Assim, o campo magnético dentro é:
O campo de magnetização não geraria uma corrente? Não haveria um efeito gerado por esse campo?
Sim, podemos obtê-los pelas seguintes equações para campo estático.
Assim como a polarização induz cargas, a magnetização induz certas correntes. Elas não entram nas equações de Maxwell, pois é um campo que trata somente com cargas e correntes livres, como D e H.
Um erro comum, que vale a pena mencionar:
Se , logo está correto? Não está!
Por isso, é importante trabalhar com B na lei de Gauss, e H na lei de Ampère. Aliás, H faz isto: ele engloba a resposta do meio, deixando a lei de Ampère somente em função das correntes livres.
Por que trabalhamos com E e H nos laboratórios? É que, com , o campo elétrico é relacionado diretamente à ddp, e H à corrente livre – ambos fáceis de medir, já que são entidades externas criadas por uma fonte.
ATENCAO
UNIDADE 3 — MAGNETODINÂMICA
Como os campos variantes entram na brincadeira das correntes e densidades de carga induzidas? Agora teremos que generalizar, pois temos a equação da continuidade:
Sendo que na magnetostática, o divergente da densidade de corrente era nulo. Mas estamos nos campos dinâmicos, o que nos leva a adaptar. Antes, uma lembrança importante:
Sendo o índice “l” como livre, isto é, não é induzido.
Tendo dito isso, sabemos que a polarização gera uma carga induzida via:
Se houver uma derivada temporal, teremos uma corrente, fazendo sentido, uma vez que uma densidade de cargas variante no tempo é, conceitualmente, ligada à corrente.
Vamos ver a corrente total num meio material.
Na existência de uma corrente, temos de lembrar que há essas duas outras correntes.
Fizemos uma análise conceitual, mas limitamos alguns pontos à análise matemática. Contudo, deveríamos nos perguntar se campos variantes criam outros campos induzidos (ponto A). Na matéria, campos – induzidos ou não – geram uma resposta do meio (ponto B). Os campos relacionam densidades de carga e de corrente (ponto C). Ao pensar nos três pontos ao mesmo tempo, é natural a dúvida sobre a existência de correntes e densidades de carga modificadas devido às respostas dos meios.
IMPORTANTE
TÓPICO 2 — MAGNETODINÂMICA II
3 CONDUTORES MÓVEIS SEGUNDO A LEI DE FARADAY
A lei de Faraday diz que um campo magnético que varia induz um campo elétrico. Mas o campo elétrico induzido tem uma origem diferente do campo elétrico produzido por cargas. Esse destaque é interessante, uma vez que, conceitualmente, há diferenças, como ≠ ddp. Isto é, não faz sentido falar em diferença de potencial quando se fala em fora eletromotriz (fem). Diferença de potencial elétrico (ddp) faz sentido em pilhas, mas não como a causa da corrente em uma espira circular – afinal, onde estaria a descontinuidade de potencial no fio?
Então, um dos aspectos da indução elétrica é que não somente um campo magnético variante induz um campo elétrico, mas, também, a mudança do aspecto de englobar o campo magnético por um condutor.
Para entender esse aspecto, vejamos a Figura 1.
FIGURA 1 – (a) O CÍRCULO VAI DE 1 PARA 2;
(b) A ESPIRA PASSA POR UMA REGIÃO DE CAMPO ESTÁTICO
FONTE: Haliday, Resnick e Walker (1996, p. 122)
Observe que o círculo muda de área e, assim, engloba mais campo
Um círculo de raio r(t) muda a uma velocidade de r pequena. Isso é importante, pois, do contrário, a lei de Maxwell teria de ser modificada. Se o círculo está imerso num campo magnético estático, temos , e a fem é .
Se a área estiver entrando num campo, como na Figura 1b, temos que considerar a velocidade da área, uma vez que a fórmula é área englobada pelo campo, e não a área da espira como um todo.
