O tecido ósseo é um material altamente complexo, pois é um tecido vivo que se regenera, tem porosidade, não é homogêneo, é anisotrópico e tem comportamento não linear.
Algumas simplificações devem ser aplicadas para poder simular o comportamento deste tecido de uma maneira aproximada. O osso será considerado como homogêneo, a composição será considerada constante e será considerado como um material contínuo para se poder utilizar o ferramental matemático da Mecânica do Contínuo.
As propriedades elásticas do osso como um material isotrópico linear podem ser descritas por apenas dois parâmetro: o módulo de elasticidade ou de Young E e o coeficiente de Poisson . A relação entre a rigidez do material e a densidade aparente , Equação (2.9), é descrita por Martin et al., 1998 apud Rüberg, 2003.
32
l
ke
E
E () (2.9)
Os parâmetros kee l são constantes ajustáveis a dados experimentais.
O modelo de Stanford apresenta uma relação parecida (Doblaré e García, 2002) como mostram a Equação (2.10) para o módulo de elasticidade e a Equação (2.11) para o consideração o grau de mineralização. A rigidez do material depende da fração de volume do osso VB/VT e do grau de mineralização gm, como mostra a Equação (2.12). Uma aproximação para a tensão última do osso é dada na equação (2.13):
74 compressão é próxima à do aço sendo que o peso específico é um quarto em relação ao peso específico do metal. Em outras palavras, o tecido ósseo é muito mais leve e flexível que o aço, porém tem a tensão última da mesma magnitude.
Testes mecânicos uniaxiais de compressão e de tração foram realizados em vértebras humanas (Kopperdahl e Keaveny, 1998), com aplicação de carga do tipo servo-hydraulic, ou seja, dinamicamente em ciclos. As densidades aparentes iniciais dos dois corpos de prova ensaiados são distintas, como mostra a Figura 10
.
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Figura 10 – Diagrama tensão x deformação para duas vértebras humanas com diferentes densidades aparentes iniciais (𝝆), (Kopperdahl e Keaveny, 1998).
A espécie óssea com menor densidade aparente submetida à tração apresentou menor módulo de elasticidade e deformação última menor. Os dois diagramas de tensão versus deformação apresentaram comportamento não linear para deformações menores que 1.0 %.
Enquanto que a deformação última apresentada pela vértebra de menor densidade foi menor que 2.0 %. O “X” no gráfico indica o ponto onde ocorreu o rompimento do material, que aconteceu apenas para o corpo de prova da espécie da vértebra tracionada. Os corpos de prova possuiam formato cilíndrico com 8 mm de diâmetro e 25 mm de altura como mostra ilustração da Figura 11
.
Figura 11 – Ilustração de um corpo de prova ósseo cilíndrico.
34 2.6. Dano no Osso
O dano na matriz óssea tem um importante papel no início do remodelamento ósseo. O tecido ósseo é um material mais frágil do que dúctil e os efeitos plásticos e viscoelásticos são geralmente desconsiderados nas análises. Como mostrado por Jepsen et al., 2001, o espectro completo de acumulação de microfissuras, escoamento plástico e viscoso (creep) existem, porém neste trabalho será considerado apenas o primeiro destes fenômenos inelásticos. Isto é necessário para diminuir o grau de complexidade do problema.
A maneira mais fácil de descrever o processo de danificação é introduzindo uma variável de estado que representa o estado do dano em cada ponto material. Esta variável é então associada com a perda de rigidez seguindo os princípios da mecânica do dano. A relação entre essa variável global (o escalar d no caso isotrópico ou o tensor D no caso anisotrópico) e os efeitos microscópicos é altamente complexa, no entanto, a variável do dano fornece uma “medida” das microfissuras. Uma fissura influencia localmente no comportamento mecânico do tecido ósseo. No local onde ela ocorreu surgem concentrações de tensões e a possível abertura da fratura pode se propagar em uma direção e comprometer a integridade da estrutura, além de afetar as propriedades materiais globais do osso.
Alguns resultados retirados de Jepsen et al., 2001, mostram que a densidade de fratura varia entre 0 e 760 fissuras/cm2 e o comprimento da fissura entre 2 e 88 micrometros. Estes resultados foram retirados de seções do osso humano e variam muito com a idade, gênero ou grupo étnico.
É comum a definição de dano como a perda de rigidez com respeito à tensão uniaxial, como mostra a Equação (2.14).
0
1 E
d E (2.14)
sendo E0 o módulo de Young inicial do material sem dano. Esta expressão é consistente para o estado sem danificação, quando EE0, e para o estado de falha, quando o dano tende à unidaded1 e o módulo de elasticidade tende a zero E0.
