Características das representações do Registro Geométrico Bidimensional

As características das representações do registro Geométrico Bidimensional dos racionais, categorizadas no item anterior, e das quais iremos tratar, são das figuras geométricas utilizadas nas conversões em que se tem como registro de partida o geométrico bidimensional e o de chegada o simbólico fracionário dos números racionais. E essas características se destacam pelo tipo de conversão que é requerida, a qual solicita a fração que representa a parte pintada ou hachurada em relação ao todo.

As figuras perceptuais são polígonos, círculos, correspondentes a um ou mais inteiros, contínuo(s), particionado(s) - com todas as demarcações internas de divisão explícitas - em áreas congruentes e formas21 _{homogêneas, justapostas, sendo}

algumas delas pintadas ou hachuradas, conforme Quadro 2.

Essas figuras geométricas foram assim denominadas em nosso estudo devido a sua interpretação está voltada para as características relacionadas à forma das

21 _{A partir de agora iremos nos referir as formas geométricas das partes ou subfiguras, por ‘formas’.} Particionamento completo ou explícito Subfiguras ou partes com áreas congruentes e formas homogêneas Figuras perceptuais

Um inteiro Mais de um _inteiro Figuras operatórias por inclusão das partes

Subfiguras ou partes com áreas

congruentes e formas heterogêneas Figuras operatórias por modificação das formas Particionamento incompleto ou implícito Subfiguras ou partes com áreas

particionadas explicitamente diferentes e formas homogêneas Figuras operatórias por divisão Subfiguras ou partes com áreas particionadas explícitamente diferentes e formas heterogêneas Figuras operatórias por modificação

das áreas e das formas

subfiguras ou partes, sendo imediata, automática, sem que sejam necessários tratamentos na figura geométrica para que seja compreendida a relação parte-todo.

As unidades figurais que são os elementos básicos que compõem as figuras geométricas dessa categoria são, dimensional- uma unidimensional, as demarcações internas de divisão do todo; e outra bidimensional - as áreas. Enquanto que as variáveis qualitativas são linhas retas – para os polígonos – e linha curva para os círculos; contornos fechados, cor, áreas congruentes, formas homogêneas – entre as subfiguras ou partes, justaposição das áreas demarcadas.

Quadro 2 – Figuras perceptuais.

FIGURAS PERCEPTUAIS (UM INTEIRO) FIGURAS PERCEPTUAIS (MAIS DE UM INTEIRO)

Fonte: autoria própria, 2018

Nas figuras perceptuais que representam um inteiro, de acordo com Carraher, Schliemann (1992), a conversão para o registro simbólico fracionário é realizada a partir de uma dupla contagem, do número de partes que foram pintadas ou hachuradas, e do número de partes que foi particionado o todo, correspondendo literalmente, ou seja, diretamente e respectivamente, ao numerador e denominador da fração. A fração resultado da conversão é denominada pelos pesquisadores em questão de fração de magnitude literal.

As figuras perceptuais são comparadas às denominadas como ‘completas’, na pesquisa de Behr, Post e Silver (1983), em que os autores procuram analisar a influência de distratores perceptuais na resolução de tarefas que requerem a

conversão para o registro simbólico fracionário. São assim chamadas pois contêm todas as informações necessárias para esse tipo de conversão.

As figuras operatórias por inclusão das partes são polígonos, círculos, correspondentes a um inteiro, contínuo, particionado - com todas as demarcações internas de divisão explícitas - em áreas congruentes e formas homogêneas, justapostas, sendo algumas delas pintadas ou hachuradas, onde o número de partes pintadas pode ser relocadas como uma nova unidade de medida, permitindo assim, uma reconfiguração das partes que foi dividido o todo, conforme a Figura 5

Figura 5 – Figuras operatórias por inclusão das partes.

Fonte: autoria própria, 2018.

As unidades figurais que compõem as figuras geométricas dessa categoria são, dimensional - unidimensional - as demarcações internas de divisão do todo e outra bidimensional - as áreas. Enquanto que as variáveis qualitativas são linhas retas – para os polígonos – e linhas curvas para os círculos; contornos fechados, cor, áreas congruentes e formas homogêneas entre as subfiguras ou partes, justaposição das áreas demarcadas.