UNIDADE 3 — MAGNETODINÂMICA
4 CONCEITO DE FEM E DDP
Numa bateria, nós temos uma ddp e, numa indução elétrica devido a campo magnético dinâmico, temos uma fem. Como entender isso conceitualmente?
Primeiro, uma configuração de qualquer coisa instável tem tendência a ir a uma configuração também estável. A ddp é uma região no espaço que expulsa as cargas e outra que as recebe, porém estão limitadas fisicamente a essa troca. Então, há potencial para realizar o movimento das cargas, mas há uma restrição física.
Se colocarmos um condutor perfeito – que não existe – as regiões, quase que instantaneamente, fariam a troca que desejam: dar e receber cargas. Porém, o condutor tem suas próprias cargas e, ao colocar uma a mais na configuração, geraria um estado não estável no campo elétrico, o que exigiria uma redistribuição das cargas para uma nova configuração, a fim de se acomodarem.
A ddp precisa de um intermédio para realizar a equiparação de potenciais, porém esse intermédio também interfere, fazendo com que a troca não seja instantânea e, dependendo do intermédio, haverá uma resistência maior, ou menor, gerando diferentes correntes.
Apresentamos até aqui a ideia de ddp e movimento das cargas. Mas e a fem? Vimos que a redistribuição das cargas leva a uma configuração de campos que não deixa as cargas paradas. Será que é possível uma configuração de campos não estável que leve ao movimento das cargas, mas sem ter uma ddp? Sim!
Lembre-se de que, num ponto, a variação temporal do campo magnético leva à geração de um campo magnético e vice e versa (leis de Faraday e Ampère–
Maxwell).
Então, se num ponto houver um campo magnético dinâmico, haverá uma instabilidade no campo elétrico. Este, por sua vez, gerará uma corrente, a fim de se equilibrar novamente, gerando uma fem.
Em síntese, não faz sentido equiparar ddp a fem, pois fem não é medida entre dois pontos, mas é resultado do desequilíbrio do campo elétrico.
Para saber mais sobre a diferença conceitual entre fem e ddp, acesse o link a seguir: https://goo.gl/C5Cvyb.
DICAS
TÓPICO 2 — MAGNETODINÂMICA II
5 TENSOR DE MAXWELL
(componente ij do tensor de Maxwell) Primeiro, lembre-se da simetria: é só copiar e colar o primeiro termo em parênteses, substituindo E por B e ajeitando a constante.
Então, o tensor de Maxwell é uma matriz que dá um valor em unidade de força por unidade de área. Repare na semelhança com a densidade de energia, em que há termos quadráticos dos campos: a ideia do tensor de Maxwell é fornecer a força atuante num corpo, fazendo a integral de superfície de uma região que engloba este corpo. Assim, se não houver carga numa região, haverá um tensor não nulo. Mas, fazendo o divergente desse tensor e retirando o efeito da radiação emitida – vetor de Poynting –, saberemos que a força é nula.
Contudo, se houver uma carga, ela alterará o campo dentro da região, e o tensor carregará essa informação. Assim, podemos saber a força que o corpo sofrerá dentro dessa região.
EXEMPLO
Dada uma carga q estática numa região com campo externo nulo, qual é o tensor de Maxwell?
Sabemos que, em coordenadas cartesianas, . Assim, em coordenadas cartesianas, o tensor de Maxwell é:
Já a força por unidade de volume é:
E o vetor de Poynting é:
Nulo neste exemplo, já que não tem B.
UNIDADE 3 — MAGNETODINÂMICA
Lembrando:
O cálculo de pode ser feito à mão – o que dá um pouco de trabalho – ou por meio do uso do WolframAlpha, conforme exemplo no link a seguir:
https://goo.gl/KJ7ZCn.
Então, o tensor de Maxwell é uma quantidade um tanto complicada em termos matemáticos, uma vez que trabalha com matemática tensorial, não costumeira nas graduações. Mesmo onde há aulas específicas para seu ensinamento, não é fácil trabalhar com ela. Pois, se quiséssemos trocar de coordenada – como a esférica, que facilita a análise do problema –, essas abordagens necessitam certa experiência.