A questão é saber como esta variável evolui. E se suas derivadas em relação ao tempo d ou em respeito ao número de ciclos d /N são significantes.
35 O tempo para a falha será denotado por tf e o correspondente número de ciclos de carga de Nf . Mantendo a deformação ou a tensão constante, a variável de dano pode ser expressa através do tempo normalizado t/tf ou pelo número de ciclos normalizado N /Nf.
A Figura 12 mostra um gráfico qualitativo da evolução do dano para compressão e tração, dependendo do número de ciclos de carga. A maior diferença é encontrada na fase inicial, onde o dano na tração tem um crescimento mais acelerado. Em seguida, tem-se um período com pouco crescimento do dano até que sua taxa aumente rapidamente.
Figura 12 - Evolução qualitativa do dano para compressão (linha contínua) e tração (linha pontilhada) até o momento de fadiga em função do número de ciclos de carga normalizado N /Nf para um nível constante de
deformação aplicado.
Funções para a este tipo de representação da evolução do dano com o tempo podem ser derivadas facilmente, tais como:
)]
~ N C C [ln(
dc 2 1
1
1 1
(2.15)
para compressão e:
5 1 ln( 3 ~ 2 )
1 4
3
C C
t e C N
d C (2.16)
para tração. As relações (2.15) e (2.16) coincidem qualitativamente com os formatos das curvas experimentais, onde a medida de deformação ~ é utilizada. As constantes C1, C2, C3,
36 C4, C5, 𝛿1 e 𝛿2 são ajustáveis a partir de dados experimentais. Versões destas leis baseadas nos níveis de tensão existem, mas os experimentos são usualmente controlados pela deformação, pois é mais fácil de ser observado.
Regressões lineares e de potência relacionando propriedades mecânicas com a densidade aparente (g/cm3) para o osso trabecular vertebral humano foram publicadas por Kopperdahl e Keaveny em 1998. O número de corpos de prova ensaiados foi igual a 22 para compressão e 22 para tração, na Tabela 1 as informações são especificadas.
Tabela 1 - Regressões lineares e de potência relacionando propriedades mecânicas com a densidade aparente para o osso trabecular vertebral humano.
_ Indica que o intercepto da regressão linear teve significância baixa;
NS Indica que a regressão não foi significante;
a As regressões para o módulo de elasticidade utilizaram n=44 corpos de prova.
Fonte: (Kopperdahl e Keaveny, 1998)
O módulo de elasticidade, a tensão última e a tensão para o início do dano demonstraram correlação positiva com a densidade aparente, como pode se observar pelo coeficiente r2. As regressões relacionando o módulo de young e a densidade aparente foram geradas independentemente do estado de tensões ensaiado (tração ou compressão) como pode se observar no caso da regressão linear ilustrada na Figura 13
.
A Figura 14 ilustra a regressão linear e de potência relacionando a tensão de início do dano com a densidade aparente (Kopperdahl e Keaveny,1998).Quando a flambagem domina a compressão axial na trabécula, uma lei de regressão de potência ajusta a curva que relaciona a tensão compressiva de início do dano e a densidade aparente com um expoente 1.6, como ilustrado pelo coeficiente b na compressão da Tabela 1.
Na tração, onde não ocorre flambagem, a relação entre a tração axial de início do dano e a densidade aparente é linear (Figura 14).
E = a + b E = ab
Compressão Tração Compressão Tração
a b r2 a b r2 a b r2 a b r2
Deformação dano (%) 0.66 1.09 0.49 NS 1.24 0.21 0.48 NS
Deformaçãoúltima(%) NS NS NS NS
Tensão de dano (MPa) -1.40 19.6 0.73 _ 10.1 0.51 32.6 1.60 0.70 10.0 1.04 0.51 Tensão última (MPa) -1.46 21.9 0.71 _ 13.2 0.47 33.2 1.53 0.68 13.3 1.07 0.47
Módulo (MPa)a _ 2100 0.61 2350 1.20 0.60
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Figura 13 – Módulo de Elasticidade na compressão e na tração em função da densidade aparente e a regressão linear correspondente (Kopperdahl e Keaveny, 1998).
Figura 14 – As tensões de começo do dano na compressão e na tração apresentaram forte correlação com a densidade aparente (Kopperdahl e Keaveny, 1998).
Segundo Kopperdahl e Keaveny (1998), a equação que relaciona linearmente a densidade aparente (g/cm3) com o módulo de elasticidade (MPa) é definida como:
2100
E (2.17)
ou ainda, em termos de potência:
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