Cap´ıtulo 6 - Modelos Constitutivos de Microplanos para Cont´ınuos Generalizados

˜

E

EE

^d_{tanV ree} M´odulo tangente elasto-dano devido a de Vree et al. (1995)

ω

_k Peso de integra¸c˜ao num´erica para o microplano k

Cap´ıtulo 6 - Modelos Constitutivos de Microplanos para

Cont´ınuos Generalizados

¯¯¯^t^t^t

^γ^γ^γ ^{Vetor de deforma¸c˜}^{ao (de Cosserat) nos microplanos}

¯¯¯^t^t^t

^κ^κ^κ ^{Vetor de microcurvatura nos microplanos}

˜

γ

γγ

Tensor de deforma¸c˜ao (de Cosserat) macrosc´opico

˜

κ

κκ

Tensor de microcurvatura macrosc´opico

˜

γ

γγ

_vol Tensor de deforma¸cão (de Cosserat) volumétrica macroscópica

˜

γ

γγ

_dev Tensor de deforma¸c˜ao (de Cosserat) desviadora macrosc´opica

˜

κ

κκ

^sym Tensor de microcurvatura sim´etrico macrosc´opico

˜

κ

κκ

^skw Tensor de microcurvatura anti-sim´etrico macrosc´opico

˜

I

skw Tensor identidade anti-sim´etrico (quarta ordem)

γ

V Deforma¸c˜ao (de Cosserat) volum´etrica nos microplanos

¯

γ

γγ

_D Vetor de deforma¸c˜ao (de Cosserat) desviadora nos microplanos

κ

_N Microcurvatura normal nos microplanos

¯

κ

κκ

_T Vetor de microcurvatura tangencial nos microplanos

˜

¯

D

DD

Tensor de proje¸c˜ao desviadora (terceira ordem)

˜

¯

T

TT

Tensor de proje¸c˜ao tangencial (terceira ordem)

˜

I

Tensor identidade de quarta ordem

˜

I

vol Parcela volum´etrica do tensor identidade de quarta ordem

˜

I

dev Parcela desviadora do tensor identidade de quarta ordem

¯

γ

γγ

^sym_D Parcela sim´etrica do vetor de deforma¸c˜ao (de Cosserat) desviadora nos microplanos

¯

γ

γγ

^skw_D Parcela anti-sim´etrica do vetor de deforma¸c˜ao (de Cosserat) desviadora nos microplanos

¯

κ

κκ

^sym_T Parcela sim´etrica do vetor de microcurvatura tangencial nos microplanos

¯

κ

κκ

^skw_T Parcela anti-sim´etrica do vetor de microcurvatura tangencial nos micro-planos

˜

N

NN

Tensor de proje¸c˜ao normal (segunda ordem)

˜

¯

D

DD

^sym Parcela sim´etrica do tensor de proje¸c˜ao desviadora (terceira ordem)

˜

I

sym

dev Parcela desviadora do tensor identidade sim´etrico de quarta ordem

˜

¯

T

TT

^sym Parcela sim´etrica do tensor de proje¸c˜ao tangencial (terceira ordem)

˜

¯

D

DD

^skw Parcela anti-sim´etrica do tensor de proje¸c˜ao desviadora (terceira ordem)

˜

¯

T

TT

^skw Parcela anti-sim´etrica do tensor de proje¸c˜ao tangencial (terceira ordem)

Ψ

0^mic_γ Parcela da energia livre elástica nos microplanos relacionada às deforma-¸cões de Cosserat

Ψ

₀^mic_κ Parcela da energia livre el´astica nos microplanos relacionada `as micro-curvaturas