A dificuldade no tensor de Maxwell existe por se tratar de um tensor, embora sua aplicação seja grande.
EXPERIMENTO 8
Tubo de Indução (Lei de Faraday)
Luiz Ferraz Netto Objetivo
Destacar o fenômeno da indução eletromagnética e a Lei de Faraday.
Material
• tubo de PVC de diâmetro 1/2" e comprimento 1,5 m; 5 bobinas com núcleo de ar com 1000 espiras de fio de cobre esmaltado #28;
• 5 LEDs vermelho e 5 LEDs amarelos;
• 1 ímã cilíndrico de comprimento maior que 3 cm e diâmetro menor que 1/2".
Montagem
TÓPICO 2 — MAGNETODINÂMICA II
FIGURA – ESQUEMA DE MONTAGEM DO EXPERIMENTO: TUBO DE PVC E BOBINAS
O tubo de indução consiste num tubo de PVC de 1/2" de diâmetro e 1,5 m de comprimento, ao redor do qual são fixadas (coladas) 5 bobinas de fio isolado. Cada bobina tem cerca de 1000 espiras de fio de cobre esmaltado # 28 ou # 30. Ligado aos terminais de cada bobina temos 2 LEDs (diodo emissor de luz), um vermelho e outro amarelo, conectados como se ilustra anteriormente (em paralelo e em oposição). Com esse tipo de ligação dos LEDs, apenas um deles acenderá para um dado sentido da corrente elétrica na bobina.
Funcionamento
Com o tubo na vertical (depois, para minimizar a velocidade de queda do ímã, poderá ser colocado com certa inclinação) abandone o ímã pela extremidade superior. Conforme o ímã cai, passando pelos interiores das bobinas, você deverá observar as 'piscadas' dadas pelos LEDs vermelhos e amarelos de cada bobina. Quanto melhor for o ímã, mais evidente será o fenômeno.
UNIDADE 3 — MAGNETODINÂMICA
Resumo teórico
QUADRO – OBJETIVOS DO EXPERIMENTO COM TUBO E BOBINAS
Durante a aproximação ocorrerá uma variação do fluxo de indução concatenado com a bobina, dando nascimento a uma d.d.p. induzida nos terminais dessa bobina, com uma dada polaridade. Essa d.d.p. é aplicada ao circuito externo representado pelos LED’s em paralelo e em oposição e fará circular uma corrente elétrica induzida apenas naquele LED diretamente polarizado, o qual acenderá.
Quando o centro do ímã estiver passando pelo centro da bobina o fluxo de indução total é nulo e não haverá d.d.p. induzida.
Durante o afastamento do ímã ocorrerá nova variação de fluxo, agora em sentido inverso, dando, portanto, nascimento a uma nova d.d.p. de polaridade invertida em relação à anterior. Uma corrente de sentido oposto percorrerá o circuito e apenas o outro LED (agora diretamente polarizado) acenderá.
A d.d.p. induzida na bobina (em circuito aberto) pela variação do fluxo no decorrer do tempo é dada pela Lei de Faraday da Indução:
Φ = - N(dΦ/dt)
Em que ε é a força eletromotriz (d.d.p. induzida nas partes do enrolamento), N é o número de espiras da bobina, dΦ é a variação do fluxo de indução e dt é o breve intervalo de tempo no qual ocorre a variação dΦ.
O fluxo útil aumenta conforme o ímã se aproxima da bobina e, após passar pelo centro da bobina, diminui. A d.d.p. induzida nos terminais da bobina é razoavelmente 'senoidal' e essa é a causa primeira do porquê primeiro um LED acende e depois o outro. Com um ímã suficientemente
Conforme o ímã desliza no tubo abaixo seu campo magnético penetra na bobina, por cima, e sai por baixo. Para o professor, recomendamos que desenhe uma única espira fechada, na horizontal, e o ímã reto vertical em três posições: antes de entrar na espira; simétrico em relação à espira e depois de sair da espira --- como se ilustra ao lado ---; em cada caso examinar o comportamento da corrente induzida na espira, durante o movimento do ímã.
