Para qualquer grupo abeliano f.g. B, definimos o posto de B por postoZ(B) = dimQ(Q ⊗ZB).
2.5. Caracter´ıstica de Euler de Grupos Abstratos
Se B for livre esta defini¸c˜ao coincide com a defini¸c˜ao de posto no sentido de cardinalidade de uma base. Em geral, postoZ(B) ´e igual ao posto, no sentido cl´assico, da “parte livre” de B, i.e. do quociente de B por seu subgrupo de tor¸c˜ao. Em particular, postoZ(B) = 0 se e somente se B ´e finito.
Na literatura podem ser encontradas diversas defini¸c˜oes da caracter´ıstica de Euler de grupos, sob um grande n´umero de diferentes condi¸c˜oes de finitude. Para nosso prop´osito as seguintes condi¸c˜oes s˜ao as mais convenientes a se impor: G ser´a um grupo abstrato de tipo FP∞ e cd(G) < ∞.
Defini¸c˜ao 2.5.1 ([B, p´ag. 247]) Seja G um grupo abstrato de tipo FP∞ e cd(G) < ∞,
definimos ent˜ao a caracter´ıstica de Euler de G, χ(G), por
χ(G) = P
0≤i≤cd(G)
(−1)ipostoZ(Hi(G, Z)) .
Observe que postoZ(Hi(G, Z)) est´a bem definido pois Hi(G, Z) ´e grupo abeliano aditivo
e f.g:
Seja P : 0 → Pn → · · · → Pi di
→ · · · → P1 → P0 → Z → 0 uma resolu¸c˜ao projetiva do [ZG]-m´odulo trivial Z, com cada Pi f.g. (existe pela proposi¸c˜ao 2.3.26), ent˜ao
Hi(G, Z) = Hi PZ⊗[ZG]Z = ker(di⊗ idZ) Im(di+1⊗ idZ) , onde Pi ⊗[ZG] Z di−→ P⊗idZ
i−1 ⊗[ZG] Z. Cada Pi ´e f.g. como [ZG]-m´odulo, logo existe um
epimorfismo [ZG]k Pi. Por outro lado
Zk= ⊕k vezesZ = ⊕k vezes [ZG] ⊗[ZG]Z = ((⊕k vezes[ZG]) ⊗[ZG]Z)
=[ZG]k⊗[ZG]Z Pi⊗[ZG]Z pois ⊗ ´e funtor exato `a direita.
Logo Pi⊗[ZG]Z ´e f.g. como Z-m´odulo, e cada subgrupo de Pi⊗[ZG]Z tamb´em ´e f.g. como
Z-m´odulo, portanto ker (di⊗ idZ) e im (di+1⊗ idZ) s˜ao f.g. como Z-m´odulos, logo Hi(G, Z)
´e quociente de Z-m´odulos f.g. ent˜ao ´e f.g. como Z-m´odulo (grupo abeliano).
Segue que Hi(G, Z) = ⊕(Z-m´odulos c´ıclicos) = Zα⊕T , onde T ´e um grupo abeliano finito
e Zα´e a parte livre de tor¸c˜ao. Logo temos que postoZ(Hi(G, Z)) = α = dimQ(Hi(G, Z)⊗ZQ),
onde α ´e a quantidade de copias de Z.
Exemplos 2.5.2 Vamos calcular χ(Z). Seja G = Z = hti com t 6= 1. Ent˜ao o kernel do homomorfismo aumento ε, ker ε = [ZG] (t − 1) ' [ZG], assim temos que
Cap´ıtulo 2. ´Algebra Homol´ogica de M´odulos Abstratos ´
e uma resolu¸c˜ao livre do [ZG]-m´odulo trivial Z, logo cd(Z) ≤ 1, mas como Z ´e n˜ao trivial, pelo exemplo 2.3.22 (3) cd(Z) = 1. Por outro lado, pelo teorema 2.3.5 H1(G, Z) = Z/[Z, Z] = Z,
logo postoZ(H1(G, Z)) = 1 e pelo lema 2.3.3 H0(G, Z) = Z, logo postoZ(H0(G, Z)) = 1. Isto
implica que χ(Z) = 1 − 1 = 0. Proposi¸c˜ao 2.5.3 Seja C : 0 → Cn→ · · · → Ci di → · · · → C1 → C0 → 0 um complexo finito de Z-m´odulos, ent˜ao n P i=0 (−1)ipostoZ(Hi(C)) = n P i=0 (−1)ipostoZ(Ci) .
