Seja (Wn; V, V′) uma tr´ıade suave com fun¸c˜ao de Morse f e ξ o campo de vetores tipo
gradiente associado a f . Nesta se¸c˜ao assumiremos que f ´e uma fun¸c˜ao boa e com isso denotaremos Wk= f−1([−12, k + 12]), k = 1, . . . , n e Vk+ = f−1(k + 12). V1+ V0+ V2+ W0 W1 W2 0 1 −1 2 2 1 2 3 2 5 2 Figura 7.1:
Sabendo, pelo teorema 4.1.2, que podemos sempre alterar ξ tal que a interse¸c˜ao entre SR e SL′ seja transversal em Vk+, consideraremos que esta interse¸c˜ao ´e sempre transversal.
Teorema 7.2.1. Se H0(W, V ) = 0, ent˜ao os pontos cr´ıticos de ´ındice 0 podem ser cance-
lados junto com um n´umero igual de pontos cr´ıticos de ´ındice 1.
Demonstra¸c˜ao. Sejam p e q pontos cr´ıticos de ´ındices 0 e 1 respectivamente. Primeira-
mente mostraremos que se H0(W, V ) = 0 ent˜ao SRn−1(p) e SL0(q) em Vk+ se intersectam
em um ´unico ponto.
Consedere a homologia com coeficientes em Z2. Como H0(W, V ) = 0 segue do teorema
6.1.4 que H1(W1, W0, Z2) ∂
→ H0(W0, V, Z2) ´e sobrejetiva. Como notamos na se¸c˜ao anterior
∂ ´e determinado pela matriz de n´umeros de interse¸c˜ao das (n− 1)-esferas a direita e das 0-esferas a esquerda em V0+ e, neste caso, as entradas desta matriz s˜ao 0 ou 1. Da
sobrejetividade segue que, para cada SRn−1 existe ao menos um S0
L com S n−1
R · SL0 = 1(
mod 2). Sendo assim, dado um ponto cr´ıtico p de ´ındice 0 existe pelo menos um ponto cr´ıtico q de ´ındice 1 onde S0
L(q) e S n−1
R (p) se intersectam em um n´umero ´ımpar de pontos
em V0+, mas SL0(q) possui apenas dois pontos e assim concluimos que a interse¸c˜ao ´e ´unica.
Com isso e usando a observa¸c˜ao 3.2.7, podemos alterar f sem alterar ξ nos interiores de f−1([−1 2, 1 2]) e de f−1([ 1 2, 3
2]) aumentando o n´ıvel de p e diminuindo o n´ıvel de q tal que
para algum δ > 0
δ < f (p) < 1
2 < f (q) < 1− δ.
Agora podemos usar o Primeiro Teorema do Cancelamento 4.2.1 para alterar f e ξ em f−1([δ, 1− δ]) de modo a cancelar os pontos p e q.
Usando esse procedimento finitas vezes podemos cancelar pontos cr´ıticos de ´ındice 0 com um n´umero igual de pontos cr´ıticos de ´ındice 1 como quer´ıamos.
Observe que se tivermos mais pontos cr´ıticos de ´ındice 0 que de ´ındice 1, ao final do processo acima, sobrariam pontos cr´ıticos de ´ındice 0. Mas, se isso acontecesse, a sobrejetividade de ∂ seria contrariada, logo podemos concluir que existe um n´umero menor ou igual de pontos cr´ıticos de ´ındice 0 que pontos cr´ıticos de ´ındice 1.
Nosso objetivo agora ´e cancelar os pontos cr´ıticos de ´ındice 1 restantes. Para isso, para cada esfera a direita SR(p) de um ponto cr´ıtico p de ´ındice 1 em V1+, provaremos a
existˆencia de uma 1-esfera mergulhada em V1+ que intersecta SR(p) em um ´unico ponto e
n˜ao intersecta nenhuma outra esfera a direita. Levaremos tal esfera, atrav´es de trajet´orias de ξ at´e V2+, em seguida adicionaremos dois pontos cr´ıticos de ´ındices 2 e 3 `a direita de
V2+. Usaremos o fato da dimens˜ao ser maior ou igual a 5 para alterar ξ de modo que a
esfera a esquerda do ponto cr´ıtico de ´ındice 2 ser exatamente a 1-esfera mergulhada em V1+ e transladada a V2+. Depois disso faremos o mesmo que na demosnstra¸c˜ao acima e
cancelaremos estes dois pontos cr´ıticos resultando na substitui¸c˜ao dos pontos cr´ıticos de ´ındice 1 por pontos cr´ıticos de ´ındice 3.