E

_{V 0} Módulo elástico volumétrico nos microplanos

E

_D0^sym Módulo elástico desviador simétrico nos microplanos

E

_D0^skw Módulo elástico desviador anti-simétrico nos microplanos

E

_{N 0} M´odulo el´astico normal nos microplanos

E

_{T 0}^sym Módulo elástico tangencial simétrico nos microplanos

E

_{T 0}^skw Módulo elástico tangencial anti-simétrico nos microplanos

¯

σ

σσ

^sym_D Vetor de tens˜ao desviador sim´etrico nos microplanos

¯

σ

σσ

^skw_D Vetor de tens˜ao desviador anti-sim´etrico nos microplanos

µ

_N Tens˜ao-momento normal nos microplanos

¯

µ

µµ

^sym_T Vetor de tens˜ao-momento tangencial sim´etrico nos microplanos

¯

µ

µµ

^skw_T Vetor de tens˜ao-momento tangencial anti-sim´etrico nos microplanos

˜

µ

µµ

Tensor de tens˜ao-momento macrosc´opico

D

mic

γ Parcela da dissipa¸cão nos microplanos relacionada às deforma¸cões de Cosserat

D

mic

xxviii

qqq

_γ Parcela das variáveis internas relacionada às deforma¸cões de Cosserat

qqq

_κ Parcela das vari´aveis internas relacionada `as microcurvaturas

˜

E

EE

êl_γ Tensor de quarta ordem que denota o módulo elástico macroscópico re-lacionado às deforma¸cões de Cosserat

˜

E

EE

êl_κ Tensor de quarta ordem que denota o módulo elástico macroscópico re-lacionado às microcurvaturas

d

^mic_γ Parâmetro de dano nos microplanos relacionado às deforma¸cões de Cos-serat

d

^mic_κ Parˆametro de dano nos microplanos relacionado `as microcurvaturas

Ψ

^mic_γ Parcela da energia livre nos microplanos relacionada `as deforma¸c˜oes de Cosserat

Ψ

^mic_κ Parcela da energia livre nos microplanos relacionada `as microcurvaturas

Y

_γ^mic For¸ca termodinâmica nos microplanos relacionada às deforma¸cões de Cosserat

Y

_κ^mic For¸ca termodinˆamica nos microplanos relacionada `as microcurvaturas

˜

E

EE

^d_secγ Tensor de quarta ordem que denota o módulo secante elasto-dano ma-croscópico devido às deforma¸cões de Cosserat

˜

E

EE

^d_secκ Tensor de quarta ordem que denota o módulo secante elasto-dano ma-croscópico devido às microcurvaturas

˜

E

EE

^d_tanγ Tensor de quarta ordem que denota o módulo tangente elasto-dano ma-croscópico devido às deforma¸cões de Cosserat

˜

E

EE

^d_tanκ Tensor de quarta ordem que denota o módulo tangente elasto-dano ma-croscópico devido às microcurvaturas

Φ

^mic_γ Fun¸cão de carregamento de dano nos microplanos relacionada às defor-ma¸cões de Cosserat

Φ

^mic_κ Fun¸c˜ao de carregamento de dano nos microplanos relacionada `as micro-curvaturas

β

_γ^mic Parâmetro do material que representa a taxa de crescimento do dano devido às deforma¸cões de Cosserat nos microplanos

β

_κ^mic Parˆametro do material que representa a taxa de crescimento do dano devido `as microcurvaturas nos microplanos

α

^mic_γ Parâmetro do material que representa sua máxima degrada¸cão devido às deforma¸cões de Cosserat nos microplanos

α

^mic_κ Parâmetro do material que representa sua máxima degrada¸cão devido às microcurvaturas nos microplanos

κ

₀^mic_γ Parâmetro do material que representa o valor da deforma¸cão equivalente correspondente ao in´ıcio do processo de dano devido às deforma¸cões de Cosserat nos microplanos

κ

₀^mic_κ Parâmetro do material que representa o valor da deforma¸cão equivalente correspondente ao in´ıcio do processo de dano devido às microcurvaturas nos microplanos

˜

γ

γγ

^sym_dev Tensor simétrico de deforma¸cão (de Cosserat) desviadora macroscópica

˜

γ

γγ

^skw_dev Tensor anti-sim´etrico de deforma¸c˜ao (de Cosserat) desviadora macrosc´ o-pica

˜

κ

κκ

_vol Tensor de microcurvatura volum´etrica macrosc´opica

d

^mac_γ Parâmetro de dano macroscópico relacionado às deforma¸cões de Cosserat

d

^mac_κ Parâmetro de dano macroscópico relacionado às microcurvaturas

η

_γ^mic Deforma¸cão equivalente nos microplanos correspondente às deforma¸cões de Cosserat

η

_κ^mic Deforma¸c˜ao equivalente nos microplanos correspondente `as microcurva-turas

η

_γ^mac Deforma¸cão equivalente macroscópica relacionada às deforma¸cões de Cos-serat

η

_κ^mac Deforma¸cão equivalente macroscópica relacionada às microcurvaturas

Ψ

₀^mac_γ Parcela da energia livre elástica macroscópica relacionada às deforma¸cões de Cosserat