Um gráfico dessa intensidade de corrente induzida, função da posição do ímã, será bastante ilustrativo. Nesse gráfico, destacar como o aumento da velocidade de queda do ímã afeta a f.e.m. induzida na espira.
TÓPICO 2 — MAGNETODINÂMICA II
longo (recomendamos um ímã cilíndrico de comprimento maior que 3 cm) a mudança de polaridade da bobina é relativamente lenta e isso permite ao olho perceber facilmente que os dois LED’s piscam em sequência (se os ímãs forem pequenos os dois 'flashes' parecerão simultâneos).
Sabemos que, durante a queda do ímã, sua velocidade aumenta e, então, o intervalo de tempo de passagem do ímã pelo interior de uma bobina diminuirá. Quanto menor for esse intervalo de tempo maior será o fluxo de indução, a d.d.p. induzida e, consequentemente, a intensidade de corrente em cada LED. Os brilhos dos LED’s (potência) nas bobinas mais baixas serão mais intensos.
Variante do experimento
A ficha a seguir descreve uma variante simples para a constatação das correntes parasitas:
FIGURA – CORRENTES EDDY (PARASITAS) EM TUBOS CONDUTORES
FONTE: <http://web.archive.org/web/20180924213054/http://www.feiradeciencias.
com.br/sala13/13_41.asp>. Acesso EM: 15 jul. 2020.
UNIDADE 3 — MAGNETODINÂMICA
A magnetização que um meio adquire depende da intensidade de campo magnético aplicada. [...] As substâncias ferromagnéticas são caracterizadas por possuírem largas regiões, denominadas domínios, onde o vetor magnetização está orientado em determinada direção. Dois exemplos paradigmáticos desses materiais são o ferro e o níquel (GALVÃO, 20--, p. 6).
ATENCAO
A magnetização permanente desses domínios vem dos momentos de dipolo magnético dos elétrons nas camadas internas dos átomos e é devido à interação deles com os dos átomos vizinhos. Em condições normais, sem aplicação de campo externo, as direções dos vetores magnetização estão em direções arbitrárias em diferentes domínios, de forma que o material não apresenta magnetização resultante substancial.
No entanto, quando o colocamos na presença de um campo externo, os domínios com vetor magnetização na direção do campo externo tendem a crescer às expensas com magnetizações em outras direções e o campo dentro do material cresce substancialmente, e de forma não linear. Além disso, quando o campo externo é retirado, fica um campo remanescente no material. Para anular este campo, é necessário mesmo reverte o campo externo (GALVÃO, 20--, p. 6-7).
IMPORTANTE
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• Os condutores sofrem efeitos distintos devido aos campos dinâmicos.
• Nos condutores, as condições de contorno para os campos magnéticos e para as induções magnéticas são dadas por:
• O campo magnético nos meios condutores é dado por: , em que: é o campo de magnetização, uma resposta dos meios materiais ao campo aplicado.
• Assim como a polarização induz cargas elétricas, a magnetização induz certas correntes elétricas.
• As correntes elétricas produzidas pelo vetor de magnetização não entram nas equações de Maxwell, pois, é um campo que trata somente com cargas e correntes livres.
• A lei de Faraday diz que um campo magnético variante no tempo induz um campo elétrico. Porém, atende que o campo elétrico induzido tem uma origem diferente do campo elétrico produzido por cargas.
• A lei de Lorentz é dada por: , na qual: σ é a condutividade elétrica e é a velocidade das cargas, que, geralmente, é nula (ou muito pequena, podendo ser desprezada).
