Características da representação de Burau

. (2.8)

2.2.2 Características da representação de Burau

Nessa seção estudaremos a representação de Burau ψ_n: B_n →GL_n(Λ). Estabe-leceremos uma propriedade simples da imagem, mostrando que ela está contida em um subgrupo bastante restrito deGL_n(Λ). Além disso, faremos uma primeira análise sobre o núcleo dessa representação.

Lembremos que uma involução é uma função invertível que é igual a sua própria inversa e deniremos o conjugado de Laurent, denotado por λ, como sendo

λ=X

k∈Z

λ_kt^−k, λ_k∈Z.

A menos de menção contrária, a partir desse momento e até o nal dessa seção, o símbolo ¯ , chamado de barra, representará o conjugado de Laurent. Consideremos o automor-smo involutivo do anel de poliômios de Laurent Λ, ξΛ: Λ → Λ, denido por ξΛ(λ) = λ para todoλ∈Λ.

Para uma matriz A = (λ_i,j) sobre Λ denamos A = (λ_i,j) e A^T = (λ_j,i) como sendo a matriz conjugada de Laurent e a matriz transposta deA, respectivamente.

Ademais, seja Ω_n a matriz triangular inferior de ordem n sobre Λ com os termos da diagonal principal iguais a 1 e todos os termos diferentes de 0, iguais a 1−t, como na matriz abaixo:

O intuito na continuação é enunciar e demonstrar o Teorema 2.9, onde mostrare-mos que AΩ_nA^T = Ω_n quando A está na imagem da representação de Burau. Mas, para isso precisamos de algumas propriedades que nos guiarão nessa prova.

Proposição 2.8. SejamA e B matrizes quadradas invertíveis de ordem n. Então i) A^TB^T = (BA)^T,

ii) (A^T)⁻¹ = (A⁻¹)^T, iii) A B =AB,

iv) (A)^T =A^T, v) (A)⁻¹ =A⁻¹.

Demonstração. As propriedades i) e ii) são clássicas da álgebra linear e podemos vê-las em [Ev, Teorema 1.5.2, item 4] e [Ev, Teorema 2.2.7], respectivamente. Por esse motivo não faremos tais demonstrações.

O item iii) segue imediatamente de ab = ab e a+b = a+b, pois, ao fazermos a multiplicação de matrizes conjugadas, caímos em um certo somatório de multiplicações de elementos conjugados. Ao aplicarmos as duas armações, chegamos onde queríamos.

Então, mostremos primeiro que ab=ab, para

a= X Ao fazermos a distributiva, obtemos

ab=X Agora analisemos o elementoa+b,

a+b= X

Obtemos que valea+b=a+b.

A propriedade iv) segue imediatamente, pois a transposta de uma matriz muda apenas o local do elemento, não mudando sua natureza, já o conjugado de Laurent, muda a natureza, não alterando o local do elemento.

Já para o item v), temos

A A⁻¹ =AA⁻¹ (pelo itemiii))

=I =I.

A vericação do inverso deA à esquerda é análoga. Logo, (A)⁻¹ =A⁻¹.

Teorema 2.9. Seja ψ_n: B_n → GL_n(Λ) a representação de Burau. Para n ≥ 1 e A ∈ ψ_n(B_n)⊂GL_n(Λ), temos

AΩ_nA^T = Ω_n. (2.9)

Demonstração. Iremos provar que a equação (2.9) vale para osU₁, U₂, . . . , Un−1(ver (2.4)).

Além disso provaremos que se a equação (2.9) vale para as matrizesA₁eA₂, então também valerá para a multiplicação e para os inversos. Dessa forma, conseguiremos a validade da equação (2.9) para qualquer elemento da imagem da representação de Burau.

Primeiro provaremos que se a equação (2.9) vale para a matriz A, então também valerá para sua inversa. Com efeito, multiplicando a equação (2.9) à esquerda por(A)⁻¹ e à direita por(A^T)⁻¹, obtemos uma equação semelhante, ilustrada a seguir

AΩ_nA^T = Ω_n ⇒(A)⁻¹AΩ_nA^T(A^T)⁻¹ = (A)⁻¹Ω_n(A^T)⁻¹

⇒Ωn =A⁻¹Ωn(A⁻¹)^T (usando a Proposição 2.8 itens ii) ev)). Concluindo que se vale a equação (2.9) para A, então, torna-se verídico também para A⁻¹. Ainda mais, se a equação (2.9) é satisfeita paraA₁ eA₂, então também será para o produto entre eles.