Mas antes de enunciar e demonstrar este cancelamento, provaremos alguns resultados. Lema 7.2.2. Seja a tr´ıade suave (Wn; V, V′) com n ≥ 4 e V conexa. Se Sn−2
R ´e uma
esfera a direita em V1+, existe uma 1-esfera mergulhada em V1+ que possui interse¸c˜ao
transversal com SRn−2 e n˜ao intersecta nenhuma outra esfera a direita.
Demonstra¸c˜ao. Como dim V1+ = n− 1 e dim SRn−2 = n− 2 existe um pequeno disco
D⊂ V1+ tal que seu ponto m´edio q0 intersecta SRn−2 transversalmente e D n˜ao intersecta
nenhuma outra esfera a direita. Translademos os pontos finais de D ao longo de trajet´orias de ξ a um par de pontos em V .
Como V ´e conexo e dim V = n − 1 ≥ 2, estes pontos podem ser unidos por um caminho suave em V que n˜ao intersecta as 0-esferas a esquerda em V . Este caminho pode ser levado de volta a um caminho suave em V1+ ligando os pontos finais de D. Note
que este n˜ao intersecta nenhuma outra esfera a direita. Agora podemos construir uma aplica¸c˜ao suave g : S1 → V
1+ tal que:
- g−1(q
0) ´e um ponto a ∈ S1 e g mergulha suavemente uma vizinhan¸ca fechada A de a
em uma vizinhan¸ca de q0 em D.
- g(S1− a) n˜ao encontra nenhuma (n − 2)-esfera a direita.
Como dim V = n−1 ≥ 3, o lema 5.1.8 nos d´a um mergulho suave com estas propriedades. Isso completa a demonstra¸c˜ao.
Teorema 7.2.3. Se dois mergulhos suaves de uma variedade suave Mm em uma variedade
suave Nn s˜ao homot´opicas, ent˜ao elas s˜ao suavemente isot´opicas desde que n≥ 2m + 2.
O teorema acima ´e devido a Whitney em seu artigo Differentiable Manifolds. N˜ao apresentaremos aqui a sua demonstra¸c˜ao mas destacaremos sua importˆancia. Durante a demonstra¸c˜ao do cancelamento de pontos cr´ıticos de ´ındice 1 precisaremos que duas 1-esferas em V2+, que s˜ao homot´opicas, sejam suavemente isot´opicas. Ent˜ao, para que
possamos fazer uso do teorema acima, precisaremos que dim V2+ ≥ 4. Ou seja, esse ´e um
dos fatores para que o pr´oximo teorema seja v´alido apenas em dimens˜ao maior ou igual que cinco.
Teorema 7.2.4. Suponha que W e V s˜ao conexas, simplesmente conexas e n ≥ 5. Se
n˜ao existe ponto cr´ıtico de ´ındice 0 podemos substituir cada ponto cr´ıtico de ´ındice 1 por um ponto cr´ıtico de ´ındice 3.
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente verifiquemos que V2+ ´e sempre simplesmente conexo. De
fato, a inclus˜ao V2+ ⊂ W pode ser fatorada em uma sequˆencia de inclus˜oes que s˜ao
alternadas entre a anexa¸c˜ao de c´elulas e equivalˆencias homot´opicas (veja o corol´ario 3.1.9). As c´elulas anexadas s˜ao de dimens˜ao n− 2 e n − 3 a esquerda e de dimens˜ao 3, 4, . . . a direita, todas elas de dimens˜ao maior que 1. Como W ´e conexo, temos que V2+ tamb´em o
´e pois anexar c´elulas de dimens˜ao maior que 1 n˜ao conecta componentes conexas. Usando a conexidade de V2+ podemos aplicar o teorema de Van Kampen como na proposi¸c˜ao
5.2.1 e concluir que π1(V2+) ∼= π1(W ) = 1.