• O tensor de tensão Maxwell é um tensor simétrico, de segunda ordem, que é utilizado para representar a interação entre as forças eletromagnéticas e, o momento mecânico.
• O tensor de Maxwell é dado por: . Onde é só copiar o primeiro termo em parênteses, substituindo o campo elétrico E pelo campo magnético B e trocando a permissividade elétrica pela permeabilidade magnética.
• O tensor de Maxwell fornece como resultado um valor em unidade de força por unidade de área [N/m2].
1 O que são condutores?
2 O que é o vetor de magnetização?
3 O que são tensores?
4 O que é o tensor de Maxwell e para que ele serve em engenharia elétrica?
5 Qual a função da lei de Lorentz? Descreva sua expressão matemática para a força.
AUTOATIVIDADE
UNIDADE 3
TÓPICO 3 —
AS EQUAÇÕES DE MAXWELL
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, você vai estudar como se cria eletricidade. A bem da verdade, criar eletricidade é uma consequência, pois a física não se preocupa com situações particulares e sim com situações gerais. Porém, a partir das ideias que vamos apresentar a seguir, você vai adquirir o conhecimento para a geração de eletricidade.
Como vai obter esse conhecimento? Por meio do estudo da lei de Faraday, das equações de Maxwell, nas suas diversas formas, e de uma análise da conservação de energia.
2 ELETRICIDADE E MAGNETISMO: A LEI DE FARADAY
Será que o magnetismo e a eletricidade têm alguma conexão? Bem, antes mesmo de Faraday, físico inglês que contribuiu imensamente para o desenvolvimento do eletromagnetismo, no início do século XIX, já se sabia que sim. Uma bobina com corrente passando através dela poderia desviar a agulha de uma bússola, que funciona inteiramente via magnetismo. Porém, será que o contrário era verdadeiro? Será que o campo magnético poderia gerar um campo elétrico? Em termos práticos, eletricidade? Faraday mostrou que sim! Vejamos a Figura 2.
FIGURA 2 – ÍMÃS APROXIMANDO-SE E AFASTANDO-SE DE UMA BOBINA
FONTE: A autora
UNIDADE 3 — MAGNETODINÂMICA
O que vemos na Figura 2? Vemos um ímã – campo magnético – se aproximando e se afastando, primeiro com o norte e depois com o sul. Isto é, temos um campo magnético que altera sua intensidade pois, quando mais próximo do ímã, o campo magnético é mais intenso. Se mais distante, é mais fraco. Vemos que, com a alteração do campo magnético, surge uma corrente na espira.
Muito bem, até aqui observamos um fenômeno físico novo, mas o que podemos tirar dele? Como o equacionamos e entendemos melhor? Com mais testes e controlando as variáveis.
Conforme Hayt Junior e Buck (2017, p. 89), após um extensivo estudo, Faraday concluiu que “a variação do fluxo magnético no tempo gera uma tensão induzida na espira”.
Cabe ainda citar o trabalho de Lenz, importante físico estoniano do início do século XIX, afirmando que “a tensão induzida trabalha de forma a gerar um fluxo magnético oposto à variação do fluxo original”.
Isto é, a corrente induzida seguirá a regra da mão direita e o polegar indicará a direção do fluxo que se opõem à variação. Podemos entender melhor, observando a Figura 2, itens “a”, “b”, “c” e “d”.
No item “a”, surge uma corrente de forma a gerar um campo magnético, que repele o norte em movimento. No item “b”, a corrente está no outro sentido, uma vez que agora o norte está se afastando. Nos itens “c” e “d”, a diferença é que tratamos com o polo sul. A corrente tem que ser ao contrário no caso de aproximação e afastamento.
Assista ao vídeo-experimento disponível no link https://goo.gl/uiEGBW para verificar o efeito da lei de Lenz. O ímã cai e, assim, varia o campo magnético dentro do tubo de cobre. Esse, então, adquire uma tensão induzida e, assim, uma corrente. Por fim, a corrente gera um campo magnético, de forma a se opor ao movimento do ímã, que acaba se movimentando mais devagar.