A₁A₂Ω_n(A₁A₂)^T =A₁A₂Ω_nA^T₂A^T₁ =A₁Ω_nA^T₁ = Ω_n.

Por m, provaremos que (2.9) vale para as matrizes U_i para todo i= 1, . . . , n−1. Para mostrar essa assertiva, faremos uma divisão em blocos das matrizesU_i e Ω_n da seguinte forma:

U_i =







Ii−1 0 0

0 U 0

0 0 In−(i+1)





, Ω_n=







Ωi−1 0 0

K2,i−1 Ω₂ 0

Kn−(i+1),i−1 Kn−(i+1),2 Ωn−(i+1)





,

onde U é a matriz dada em (2.5),Ω₂ é a matriz

De maneira similar, agora olhando para cada linha, é verdadeiro que Kn−i−1,2U^T = Kn−i−1,2, pelo seguinte motivo

Partindo da demonstração do Teorema 2.9, ao aplicar a involução ξA: A → A e a transposta de matrizes em (2.9), obtemos:

AΩ_nA^T = Ω_n ⇒ AΩ_nA^T = Ω_n (aplicando ξ_A)

⇒ AΩnA^T = Ωn

⇒ (AΩ_nA^T)^T = Ω_n^T (aplicando a transposta)

⇒ (A^T)^T(Ω_n)^TA^T = Ω_n^T

⇒ A(Ω_n)^TA^T = (Ω_n)^T.

Além do mais, por propriedades de multiplicação de matriz por escalar e entre matrizes, para qualquerA∈ψ_n(B_n) e quaisquer λ, µ∈Λ,

A matriz Θ_n é Hermitiana no sentido do conjugado de Laurent, ou seja, (Θn)^T = Θn.

Agora, começaremos a discutir um pouco sobre o núcleo da representação de Burauψ_n: B_n →GL_n(Λ). Na Denição 2.1 vimos que uma representação será el se for injetora. Uma maneira de vericar que de fato há delidade da representação é checar se seu núcleo é trivial.

Seguindo [KT, Capítulo 3], mostraremos na Seção 2.3 que Ker(ψ₃) = {1}. Para n ≥ 4, a questão de ψ_n ser el permaneceu em aberta por um longo período de tempo.

Em 1991 foi provado por J. A. Moody que tal representação não é el para n ≥ 9, o qual pode ser visto em [Mo]. A posteriori, em 1993, D. D. Long e M. Paton renaram o

resultado de Moody, provando a não delidade da representação de Burau para n ≥ 6, que podemos ver em [LP]. Entretanto, apenas em 1999, S. Bigelow prova em [Bi1] que também não há delidade no caso n= 5.

Observemos que Ker(ψ_n) ⊂ Ker(ψ_n+1), perante à inclusãoB_n ⊂B_n+1. Por essa feita, se Ker(ψn)6={1}, então teremos que Ker(ψm)6={1} para todo m≥n.

Teorema 2.10. O núcleo da representação de Burau ψ_n não é trivial para n≥5.

Demonstração. A estratégia dessa demonstração será exibir uma 5-trança diferente da trivial a qual está no núcleo da representação de Burau.

Seja

γ =σ₄σ₃⁻¹σ₂⁻¹σ²₁σ₂⁻¹σ⁻²₁ σ₂⁻²σ₁⁻¹σ⁻⁵₄ σ₂σ₃σ₄³σ₂σ₁²σ₂σ₃⁻¹ ∈B₅. (2.11) Tomemos a 5-trança

ρ= [γσ₄γ⁻¹, σ₄σ₃σ₂σ₁²σ₂σ₃σ₄]

= (γσ₄γ⁻¹)⁻¹(σ₄σ₃σ₂σ₁²σ₂σ₃σ₄)⁻¹γσ₄γ⁻¹σ₄σ₃σ₂σ₁²σ₂σ₃σ₄ (2.12) Primeiramente vericamos através da permutação de tranças que as 5-tranças σ₄σ₃σ₂σ²₁σ₂σ₃σ₄, (γσ₄γ⁻¹)⁻¹(σ₄σ₃σ₂σ₁²σ₂σ₃σ₄)⁻¹γσ₄γ⁻¹ e por consequência ρ são puras, visto que todas possuem permutação de tranças trivial. Além disso, percebamos que