Demonstra¸c˜ao: Considere as sequˆencias exatas curtas, para cada 0 ≤ i ≤ n,
0 → im di+1→ ker di → Hi(C) → 0,
0 → ker di → Ci → im di → 0.
Como Q ´e Z-m´odulo plano, as seguintes sequˆencias curtas tamb´em s˜ao exatas:
0 → Q ⊗Zim di+1→ Q ⊗Zker di → Q ⊗ZHi(C) → 0
0 → Q ⊗Zker di→ Q ⊗ZCi → Q ⊗Zim di→ 0.
Logo temos que
Q ⊗Zker di' (Q ⊗Zim di+1) ⊕ (Q ⊗ZHi(C)) e
Q ⊗ZCi' (Q ⊗Zker di) ⊕ (Q ⊗Zim di) ,
o que implica que
dimQ(Q ⊗Zker di) = dimQ(Q ⊗Zim di+1) + dimQ(Q ⊗ZHi(C)) e
dimQ(Q ⊗ZCi) = dimQ(Q ⊗Zker di) + dimQ(Q ⊗Zim di) ,
que, por defini¸c˜ao, ´e
postoZ(ker di) = postoZ(im di+1) + postoZ(Hi(C)) e
postoZ(Ci) = postoZ(ker di) + postoZ(im di) .
Multiplicando cada igualdade por (−1)i+1 temos:
−(−1)ipostoZ(ker di) = (−1)i+1postoZ(im di+1) − (−1)ipostoZ(Hi(C))
2.5. Caracter´ıstica de Euler de Grupos Abstratos Somando em i − n P i=0 (−1)ipostoZ(ker di) = n P i=0
(−1)i+1postoZ(im di+1) − n P i=0 (−1)ipostoZ(Hi(C)) − n P i=0 (−1)ipostoZ(Ci) = − n P i=0 (−1)ipostoZ(ker di) − n P i=0 (−1)ipostoZ(im di) .
Somando cada lado das igualdades anteriores
−Pn i=0 (−1)ipostoZ(ker di) − n P i=0 (−1)ipostoZ(Ci) = = n P i=0
(−1)i+1postoZ(im di+1) − n P i=0 (−1)ipostoZ(Hi(C)) − n P i=0 (−1)ipostoZ(ker di) − n P i=0 (−1)ipostoZ(im di) , o que implica − n P i=0 (−1)ipostoZ(Ci) = − n P i=0
(−1)ipostoZ(Hi(C))−postoZ(im d0)+(−1)n+1postoZ(im dn+1) ,
mas im d0 = im dn+1 = 0, portanto n P i=0 (−1)ipostoZ(Ci) = n P i=0 (−1)ipostoZ(Hi(C)) .
Observa¸c˜ao 2.5.4 A proposi¸c˜ao an´aloga para cohomologia tamb´em ´e verdadeira.
Como, pela defini¸c˜ao de χ(G) χ(G) = P 0≤i≤cd(G) (−1)ipostoZ(Hi(G, Z)) = P 0≤i≤cd(G) (−1)ipostoZ Hi PZ⊗[ZG]Z onde P : 0 → Pn → · · · → Pi di
→ · · · → P1 → P0 → Z → 0 ´e uma resolu¸c˜ao projetiva do
[ZG]-m´odulo trivial Z, com cada Pi f.g; a proposi¸c˜ao anterior nos diz que
χ(G) = P
0≤i≤cd(G)
(−1)ipostoZ Pi⊗[ZG]Z .
Proposi¸c˜ao 2.5.5 Seja G um grupo abstrato de tipo FP∞ e cd(G) < ∞, ent˜ao
χ(G) = P
0≤i≤cd(G)
(−1)ipostoZ(Hi(G, Z)) = P 0≤i≤cd(G)
Cap´ıtulo 2. ´Algebra Homol´ogica de M´odulos Abstratos Demonstra¸c˜ao: Seja P uma resolu¸c˜ao projetiva do [ZG]-m´odulo trivial Z
P : 0 → Pn→ · · · → P0→ Z → 0,
onde cada Pi ´e f.g, e seja C o complexo de [ZG]-m´odulos f.g:
C = PZ⊗[ZG]Z : 0 → Pn⊗[ZG]Z → · · · → P0⊗[ZG]Z → 0,
onde PZ´e a resolu¸c˜ao apagada de P. Pela proposi¸c˜ao 2.5.3, χ(G) = P 0≤i≤cd(G) (−1)ipostoZ(Ci) = P 0≤i≤cd(G) (−1)ipostoZ Pi⊗[ZG]Z .