Ψ

0^mac_κ Parcela da energia livre elástica macroscópica relacionada às microcur-vaturas

η

_γ^mic_Simo Deforma¸cão equivalente nos microplanos devida a Simo e Ju (1987) e relacionada às deforma¸cões de Cosserat

η

_κ^mic_Simo Deforma¸c˜ao equivalente nos microplanos devida a Simo e Ju (1987) e relacionada `as microcurvaturas

J

_2γ Segundo invariante das deforma¸cões macroscópicas desviadoras relacio-nado às deforma¸cões de Cosserat

J

_2κ Segundo invariante das deforma¸cões macroscópicas desviadoras relacio-nado às microcurvaturas

xxx

η

_γ^mic_{V ree} Deforma¸cão equivalente nos microplanos devida a de Vree et al. (1995) e relacionada às deforma¸cões de Cosserat

η

_κ^mic_{V ree} Deforma¸c˜ao equivalente nos microplanos devida a de Vree et al. (1995) e relacionada `as microcurvaturas

φ

^mic_γ Fun¸cão que relaciona a variável de dano às deforma¸cões equivalentes máximas correspondente às deforma¸cões de Cosserat

φ

^mic_κ Fun¸cão que relaciona a variável de dano às deforma¸cões equivalentes máximas correspondente às microcurvaturas

κ

^mic_γ Deforma¸cão equivalente máxima nos microplanos correspondente às de-forma¸cões de Cosserat

κ

^mic_κ Deforma¸cão equivalente máxima nos microplanos correspondente às mi-crocurvaturas

ϕ

^mic Microexpans˜ao nos microplanos

ϕ

^mac Microexpans˜ao macrosc´opica

¯

ϕ

ϕϕ

_ggg Vetor do gradiente de microexpans˜ao no ponto material (ou macrosc´ o-pico)

ϕ

_g Gradiente de microexpans˜ao nos microplanos

Ψ

₀^mic_ϕγ Parcela da energia livre elástica nos microplanos relacionada às deforma-¸cões de Cosserat e à microexpansão

Ψ

₀^mic_ϕ_g Parcela da energia livre el´astica nos microplanos relacionada ao gradiente de microexpans˜ao

E

_ϕγ0 Módulo elástico devido às deforma¸cões de Cosserat e à microexpansão

E

_ϕ0 Módulo elástico devido à microexpansão

E

_ϕ_g₀ Módulo elástico devido ao gradiente de microexpansão

ψ

_m Microtens˜ao nos microplanos

λ

m Microfor¸ca nos microplanos

ψ

Escalar de microtens˜ao macrosc´opica

¯

λ

λλ

Vetor de microfor¸ca macrosc´opica

D

mic

ϕγ Parcela da dissipa¸cão nos microplanos relacionada às deforma¸cões de Cosserat e à microexpansão

D

mic

ϕ_g Parcela da dissipa¸c˜ao nos microplanos relacionada ao gradiente de mi-croexpans˜ao

qqq

_ϕγ Parcela das variáveis internas relacionada às deforma¸cões de Cosserat e `

a microexpans˜ao

qqq

_ϕ_g Parcela das vari´aveis internas relacionada ao gradiente de microexpans˜ao

˜

E

EE

êl_σϕ Tensor de segunda ordem que denota o módulo elástico macroscópico, relacionando tensão com microexpansão

E

_ϕêl Módulo elástico macroscópico relacionado à microexpansão

˜

E

EE

êl_ψγ Tensor de segunda ordem que denota o módulo elástico macroscópico, relacionando microtensão com as deforma¸cões de Cosserat

˜

E

EE

êl_ϕ_g Tensor de segunda ordem que denota o módulo elástico macroscópico relacionado ao gradiente de microexpansão

d

^mic_ϕγ Parâmetro de dano nos microplanos relacionado às deforma¸cões de Cos-serat e à microexpansão

d

^mic_ϕ_g Parˆametro de dano nos microplanos relacionado ao gradiente de micro-expans˜ao

Ψ

^mic_ϕγ Parcela da energia livre nos microplanos relacionada às deforma¸cões de Cosserat e à microexpansão

Ψ

^mic_ϕ

g Parcela da energia livre nos microplanos relacionada ao gradiente de mi-croexpans˜ao