Dado algum ponto cr´ıtico p de ´ındice 1, podemos construir uma 1-esfera S em V1+
como a do lema 7.2.2. Caso seja necess´ario, ajustemos ξ a direita de V1+ usando os lemas
3.2.2 e 3.2.5 tal que S n˜ao intersecta nenhuma 1-esfera a esquerda em V1+. Assim S ´e
uma 1-esfera em V1+ que intersecta transversalmente SRn−2(p) em um ´unico ponto, n˜ao
intersecta nenhuma outra esfera a direita e nenhuma 1-esfera a esquerda. Sendo assim podemos transladar S atrav´es de trajet´orias de ξ a uma 1-esfera S1 em V2+.
Seja C uma vizinhan¸ca colar a direita de V2+. Como em C n˜ao existem pontos cr´ıticos,
ponto em C e um sistema de coordenadas x1, . . . , xn tal que se g : U ⊂ Rn+ → A ⊂ C ´e
o difeomorfismo local dado pelas coordenadas, temos f|g(U ) = x1. Usando o lema 1.1.4
podemos alterar f em um subconjunto compacto de A = g(U) inserindo um par de pontos cr´ıticos q, r, com f (q) < f (r) de ´ındices 2 e 3 respectivamente.
V0+ V1+ V2+ V3+ S S1 C q r Figura 7.2:
Seja S2 a 1-esfera a esquerda de q em V2+. Como dim V2+ ≥ 4 e V2+ ´e simplesmente
conexo, o teorema 7.2.3 implica que existe uma isotopia suave ht, 0≤ t ≤ 1, de i1 : S2 ֒→
V2+ em i2 : S1 ֒→ V2+, agora podemos usar o teorema 4.1.5 e obter que esta isotopia ´e
a restri¸c˜ao de uma isotopia suave h′
t, 0 ≤ t ≤ 1, da identidade V2+ → V2+ que leva S2
em S1. Ent˜ao, usando o lema 3.2.5 podemos ajustar ξ a direita de V2+ tal que S1 = S2.
Sendo assim a esfera a esquerda de q em V1+ ´e S que, por constru¸c˜ao, intersecta a esfera
a direita de p em um ´unico ponto transversalmente.
Usando a observa¸c˜ao 3.2.7 podemos alterar f sem alterar ξ nos interiores de f−1([1 2, 3 2]) e de f−1([3 2, k]), k = f(q)+f (r)
2 , aumentando o n´ıvel de p e diminuindo o n´ıvel de q tal que
para algum δ > 0:
1 + δ < f (p) < 3
2 < f (q) < 2− δ.
Usamos agora o Primeiro Teorema do Cancelamento 4.2.1 alteramos f e ξ em f−1([1 +
δ, 2− δ]) e cancelamos os pontos cr´ıticos p e q. Em seguida aumentamos o n´ıvel de r tal que f (r) = 3 usando novamente a observa¸c˜ao 3.2.7.
O procedimento feito acima substituiu o ponto p pelo ponto r e pode ser repetido at´e eliminarmos os pontos cr´ıticos de ´ındice 1 restantes. Isso completa a prova.
Cap´ıtulo 8
Teorema do h-Cobordismo e
Aplica¸c˜oes
Este cap´ıtulo ´e a finaliza¸c˜ao deste texto. Na primeira se¸c˜ao demonstraremos o Teorema do h-Cobordismo, este teorema nos afirma que, dadas certas caracter´ısticas topol´ogicas em uma tr´ıade, ent˜ao esta ´e, na realidade, um cobordismo produto.
Ainda nesta se¸c˜ao definiremos h-cobordismo e, usando o Teorema do h-Cobordismo, mostraremos que, sob certas condi¸c˜oes apenas topol´ogicas, duas variedades de dimens˜ao maior ou igual a cinco s˜ao difeomorfas.
Este resultado ´e muito interessante e nos d´a muitas aplica¸c˜oes as quais duas delas ser˜ao demonstradas no resto do cap´ıtulo.
A primeira delas, que ser´a o tema da segunda se¸c˜ao, ´e a caracteriza¸c˜ao do n-disco suave de dimens˜ao maior ou igual a seis. Decidiremos, a partir de informa¸c˜oes topol´ogicas de uma variedade suave, quando esta ´e difeomorfa a um n-disco.