Para visualizar a lei de Faraday, assista aos vídeos disponíveis nos links a seguir, cujos experimentos demonstram o fenômeno descoberto pelo cientista inglês.
• https://goo.gl/BBo2wT;
• https://goo.gl/s5ff1w.
DICAS
TÓPICO 3 —
3 EQUACIONAMENTOS, VAMOS LÁ!
Vejamos, um fluxo magnético é dado por:
(1) Ou seja, o fluxo magnético é uma medida do quanto do campo atravessa uma superfície. Então, se o campo estiver perpendicular à superfície, consegue atravessá-la totalmente. Se estiver paralelo, não atravessa nada. Observe que este efeito está expresso via o produto escalar, pois é com o vetor ortonormal que se faz o produto.
Já a lei de Faraday, com uma adaptação de sinal devido à lei de Lenz, diz que:
(2) Isto é, surge uma tensão induzida devido à variação do fluxo magnético.
Caso tenhamos N espiras, todas contribuem.
(3) Já a tensão induzida é definida como:
(4) Então, se juntarmos a equação (4) com as equações (2) e (1), temos:
(5) É importante destacar que a equação (5) diz que o campo magnético perpendicular à superfície integrada gera um campo elétrico numa borda fechada. Então, se a superfície for um círculo, o campo elétrico estará orientado na circunferência.
UNIDADE 3 — MAGNETODINÂMICA
4 RELEMBRANDO ALGUNS TEOREMAS IMPORTANTES
Esses teoremas, que usaremos e que você deve dominar para aproveitar este curso, serão muito úteis, pois facilitarão as manipulações e os cálculos.
Começamos com o Teorema de Gauss, matemático alemão do início do século XIX.
4.1 TEOREMA DE GAUSS, OU TEOREMA DA DIVERGÊNCIA
(6) Esse teorema é de suma importância para trabalhar com as duas primeiras leis de Maxwell, físico escocês, também da primeira metade do século XIX. Já o teorema de Stokes, físico e matemático irlandês, de meados do século XIX, que veremos a seguir, é importante para trabalhar com as duas últimas leis de Maxwell e com a lei de Faraday, a terceira lei.
(7) Agora que temos a lei de Faraday e os teoremas integrais, podemos partir para o estudo das leis de Maxwell.
4.2 AS LEIS, OS MANDAMENTOS DO ELETROMAGNETISMO
Antes de apresentarmos as leis de Maxwell, entendamos sua importância.
Maxwell não apresentou suas leis na forma que conhecemos, mas de acordo com um formalismo antigo. Foi Heaviside quem a atualizou para a versão que hoje utilizamos. O trabalho de Maxwell é reconhecido mais por sua importância na criação de uma teoria sólida e única, que ligou todos os fenômenos através de matemática.
INTERESSANTE
TÓPICO 3 —
As leis descritas por Maxwell em suas equações já eram conhecidas antes dele. O que o físico escocês concretizou foi juntá-las em uma forma matemática e modificar uma delas adicionando um termo, pois, antes era um caso particular.
Já Oliver Heaviside, matemático e físico inglês do final do século XIX e início do século XX, publicou a forma compacta e diferencial que apresentaremos a seguir.
Iniciamos com as leis de Maxwell no vácuo, num ponto, isto é, a forma diferencial. Mas afinal, como trabalhamos com elas? Quanto encontrar uma situação-problema no âmbito do eletromagnetismo, você terá que achar o campo elétrico e o magnético e assim terá os dois campos para poder extrair toda informação que quiser. Achar os campos é uma tarefa que muitas vezes envolve um bom desenvolvimento matemático, mas sempre as leis de Maxwell permanecerão válidas.
Vamos utilizar os teoremas (6) e (7), para achar a forma integral das
Vamos utilizar os teoremas (6) e (7), para achar a forma integral das