Seja, agora, S o complexo de [ZG]-m´odulos f.g:
S = Hom[ZG](PZ, Z) : 0 → Hom[ZG](P0, Z) → · · · → Hom[ZG](Pn, Z) → 0,
ent˜ao P 0≤i≤cd(G) (−1)ipostoZ Hi(G, Z) = P 0≤i≤cd(G) (−1)ipostoZ Hi Hom[ZG](PZ, Z) = P 0≤i≤cd(G) (−1)ipostoZ Hom[ZG](Pi, Z) ,
onde a ´ultima igualdade vem da observa¸c˜ao 2.5.4. Vamos provar que
postoZ Hom[ZG](Pi, Z) = postoZ Pi⊗[ZG]Z , (2.3)
assim temos que
χ(G) = P
0≤i≤cd(G)
(−1)ipostoZ Hi(G, Z) .
Suponha que Pi´e [ZG]-m´odulo livre f.g. para cada i, ent˜ao Pi = [ZG]mi, para algum mi≥ 0.
Logo temos, por um lado
Hom[ZG]([ZG]mi , Z) = Πmi Hom[ZG]([ZG] , Z) pela propriedade 1.5.5 (1), = ⊕miZ = Z mi,
pois o produto direto ´e finito e pelo teorema 1.1. E pelo outro,
[ZG]mi⊗
[ZG]Z= ⊕mi [ZG] ⊗[ZG]Z , pela propriedade 1.5.6 (2)
= ⊕miZ = Z
mi, pelo teorema 1.3.4.
2.5. Caracter´ıstica de Euler de Grupos Abstratos
Suponha agora que Pi ´e ´e [ZG]-m´odulo projetivo f.g. para cada i, ent˜ao pela observa¸c˜ao
2.3.25, Pi ´e somando direto de um [ZG]-m´odulo livre de posto finito: Pi⊕ Qi= [ZG]mi, logo
a igualdade 2.3 vale para Pi⊕ Qi:
postoZ Hom[ZG](Pi⊕ Qi, Z) = postoZ (Pi⊕ Qi) ⊗[ZG]Z , (2.4) mas
postoZ Hom[ZG](Pi⊕ Qi, Z) = postoZ Hom[ZG](Pi, Z) ⊕ Hom[ZG](Qi, Z)
= postoZ(Hom[ZG](Pi, Z)) + postoZ(Hom[ZG](Qi, Z)),
e
postoZ (Pi⊕ Qi) ⊗[ZG]Z = postoZ Pi⊗[ZG]Z ⊕ Qi⊗[ZG]Z
= postoZ Pi⊗[ZG]Z + postoZ Qi⊗[ZG]Z .
Sabemos que Pi⊗[ZG]Z = Pi/PiI onde I ´e o ideal aumentado de [ZG], pelo lema 2.3.3. Como
Pi ´e f.g. como [ZG]-m´odulo ent˜ao Pi/PiI ´e f.g. como Z-m´odulo, logo Pi/PiI = Zki⊕ Γ, com
Γ finito. Asim,
postoZ Pi⊗[ZG]Z = postoZ(Pi/PiI) = ki. (2.5)
Por outro lado
HomZ(Pi/PiI, Z) = HomZ(Z
ki, Z) ⊕ Hom
Z(Γ, Z) = Z
ki, (2.6)
pois um elemento de ordem finita vai, por um homomorfismo, para um elemento de ordem finita, mas Z ´e livre de tor¸c˜ao, logo HomZ(Γ, Z) = 0.
Considere agora, ϕ ∈ Hom[ZG](Pi, Z), este homomorfismo induz um outro homomorfismo
e
ϕ ∈ HomZ(Pi/PiI, Z) dado porϕ (p + Pe iI) = ϕ(p).
Observe queϕ est´e a bem definido pois ϕ(PiI) = 0, j´a que ϕ(PiI) = ϕ(Pi)I, mas ϕ(Pi) ⊆ Z e I = ⊕ (g − 1) [ZG] e G age trivialmente em Z, logo Z (g − 1) = 0 em Z.
Isto define um monomorfismo de grupos abelianos:
Hom[ZG](Pi, Z) → HomZ(Pi/PiI, Z) = Zki, por (2.6).
ϕ 7−→ϕ,e
o que implica que Hom[ZG](Pi, Z) ⊆ Zki, portanto
postoZ Hom[ZG](Pi, Z) ≤ ki = postoZ Pi⊗[ZG]Z
por (2.5). (2.7) O mesmo acontece com o [ZG]-m´odulo projetivo f.g. Qi:
Cap´ıtulo 2. ´Algebra Homol´ogica de M´odulos Abstratos E, como somando termo a termo (2.7) e (2.8) temos a igualdade (2.4), tem-se:
postoZ Hom[ZG](Pi, Z) = postoZ Pi⊗[ZG]Z .
