Caracteriza¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes seq¨ uenciais e de fun¸ c˜ oes subseq¨ uenciais

Como 1f = 1 = 1lr, basta mostrar quef e lrcoincidem em Σ⁺ para concluir que f =lr.

Sejauuma palavra em Σ⁺. Conforme demonstrado,tpertence aiuse, e somente se, existe um passeio bem-sucedido emT com entradaue sa´ıda igual a (i∗u)∗t. Ent˜ao,ulr= (i∗u)∗t6=∅se, e somente se,upertence a domf, e, neste caso,ulr´e o r´otulo de sa´ıda de um passeio bem-sucedido emT com entradau. Comof ´e funcional, segue que ulr=uf, o que conclui a demonstra¸c˜ao.

Observamos que argumentos semelhantes (utilizando o reverso de T) permitem concluir que toda fun¸c˜ao racionalf : Σ^∗ →Γ^∗ tal que 1f = 1 ´e a composi¸c˜ao de uma fun¸c˜ao seq¨uencial `a direita com uma fun¸c˜ao seq¨uencial `a esquerda.

4.4 Caracteriza¸ c˜ ao de fun¸ c˜ oes seq¨ uenciais e de fun¸ c˜ oes subseq¨

126 4.4. Caracteriza¸c˜ao de fun¸c˜oes seq¨uenciais e de fun¸c˜oes subseq¨uenciais

Demonstra¸c˜ao. O corol´ario segue do Teorema 4.4.2 e do fato de quef⁻¹ ´e uma rela¸c˜ao racional, e portanto preserva conjuntos racionais.

O teorema de Ginsburg e Rose ´e uma conseq¨uˆencia do teorema de Choffrut:

Demonstra¸c˜ao do Teorema 4.4.1. Sef for uma fun¸c˜ao seq¨uencial, a prova de quef satisfaz as condi¸c˜oes i,ii e iiido Teorema 4.4.1 ´e trivial, e n˜ao utiliza o Teorema 4.4.2.

A condi¸c˜aoifoi observada na Se¸c˜ao 4.2 (Proposi¸c˜ao 4.2.2), e a condi¸c˜aoii´e uma conseq¨uˆencia do fato de quef⁻¹´e uma rela¸c˜ao racional e da Proposi¸c˜ao 2.2.2. A condi¸c˜aoiii´e obtida considerando-se um transdutor considerando-seq¨uencial que realiza f, e definindoK como o m´aximo dentre os comprimentos das emiss˜oes desse transdutor.

Suponha agora quef satisfa¸ca as condi¸c˜oesi,iieiiido Teorema 4.4.1. Sejamk≥0 um inteiro, e u ev palavras tais que

||u, v|| ≤k.

Defina w=u∧v, eu⁰ e v⁰ como as palavras tais queu=wu⁰ ev=wv⁰. Ent˜ao,

|u⁰|+|v⁰| ≤k.

Comof preserva prefixos, podemos escrever

uf = (wf)(u⁰f) e vf= (wf)(v⁰f).

Assim,

||uf, vf|| ≤ |u⁰f|+|v⁰f|.

Por iii, temos que

|u⁰f|+|v⁰f| ≤K(|u⁰|+|v⁰|)≤Kk.

ComoK ´e fixo e Kks´o depende dek, conclu´ımos quef tem varia¸c˜ao limitada.

Ent˜ao, f satisfaz as condi¸c˜oes i e ii do Teorema 4.4.2. Portanto, f ´e subseq¨uencial. Como f preserva prefixos, segue da Proposi¸c˜ao 4.2.8 quef ´e seq¨uencial.

Uma prova do Teorema 4.4.2, diferente da de Choffrut, foi apresentada por Reutenauer [Reu90]

em 1990. Nessa prova, Reutenauer utiliza uma generaliza¸c˜ao do conceito de diferencial de uma fun¸c˜ao, definido por Eilenberg na sua demonstra¸c˜ao do teorema de Ginsburg e Rose [Eil74].