Apesar dessas figuras possuírem todas as informações necessárias para a interpretação parte-todo, de forma perceptual, sem necessidade de tratamento, para a conversão em uma fração de magnitude literal, nesse tipo de figura, podem também ser exploradas as relações de equivalência que, para isso a reconfiguração das partes ou subfiguras, se faz necessário como tratamento figural para esse fim.

Sendo assim, o procedimento da dupla contagem, número de partes pintadas e de partes do todo, dará conta da conversão em uma fração de ‘magnitude literal’ mas não de identificar uma nova unidade de medida para reconfiguração das partes do todo e posterior conversão no registro simbólico fracionário. O todo reconfigurado convertido para o registro simbólico fracionário terá como resultado uma fração de ‘magnitude relativa’, a qual, como afirmam Carraher, Schliemann (1992), possui numerador e denominador equivalentes às respectivas quantidades, número de partes pintadas, número de partes do todo, demonstradas na figura inicial.

Na pesquisa de Behr e Post (1981), as figuras operatórias por inclusão das partes são denominadas ‘irrelevantes’ sendo aquelas que contêm informações que necessitam ser ignoradas para a conversão no registro simbólico fracionário.

As relações de equivalência também podem ser trabalhadas com as figuras perceptuais por meio da reconfiguração por divisão de suas partes ou subfiguras em áreas congruentes, transformando-se, assim, numa figura com uma nova unidade de medida, menor do que a inicial, e com número maior de partes, conforme Figura 6. Sendo assim, a conversão para o registro simbólico fracionário terá como resultado uma fração de magnitude relativa.

Figura 6 – Figura perceptual reconfigurada por divisão das partes internas.

Fonte: autoria própria, 2018.

As figuras operatórias por divisão são polígonos, círculos, correspondentes a um inteiro, contínuo, particionado – tendo algumas demarcações internas de divisão implícitas- em áreas explícitas diferentes e formas homogêneas, justapostas, sendo algumas delas pintadas ou hachuradas. Foram assim denominadas, por necessitarem de um tratamento, explícito ou não, de descoberta da unidade-parte e da divisão em

partes ou subfiguras congruentes para que seja interpretada a relação entre as partes ou subfiguras hachuradas e o todo, conforme Figura 7.

Figura 7 – Figuras operatórias por divisão.

Fonte: autoria própria, 2018

Na Figura 7(a), a unidade de medida é equivalente à área pintada. A figura foi particionada implicitamente em três dessas partes. Na Figura 7(b) a unidade de medida é equivalente à área não pintada. A figura foi particionada implicitamente em três partes, sendo duas delas pintadas. Enquanto que na Figura 7(c) existem duas unidades de medida. Podemos ‘ver’ o círculo dividido em doze partes de áreas iguais, tendo sido pintadas quatro delas, como também, em três partes de áreas iguais, tendo sido pintada uma delas.

As unidades figurais que compõem as figuras geométricas dessa categoria são, dimensional - unidimensional - as demarcações internas de divisão do todo e outra bidimensional - as áreas. Enquanto que as variáveis qualitativas são linhas retas – para os polígonos – e linhas curvas para os círculos; contornos fechados, cor, mesma forma e áreas diferentes.

(a) (b) (c)

Na pesquisa de Behr e Post (1981), as figuras operatórias por divisão são denominadas como ‘incompletas’ pois necessitam de informações que sejam adicionadas as existentes na figura.

As figuras operatórias por modificação das formas são polígonos, correspondentes a um inteiro contínuo, dividido em partes ou subfiguras de áreas congruentes e formas heterogêneas, justapostas, sendo algumas delas pintadas ou hachuradas, necessitando um tratamento na figura de desconstrução das formas das subfiguras, explícito ou não, para que as áreas congruentes sejam percebidas e adotadas como unidade de medida para o estabelecimento da relação das partes com o todo, conforme Figura 8.

Figura 8 - Figuras operatórias por modificação das formas.