Proposi¸c˜ao 2.5.6 Se G for um grupo orient´avel de dualidade de Poincar´e de dimens˜ao n impar, ent˜ao χ(G) = 0.
Demonstra¸c˜ao: Como G ´e grupo de dualidade de Poincar´e, ent˜ao pelo teorema 2.4.1 Hi(G, Z) ' Hn−i(G, D ⊗ZZ) ' Hn−i(G, D) ' Hn−i(G, Z).
Pela proposi¸c˜ao anterior χ(G) = P
0≤i≤cd(G) (−1)ipostoZ Hi(G, Z), logo 2χ(G) = P 0≤i≤cd(G) (−1)ipostoZ(Hi(G, Z)) + P 0≤i≤cd(G) (−1)ipostoZ(Hn−i(G, Z)) = P 0≤i≤cd(G) (−1)ipostoZ(Hi(G, Z)) + P 0≤i≤cd(G) (−1)n−jpostoZ(Hj(G, Z)) = P 0≤i≤cd(G) (−1)ipostoZ(Hi(G, Z)) + P 0≤i≤cd(G) − (−1)jpostoZ(Hj(G, Z)) (pois n ´e ´ımpar) = 0. Como χ(G) ∈ Z, ent˜ao χ(G) = 0.
Teorema 2.5.7 ([B, Teorema 6.3, p´ag.248]) Seja G um grupo abstrato de tipo FP∞ e
cd(G) < ∞ e seja S um subgrupo de G de ´ındice finito, ent˜ao χ(S) = [G : S] χ(G).
Corol´ario 2.5.8 Nas condi¸c˜oes do teorema anterior, χ(S) = 0 se e somente se χ(G) = 0.
O seguinte corol´ario prova que a proposi¸c˜ao 2.5.6 continua sendo v´alida se tiramos a condi¸c˜ao de orientabilidade.
Corol´ario 2.5.9 Seja G um grupo de dualidade de Poincar´e de dimens˜ao n impar, ent˜ao
χ(G) = 0.
Demonstra¸c˜ao: Pela proposi¸c˜ao 2.4.6, existe S um subgrupo de G de ´ındice ≤ 2 tal que S ´e um grupo de dualidade de Poincar´e orient´avel, pela proposi¸c˜ao 2.3.21 (2), cd(S) = cd(G) = n impar, ou seja S tem dimens˜ao de Poincar´e impar, ent˜ao pela proposi¸c˜ao 2.5.6, χ(S) = 0 e pelo corol´ario anterior χ(G) = 0.
2.5. Caracter´ıstica de Euler de Grupos Abstratos
Teorema 2.5.10 ([B, Proposi¸c˜ao 7.3, p´ag. 250]) Seja G um grupo abstrato de tipo FP∞
e cd(G) < ∞, ent˜ao
χ(G) = P
0≤i≤cd(G)
(−1)ipostoFp(Hi(G, Fp)) ,
Cap´ıtulo 3
´
Algebra Homol´ogica de M´odulos
Profinitos
Neste cap´ıtulo estudamos propriedades homol´ogicas de grupos profinitos, centrando nossa aten¸c˜ao especificamente nos grupos pro-p.
Primeiramente, apresentaremos uma s´erie de defini¸c˜oes com o intuito de fixar termos e nota¸c˜oes referentes a espa¸cos topol´ogicos, em seguida definiremos um grupo topol´ogico que ´e basicamente um grupo dotado de uma topologia compat´ıvel com as opera¸c˜oes de grupo.
Posteriormente, apresentaremos os grupos pro-p que s˜ao exemplos de grupos topol´ogicos Hausdorff compactos e totalmente desconexos. Eles s˜ao definidos como o limite inverso de algum sistema de p-grupos finitos, i.e. de grupos de ordem potˆencia de p, onde p ´e um n´umero primo fixo.
A teoria dos grupos pro-p ´e profundamente marcada pela confluˆencia de duas estruturas, i.e., a estrutura de espa¸co topol´ogico totalmente desconexo e, em certo modo, a estrutura de grupo finito, uma caracter´ıstica que torna o estudo dos grupos pro-p interessante e rico.
O termo ‘grupo profinito’ foi introduzido pelo matem´atico francˆes Jean Pierre Serre no final dos anos 50, para abreviar ‘limite projetivo de grupos finitos’. Um limite projetivo ´e um limite inverso para o qual todos os homomorfismos associados s˜ao sobrejetores.