ao) at´e vermelho escuro (maior press˜ao).

A velocidade adotada na condi¸c˜ao de contorno da por¸c˜ao de entrada no canal ´e tal que a velocidade de escoamento do fluido possui um valor relativamente baixo se comparado com velocidades que podem provocar turbulˆencia (R ≈ 2000). Desta forma, o problema ´e tratado usando equa¸c˜oes (se¸c˜ao 1.3.1) para um fluido escoando em regime estacion´ario, isto ´e, os termos s˜ao independentes do tempo. As equa¸c˜oes s˜ao resolvidas usando um esquema upwind de primeira ordem. A malha utilizada cont´em 16x60 c´elulas nas quais s˜ao armazenados os valores, como por exemplo press˜ao, velocidade, densidade, temperatura, etc (fig. 4). Nesta simula¸c˜ao, a convergˆencia das equa¸c˜oes (momento e continuidade) foi obtida quando os valores dos res´ıduos atingiram valores iguais a 10−6

.

Nas figuras 5 e 6 mostramos os campos de velocidade e press˜ao, respectivamente, obtidos a partir de simula¸c˜oes computacionais. Qualitativamente, observamos que o esco- amento ´e laminar, com um perfil de velocidade parab´olico e constante ao longo do canal. Podemos ver tamb´em, atrav´es da figura 7, a concordˆancia entre os resultados n´umerico e anal´ıtico atrav´es do perfil de velocidade exibido na regi˜ao de sa´ıda do canal.

1.4 Canal liso: an´alise num´erica 32 -1 -0.5 0 0.5 1

y/y

v/v

Figura 7: Perfil de velocidade na regi˜ao de sa´ıda do canal liso. Compara¸c˜ao entre o resultado num´erico e anal´ıtico.

33

2

ESCOAMENTO EM CANAIS

CATRACA

A natureza da catraca vem sendo estudada tanto no ˆambito da f´ısica cl´assica [4] como da f´ısica quˆantica [15]. Feynman em seus Lectures [1] aborda uma experiˆencia com uma m´aquina a qual podia realizar trabalho atrav´es dos movimentos aleat´orios de part´ıculas. Dois recipientes contendo gases com temperaturas iguais (T1 = T2 = T ),

isolados, conectados por um eixo no qual uma extremidade possuia palhetas e a outra, uma catraca. Devido ao choque das mol´eculas do g´as nas palhetas, estas oscilam ora girando em um sentido, ora no outro. Para fazer com que este movimento seja retificado, isto ´e, o eixo gire apenas em um sentido, uma ling¨ueta ´e conectada `a catraca (fig. 8). Desta forma poderia-se levantar um pequeno objeto preso ao eixo. Levando em conta o problema de maneira mais detalhada pode-se chegar `a conclus˜ao de que s´o ´e poss´ıvel a realiza¸c˜ao de trabalho se a temperatura das palhetas (T1) for maior que a temperatura

da catraca (T2).

Figura 8: M´aquina idealizada por Feynman [1].

Esta id´eia de uma m´aquina funcionando atrav´es de movimentos aleat´orios de part´ıculas (mol´eculas) deu origem ao que hoje chamamos de “Motores Brownianos” ou “Motores

2 Escoamento em Canais Catraca 34

Figura 9: Esquema de um potencial catraca tipo liga-desliga induzindo o surgimento de uma dire¸c˜ao preferencial de deslocamento para um sistema de part´ıculas brownianas [2]. Moleculares” [16, 17]. As prote´ınas que fazem parte do metabolismo celular s˜ao um exemplo de tais motores, visto que fazem parte de processos como o transporte passivo (prote´ınas de canal) e transporte ativo (prote´ınas carregadoras, chamadas de bombas), processos que s˜ao semelhantes aos desempenhados por motores. A energia necess´aria para o funcionamento destes motores vem da energia qu´ımica, sendo esta transformada em energia mecˆanica. O motor browniano age estabelecendo uma dire¸c˜ao preferencial de deslocamento de part´ıculas. Estas part´ıculas constituem um sistema fora do equil´ıbrio (movimento browniano) que, quando submetido `a alguma propriedade f´ısica que possui uma assimetria espacial ou temporal (um potencial el´etrico assim´etrico, por exemplo) passa a ter um comportamento “organizado”. Podemos ilustrar tal situa¸c˜ao atrav´es de um sistema composto de part´ıculas que se movem aleatoriamente, submetidas `a um poten- cial catraca[18], de acordo com a figura 9. Durante a fase On as part´ıculas se concentram em torno da regi˜ao de potencial m´ınimo. Na fase Off as part´ıculas seguem seu movimento aleat´orio seguindo uma difus˜ao isotr´opica. Uma troca peri´odica ou aleat´oria entre os es- tados On e Off induz o aparecimento de uma corrente no sentido positivo de x. Esta ilustra¸c˜ao pode ser vista no trabalho de Heiner Linke [2].

Pesquisas sobre o efeito catraca vˆem sendo desenvolvidas com contribui¸c˜oes de tra- balhos te´oricos [18–20] e experimentais [21–23]. Id´eias foram surgindo baseando-se no princ´ıpio da quebra de simetria em busca do efeito catraca. Linke [3] aplicou este princ´ıpio para desenvolver um mecanismo onde gotas poderiam se deslocar sobre uma superf´ıcie em formato de catraca atrav´es do efeito Leidenfrost (figura 10-a). Kettner [4] tamb´em usa a mesma id´eia da catraca em um dispositivo capaz de separar part´ıculas imersas em um l´ıquido que oscila dentro de estruturas porosas cujos poros s˜ao constitu´ıdos de canais cujas paredes possuem um perfil de catraca (figura 10-b).

2 Escoamento em Canais Catraca 35

Figura 10: (a) Deslocamento de gotas sobre uma superf´ıcie “catraqueada” [3] . (b) Dispositivo de separa¸c˜ao de part´ıculas em poros com formato de catraca [4].

O estudo do escoamento viscoso no interior de canais desta natureza ´e de grande im- portˆancia para o processo de transporte em meios porosos, tais como extra¸c˜ao de petr´oleo do interior de rochas porosas e processos de filtragem em geral. As propriedades do es- coamento devido `a periodicidade geom´etrica podem ser aplicadas a modelos de gera¸c˜ao de ventos por ondas em ´agua, forma¸c˜ao de ondula¸c˜oes em rios e dunas, forma¸c˜ao de on- dula¸c˜oes em superf´ıcies em fus˜ao [24]. Canais com constric¸c˜oes s˜ao tamb´em estudados, de forma te´orica [25] e experimental [26], com aplica¸c˜ao em les˜oes vasculares. Trabalhos anteriores [24–29] consideraram o escoamento em canais com geometria sem quebra de simetria direcional, isto ´e, a largura do canal varia periodicamente e de forma sim´etrica. Assim surge o interesse em estudar uma estrutura com quebra de simetria direcional (ca- nal catraca), de forma a verificar a dependˆencia do escoamento devido `as propriedades desta peculiar geometria.

EIXO

Figura 11: Canal tipo catraca.

Neste cap´ıtulo faremos um estudo sobre o escoamento em canais cuja geometria pos- sui caracter´ısticas que podem provocar efeitos inerentes a canais rugosos. O canal que tratamos possui uma largura que varia de forma peri´odica, por´em assim´etrica, na dire¸c˜ao do eixo do canal (dire¸c˜ao do escoamento), de acordo com a figura 11. Devido `as paredes do canal possu´ırem um formato que lembra dentes de uma catraca, vamos nos referir a