Y

_ϕγ^mic For¸ca termodinâmica nos microplanos relacionada às deforma¸cões de Cosserat e à microexpansão

Y

_ϕ^mic_g For¸ca termodinˆamica nos microplanos relacionada ao gradiente de mi-croexpans˜ao

˜

E

EE

^d_secσϕ Tensor de segunda ordem que denota o módulo secante elasto-dano ma-croscópico, relacionando tensão com microexpansão

E

_secϕ^d Módulo secante elasto-dano macroscópico relacionado à microexpansão

˜

E

EE

^d_secψγ Tensor de segunda ordem que denota o módulo secante elasto-dano ma-croscópico, relacionando microtensão com as deforma¸cões de Cosserat

˜

E

EE

^d_secϕ

g Tensor de segunda ordem que denota o módulo secante elasto-dano ma-croscópico relacionado ao gradiente de microexpansão

φ

^mic_ϕγ Fun¸cão que relaciona a variável de dano às deforma¸cões equivalentes máximas nos microplanos correspondente às deforma¸cões de Cosserat e `

xxxii

φ

^mic_ϕ_g Fun¸cão que relaciona a variável de dano às deforma¸cões equivalentes máximas nos microplanos correspondente ao gradiente de microexpansão

κ

^mic_ϕγ Deforma¸cão equivalente máxima nos microplanos correspondente às de-forma¸cões de Cosserat e à microexpansão

κ

^mic_ϕ_g Deforma¸cão equivalente máxima nos microplanos correspondente ao gra-diente de microexpansão

η

_ϕγ^mic Deforma¸cão equivalente nos microplanos correspondente às deforma¸cões de Cosserat e à microexpansão

η

_ϕ^mic

g Deforma¸c˜ao equivalente nos microplanos correspondente ao gradiente de microexpans˜ao

Φ

^mic_ϕγ Fun¸cão de carregamento de dano nos microplanos relacionada às defor-ma¸cões de Cosserat e à microexpansão

Φ

^mic_ϕ_g Fun¸c˜ao de carregamento de dano nos microplanos relacionada ao gradi-ente de microexpans˜ao

β

_ϕγ^mic Parâmetro do material que representa a taxa de crescimento do dano devido às deforma¸cões de Cosserat e à microexpansão nos microplanos

β

_ϕ^mic

g Parˆametro do material que representa a taxa de crescimento do dano devido ao gradiente de microexpans˜ao nos microplanos

α

^mic_ϕγ Parâmetro do material que representa sua máxima degrada¸cão devido às deforma¸cões de Cosserat e à microexpansão nos microplanos

α

^mic_ϕ_g Parâmetro do material que representa sua máxima degrada¸cão devido ao gradiente de microexpansão nos microplanos

κ

₀^mic_ϕγ Parâmetro do material que representa o valor da deforma¸cão equivalente correspondente ao in´ıcio do processo de dano devido às deforma¸cões de Cosserat e à microexpansão nos microplanos

κ

0^mic_ϕ_g Parâmetro do material que representa o valor da deforma¸cão equivalente correspondente ao in´ıcio do processo de dano devido ao gradiente de microexpansão nos microplanos

d

^mac_ϕγ Parâmetro de dano macroscópico relacionado às deforma¸cões de Cosserat e à microexpansão

d

^mac_ϕ_g Parâmetro de dano macroscópico relacionado ao gradiente de microex-pansão

η

_{ϕγ Simo}^mic Deforma¸cão equivalente nos microplanos devida a Simo e Ju (1987) re-lacionada às deforma¸cões de Cosserat e à microexpansão

η

_ϕ^mic_g

Simo Deforma¸c˜ao equivalente nos microplanos devida a Simo e Ju (1987) re-lacionada ao gradiente de microexpans˜ao

J

_2ϕ_g Segundo invariante das deforma¸cões macroscópicas desviadoras relacio-nado ao gradiente de microexpansão

η

_{ϕγ V ree}^mic Deforma¸cão equivalente nos microplanos devida a de Vree et al. (1995) relacionada às deforma¸cões de Cosserat e à microexpansão

η

_ϕ^mic_g

V ree Deforma¸c˜ao equivalente nos microplanos devida a de Vree et al. (1995) relacionada ao gradiente de microexpans˜ao

k

₀⁰

, k

₁⁰ Parâmetros necessários para calcular as deforma¸cões equivalentes devidas a de Vree et al. (1995) do modelo de microplanos para o cont´ınuo com microexpansão