σ₄σ₃σ₂σ₁²σ₂σ₃σ₄ =σ₄σ₃σ₂σ₁²σ₂σ₃σ₄⁻¹σ²₄

=σ4σ3σ2σ₁²σ2σ3σ₄⁻¹A4,5

=σ₄σ₃σ₂σ₁²σ₂σ₃⁻¹σ²₃σ₄⁻¹A_4,5

=σ₄σ₃σ₂σ₁²σ₂σ₃⁻¹σ⁻¹₄ σ₄σ₃²σ₄⁻¹A_4,5

=σ₄σ₃σ₂σ₁²σ₂σ₃⁻¹σ⁻¹₄ A_3,5A_4,5

=σ₄σ₃σ₂σ₁²σ₂⁻¹σ²₂σ₃⁻¹σ₄⁻¹A_3,5A_4,5

=σ₄σ₃σ₂σ₁²σ₂⁻¹σ⁻¹₃ σ₃σ₂²σ₃⁻¹σ⁻¹₄ A_3,5A_4,5

=σ₄σ₃σ₂σ₁²σ₂⁻¹σ⁻¹₃ σ₄⁻¹σ₄σ₃σ₂²σ⁻¹₃ σ₄⁻¹A_3,5A_4,5

=σ₄σ₃σ₂σ₁²σ₂⁻¹σ⁻¹₃ σ₄⁻¹A_2,5A_3,5A_4,5

=A1,5A2,5A3,5A4,5. Desse modo,

ρ= (γσ₄γ⁻¹)⁻¹(A_1,5A_2,5A_3,5A_4,5)⁻¹γσ₄γ⁻¹A_1,5A_2,5A_3,5A_4,5

=γσ⁻¹₄ γ⁻¹A⁻¹_4,5A⁻¹_3,5A⁻¹_2,5A⁻¹_1,5γσ₄γ⁻¹A_1,5A_2,5A_3,5A_4,5. (2.13) Armamos que ρé um elemento não trivial doKer(ψ₅: B₅ →GL₅(Λ)). A trança ρ de fato está no núcleo da representação e isso decorre da computação de multiplicação

de118 matrizes. Essa conta foi feita através de um programa de computador e não será posta nesse texto dada a sua extensão. Sabemos que as tranças A_1,5A_2,5A_3,5A_4,5 e sua inversa pertencem ao núcleo def₅ (ver Subseção 1.7.2). Além do mais, quando aplicamos o mesmo homomorsmo de esquecimento em γσ⁻¹₄ γ⁻¹A⁻¹_4,5A⁻¹_3,5A⁻¹_2,5A⁻¹_1,5γσ₄γ⁻¹ podemos perceber que essa trança também pertence ao núcleo já que A⁻¹_4,5A⁻¹_3,5A⁻¹_2,5A⁻¹_1,5 se torna trivial, γσ₄⁻¹γ⁻¹ e sua inversa têm permutação que mantém a quinta corda nela mesma, fazendo com que os extremos se cancelem. Para provarmos queρ não é trivial recorremos ao penteamento da trança e utilizamos as Proposições 1.27 e 1.28 para escrever ρ como produto dos geradores de Artin das tranças puras. Era preciso escrever ρ em relação aos geradores do Ker(f₅), mas não foi possível atingir o objetivo por causa da extensão da escrita em geradores de Artin.

Observação 2.11. Com o intuito de provar que ρ é diferente da trança trivial, fez-se necessário a criação e a utilização de um programa feito em JAVA pelo programador e estudante de engenharia elétrica com ênfase em sistemas e computação da UERJ Ariel Gonçalves Freire em trabalho realizado juntamente comigo. O programa, intitulado por BraidBrusher, é composto por bibliotecas nas quais foram organizadas as Proposições 1.27 e 1.28, além dos possíveis cancelamentos.

Ao aplicar os conjugados em A⁻¹_4,5A⁻¹_3,5A⁻¹_2,5A⁻¹_1,5, calculou-se uma série de 53 itera-ções as quais são o passo a passo de como obter a escrita deρcomo produto dos geradores de Artin das tranças puras. Mas, por questão da extensa quantidade de páginas não traremos a trança escrita dessa forma nesse texto.

Observação 2.12. Até o momento da conclusão dessa dissertação o caso n = 4 sobre a injetividade da representação de Burau ψ4 ainda é um caso em aberto.