No entanto, a demonstra¸c˜ao de Reutenauer continha algumas incorre¸c˜oes. Uma vers˜ao correta dessa demonstra¸c˜ao foi apresentada por Reutenauer e Bruy`ere em 1999 [BR99].

A caracteriza¸c˜ao de Choffrut ´e um resultado muito forte. Com ela, pode-se verificar facilmente se uma fun¸c˜ao racional ´e ou n˜ao subseq¨uencial. Os algoritmos para a decidibilidade de se uma fun¸c˜ao racional ´e subseq¨uencial, e para a constru¸c˜ao de um transdutor subseq¨uencial a partir de um transdutor letra-palavra que realiza uma fun¸c˜ao subseq¨uencial, estudados nas se¸c˜oes 4.5 e 4.6, dependem explicitamente desse resultado.

Nesta se¸c˜ao, vamos demonstrar o teorema de Choffrut. Nossa demonstra¸c˜ao segue a de Reute-nauer e Bruy`ere.

Come¸camos com algumas defini¸c˜oes.

Defini¸c˜ao 4.4.2 Seja f : Σ^∗ → Γ^∗ uma fun¸c˜ao. Dizemos que f ´e fechada por prefixos se, para toda palavra wσ, onde σ ´e uma letra, se wσ∈domf, ent˜aow∈domf.

Note que, se f for uma fun¸c˜ao fechada por prefixosn˜ao-vazia, ent˜ao 1f 6=∅. Defini¸c˜ao 4.4.3 Seja f : Σ^∗ →Γ^∗ uma fun¸c˜ao fechada por prefixos.

O diferencial de f ´e a fun¸c˜ao parcialϕ: Σ⁺→Γ^(∗) definida por (uσ)ϕ= (uf)⁻¹((uσ)f), ∀ u∈Σ^∗,∀ σ∈Σ.

Dada uma palavrauemΣ^∗, o diferencial def com rela¸c˜ao au´e a fun¸c˜ao parcialϕ_u : Σ⁺→Γ^(∗) definida indutivamente como segue. Para toda letra σ em Σ tal que(uσ)f 6=∅,

σϕu= (uσ)ϕ.

Para toda palavra v em Σ⁺ e toda letra σ em Σ tais que (uvσ)f 6=∅, (vσ)ϕu= (vϕu)((uvσ)ϕ).

Da defini¸c˜ao de ϕ, segue que domf∩Σ⁺= domϕ;

(4.4.1a)

(uσ)ϕ∈(Γ^(∗)−Γ⁺)Γ^∗,∀u∈Σ^∗,∀ σ∈Σ,tais queuσ∈domϕ;

(4.4.1b)

(uσ)f = (uf)((uσ)ϕ) = (uf)(σϕu),∀u∈Σ^∗,∀ σ ∈domϕu. (4.4.1c)

A propriedade (4.4.1b) significa que toda palavra (uσ)ϕna forma reduzida ´e igual a um produto x⁻¹y, onde xey s˜ao palavras em Γ^∗. A propriedade (4.4.1c) significa que (uσ)f pode ser fatorado como (uf)x⁻¹y. Assim, podemos construir a imagem (uσ)f a partir de uf da seguinte forma.

Primeiro, o sufixo x´e apagado de uf. Em seguida, y´e concatenada `a direita da palavra obtida.

Dada uma palavra sem Σ^∗ e uma palavra x=σ₁. . . σ_n tal queu=sx∈domf, onde cada σ_i

´

e uma letra, a seguinte propriedade pode ser demonstrada por indu¸c˜ao emn:

(4.4.2) ((sσ1)ϕ). . .((sσ1. . . σn)ϕ) = (sf)⁻¹((sx)f).

O produto ((sσ1)ϕ). . .((sσ1. . . σn)ϕ) ´e uma palavra no grupo livre Γ^(∗). O lado direito de (4.4.2) mostra que essa palavra pode ser escrita na forma reduzida comoy⁻¹z, ondey ezs˜ao palavras em Γ^∗. Portanto,

(4.4.3) (sx)f = (sf)y⁻¹z.