Fonte: (a)(b) (SILVA, 2005); (c) (DAMICO,2007)

Na Figura 8 (a), é preciso operar sobre a figura para perceber que as áreas pintadas do triângulo e dos dois retângulos são congruentes. Para isso, tem que se constatar que o lado maior do retângulo particionado foi dividido em três segmentos, sendo que os dois maiores possuem a mesma medida e equivalem, cada um, ao dobro do segmento menor. E por meio do traçado de segmentos de reta realizar a desconstrução das formas das subfiguras para verificar a igualdade das áreas. Matematicamente, pode ser calculada a área das figuras para constatação das igualdades das partes.

A Figura 8 (b) é um retângulo particionado em triângulos retângulos e isósceles. É necessário operar sobre a figura, por meio de desconstrução das partes, traçando o segmento que divide um dos lados do retângulo unidade ao meio para verificar a igualdade de área das mesmas ou demonstrar matematicamente.

Na Figura 8 (c), traçando os outros dois eixos de simetria do retângulo para desconstrução das formas das subfiguras, é possível verificar que o todo foi dividido em quatro partes iguais e pintada uma delas ou oito partes iguais, sendo duas dessas pintadas. Outra forma de verificar a igualdade das áreas seria calculando as mesmas. As unidades figurais que compõem as figuras geométricas dessa categoria são, dimensional - unidimensional - as demarcações internas de divisão do todo e outra bidimensional - as áreas. Enquanto que as variáveis qualitativas são linhas retas; contornos fechados, cor, áreas congruentes e formas heterogêneas.

As figuras operatórias por modificação das áreas e das formas são polígonos, círculos, correspondentes a um inteiro contínuo, dividido em partes ou subfiguras de áreas diferentes e formas heterogêneas, justapostas, sendo algumas delas hachuradas ou pintadas, necessitando um tratamento no registro, qual seja a análise da relação existente entre as partes não congruentes e entre elas e o todo para desconstrução das formas das subfiguras e reconfiguração do todo na mesma unidade de medida, conforme Figura 9.

Figura 9 – Figuras operatórias por modificação das áreas e das formas.

Fonte:(a),(c) autoria própria, 2018; (b) Behr e Post (1981)

A Figura 9 (a) foi particionada em quatro subfiguras ou partes de áreas diferentes e formas heterogêneas, sendo pintadas duas delas. É necessário operar sobre a figura geométrica para que uma unidade comum de medida seja estabelecida. Por meio da análise entre as subfiguras ou partes pintadas podemos verificar que uma é o dobro da outra. Utilizando a subfigura ou parte de menor área como unidade de medida, obtemos um particionamento do todo em oito subfiguras ou partes de áreas congruentes e formas homogêneas.

A Figura 9 (b) foi particionada em três subfiguras ou partes de áreas diferentes e formas heterogêneas. Ao operar sobre a figura é verificada a relação entre as partes hachuradas e entre elas e o todo, permitindo descobrir a forma e área da unidade- parte.

A Figura 9 (c) foi particionada em quatro subfiguras ou partes de áreas diferentes e formas heterogêneas. É necessário operar sobre a figura para estabelecer a relação entre as partes ou subfiguras e a unidade de medida. O todo reconfigurado passa a ter doze partes ou subfiguras de áreas congruentes e formas homogêneas.

As unidades figurais que compõem as figuras geométricas dessa categoria são, dimensional - unidimensional - as demarcações internas de divisão do todo e outra bidimensional - as áreas. Enquanto que as variáveis qualitativas são linhas retas – para os polígonos – e linhas curvas para os círculos; contornos fechados, cor, áreas diferentes, justaposição das partes, formas heterogêneas.

As figuras operatórias por modificação das áreas e das formas são comparadas as denominadas como ‘inconsistentes’ na pesquisa de Behr e Post (1981), pois as demarcações internas de divisões devem ser ignoradas e realizada a reconfiguração do todo, com base em uma única unidade de medida. De acordo com esses pesquisadores esses tipos de figuras contêm elementos que atuam como ‘distratores perceptuais’ e tornam a conversão para o registro simbólico fracionário mais difícil de ser realizada pelos sujeitos em fase escolar.

3.2.2 Tipos de tratamentos requeridos pelo Registro Geométrico bidimensional