Apˆendice A - Exemplos Lineares Anal´ıticos com Cont´ınuos

Generalizados

uc

Unidade de comprimento

uf

Unidade de for¸ca

σ

Tens˜ao

µ

Tens˜ao-momento

M

_σ Momento fletor resultante de uma distribui¸c˜ao linear das tens˜oes σ

M

_µ Momento fletor resultante de uma distribui¸c˜ao uniforme das tens˜ oes-momento µ

¯

σ

Tens˜ao m´axima

L

Comprimento da pe¸ca

d

Altura da se¸c˜ao transversal da viga

t

Largura da se¸c˜ao transversal da viga

A

_{Area da se¸c˜}´ _{ao transversal da pe¸ca}

¯

µ

Tens˜ao-momento constante na altura da viga

u

Deslocamentos

φ

Microrrota¸c˜oes

r

Fator de escala que permite transitar entre os v´arios n´ıveis de observa¸c˜ao

xxxiv

P

For¸ca aplicada

¯

P

S´ımbolo matemático que mostra a redu¸cão do efeito da carga aplicada nos campos de tensão e de deslocamento

Y

₁

(y), Y

₂

(y)

Fun¸c˜oes resultantes de integra¸c˜oes que dependem da ordenada y

C

₁

, C

₂

, K

₁

, K

₂

, K

Constantes de integra¸c˜ao

β

Constante que surge na solu¸c˜ao exponencial da equa¸c˜ao diferencial

¯

ω

Rota¸cão média da se¸cão transversal

ω

Rota¸c˜ao da se¸c˜ao transversal

E

⁽¹⁾ M´odulo de elasticidade longitudinal do material 1

E

⁽²⁾ M´odulo de elasticidade longitudinal do material 2

ν

⁽¹⁾ Coeficiente de Poisson do material 1

ν

⁽²⁾ Coeficiente de Poisson do material 2

z

⁽¹⁾ Fator de parametriza¸c˜ao do material 1

z

⁽²⁾ Fator de parametriza¸c˜ao do material 2

H

⁽¹⁾

, C

⁽¹⁾ Parâmetros elásticos do cont´ınuo com microexpansão do material 1

H

⁽²⁾

, C

⁽²⁾ Parâmetros elásticos do cont´ınuo com microexpansão do material 2

h, c

Fatores de escala

L

⁽¹⁾a Comprimento caracter´ıstico do material `a tra¸c˜ao do material 1

L

⁽²⁾a Comprimento caracter´ıstico do material `a tra¸c˜ao do material 2

A

⁽¹⁾ _{Area da se¸c˜}´ _{ao transversal da barra composta pelo material 1}

A

⁽²⁾ _{Area da se¸c˜}´ _{ao transversal da barra composta pelo material 2}

ψ

Microtens˜ao

λ

Microfor¸ca

k

₁

, k

₂

, k

₃

, k

₄ Constantes de integra¸c˜ao

ρ

Constante que surge na solu¸c˜ao exponencial da equa¸c˜ao diferencial

ξ

Fator que determina quais os trechos da barra s˜ao compostos pelo mate-rial 1 ou 2

Apêndice B - Metodologia de Obten¸cão dos Parâmetros

No documento CONSTITUTIVOS DE MICROPLANOS PARA CONTÍNUOS GENERALIZADOS (páginas 29-38)

Cap´ıtulo 6 - Modelos Constitutivos de Microplanos para Cont´ınuos Generalizados

˜

E

EE

ω

Cap´ıtulo 6 - Modelos Constitutivos de Microplanos para

Cont´ınuos Generalizados

¯¯¯ttt

¯¯¯ttt

˜

γ

γγ

˜

κ

κκ

˜

γ

γγ

˜

γ

γγ

˜

κ

κκ

˜

κ

κκ

˜

˜

I

γ

¯

γ

γγ

κ

¯

κ

κκ

˜

¯

D

DD

˜

¯

T

TT

˜

˜

I

˜

˜

I

˜

˜

I

¯

γ

γγ

¯

γ

γγ

¯

κ

κκ

¯

κ

κκ

˜

N

NN

˜

¯

D

DD

˜

˜

I

˜

¯

T

¯¯¯^t^t^t

¯¯¯^t^t^t