A segunda aplica¸c˜ao, tema da terceira se¸c˜ao e objetivo deste trabalho, ´e a Conjectura de Poincar´e generalizada para dimens˜ao maior ou igual a cinco. Tal conjectura foi enun- ciada por Poincar´e para dimens˜ao trˆes em 1904, foi demonstrada por Stephen Smale em 1961 para dimens˜ao maior ou igual a cinco e este resultado lhe rendeu a medalha Fields. Mostraremos neste texto a vers˜ao apresentada por Milnor que usa teoria de Morse que ´e
o nosso contexto.
8.1
O Teorema do h-Cobordismo
Teorema 8.1.1 (Teorema do h-Cobordismo). Suponha que a tr´ıade (Wn; V, V′) possui
as seguintes propriedades:
(1) W , V e V′ s˜ao simplesmente conexas,
(2) H∗(W, V ) = 0,
(3) dimW = n≥ 6
Ent˜ao W ´e difeomorfa a V × [0, 1].
Proposi¸c˜ao 8.1.2. Se Hn−1(X, A) e Hn(X, A) s˜ao finitamente gerados, ent˜ao temos que
Hn(X, A, Z) tamb´em o ´e. Al´em disso vale a igualdade:
Hn(X, A, Z) ∼
= F Hn(X, A)⊕ T Hn−1(X, A)
Observa¸c˜ao 8.1.3. A condi¸c˜ao (2) ´e equivalente a H∗(W, V′) = 0. De fato,
H∗(W, V ) = 0 ⇒ H∗(W, V′) = 0 (dualidade de Poncar´e 6.2.1)
⇒ H∗(W, V′) = 0 (Proposi¸c˜ao 8.1.2)
Demonstra¸c˜ao do Teorema 8.1.1. Escolha uma fun¸c˜ao de Morse boa f0 para (W ; V, V′).
Os Teoremas 7.2.1 e 7.2.4 providenciam a elimina¸c˜ao de pontos cr´ıticos de ´ındices 0 e 1 e, desta forma, obtemos uma fun¸c˜ao de Morse boa f1 sem pontos cr´ıticos de ´ındices 0 e 1.
A fun¸c˜ao n−f1 ´e uma fun¸c˜ao de Morse onde os pontos cr´ıticos de f1de ´ındice λ ter˜ao,
em n− f1, ´ındice n− λ e se x ∈ W ´e tal que f1(x) = λ, ent˜ao n− f1(x) = n− λ, logo
n− f1 ´e de Morse, boa e n˜ao possui pontos cr´ıticos de ´ındices n e n− 1.
Usando novamente os Teoremas 7.2.1 e 7.2.4 encontramos f2, uma fun¸c˜ao de Morse
boa sem pontos cr´ıticos de ´ındices 0, 1, n− 1 e n. Agora o Teorema 7.1.1 nos da a conclus˜ao.
Defini¸c˜ao 8.1.4. Um cobordismo c entre V e V′ (W ; V, V′) ´e um h-cobordismo e V ´e
dito ser h-cobordante a V′ se V e V′ s˜ao deforma¸c˜oes retr´ateis de W .
Dada esta defini¸c˜ao segue uma importante consequˆencia do Teorema 8.1.1.
Teorema 8.1.5. Duas n-variedades suaves fechadas simplesmente conexas com n ≥ 5
que s˜ao h-cobordantes s˜ao difeomorfas.
Demonstra¸c˜ao. Se V e V′ s˜ao h-cobordantes, ent˜ao existe W tal que V e V′ s˜ao de-
forma¸c˜oes retr´ateis de W . Como dim V ≥ 5 e dim V′ ≥ 5 ent˜ao dim W ≥ 6. Sendo V
simplesmente conexa e deforma¸c˜ao retr´atil de W , ent˜ao π1(W ) = π1(V ) = 0, logo V , V′
e W s˜ao simplesmente conexas. Temos tamb´em que:
H∗(W, V ) ∼= H∗(V, V ) (deforma¸c˜ao retr´atil)
∼= fH∗({∗}) = 0
logo a tr´ıade (W ; V, V′) est´a nas hip´oteses do Teorema do h-Cobordismo 8.1.1 e portanto
(W ; V, V′)≃ (V × [0, 1]; V × {0}, V × {1}). Logo V′ ≃ V como quer´ıamos.