Assim, para construir a imagem (sx)f, primeiro o sufixo y ´e apagado de sf, e, em seguida, z ´e concatenada `a direita da palavra obtida.

Pela defini¸c˜ao de ϕ_u, tamb´em podemos escrever (4.4.3) como (sx)f = (sf)(xϕs).

Uma conseq¨uˆencia trivial de (4.4.3) ´e a propriedade a seguir:

(4.4.4) sf∧(sx)f = (sf)y⁻¹.

128 4.4. Caracteriza¸c˜ao de fun¸c˜oes seq¨uenciais e de fun¸c˜oes subseq¨uenciais

A demonstra¸c˜ao do Teorema 4.4.2 utiliza o lema a seguir. Nesse lema, o resto da divis˜ao de um inteiro i por um inteiro j ser´a denotado por imodj, e i ≡ j (modk) indica que i e j s˜ao equivalentes na rela¸c˜ao emZdefinida por

i≡j se, e somente se, imodk=jmodk, ondek´e um inteiro fixo.

Lema 4.4.1 Seja f : Σ^∗ → Γ^∗ uma fun¸c˜ao fechada por prefixos. Se f⁻¹ preservar conjuntos racionais, e existir um inteiro positivo k tal que, para toda palavra wσ em domf, onde σ ´e uma letra,

(4.4.5) ||wf, (wσ)f|| ≤k,

ent˜ao f ´e subseq¨uencial.

Demonstra¸c˜ao. Inicialmente, vamos mostrar que, dada uma palavra reduzida u⁻¹v em imϕ, (u⁻¹v)ϕ⁻¹ ´e um subconjunto racional de Σ^∗.

Para cadai entre 0 e 2k, e cada palavrah em Γ^k, defina uma linguagem em Γ^∗ como segue:

A_{i, h}={x∈Γ^∗ : |x| ≡i (mod (2k+ 1)) e x∈Γ^∗h ou h∈Γ^∗x}.

A condi¸c˜ao x ∈ Γ^∗h ou h ∈ Γ^∗x significa que h ´e um sufixo de todas as palavras em A_{i, h} de comprimento maior ou igual k, e que pode haver no m´aximo uma palavra de comprimento menor quek nessa linguagem, e essa palavra ´e um sufixo de h.

Claramente, essas linguagens s˜ao racionais. Comof⁻¹ preserva conjuntos racionais,

B = [

0≤i≤2k h∈Γ^k

(A_{i, h}v)f⁻¹∩ (A_{i, h}u)f⁻¹Σ .

´

e um subconjunto racional de Σ⁺. Vamos provar que (u⁻¹v)ϕ⁻¹=B.

Seja xσ uma palavra em (u⁻¹v)ϕ⁻¹, onde σ ´e uma letra. Ent˜ao, existe uma palavra y em Γ^∗ tal que xf = yu e (xσ)f = yv. Sejam i = |y|mod (2k+ 1), e h a palavra definida como segue. Se |y| ≥ k, ent˜ao h ´e o sufixo de comprimento k de y. Sen˜ao, h ´e qualquer palavra de comprimento k que possa ser fatorada como h⁰y. Ent˜ao, xσ ∈ (A_{i, h}v)f⁻¹ e x ∈ (A_{i, h}u)f⁻¹, ou seja, xσ∈(Ai, hv)f⁻¹∩((Ai, hu)f⁻¹Σ). Portanto,xσ∈B. Obtemos assim

(u⁻¹v)ϕ⁻¹⊆B.

Seja agoraxσuma palavra emB, ondeσ´e uma letra. Ent˜ao,xσ∈(A_{i, h}v)f⁻¹ex∈(A_{i, h}u)f⁻¹, para algum ´ındicei entre 0 e 2k, e alguma palavra h em Γ^k. Portanto, existem palavrasy e z em A_{i, h} tais que (xσ)f =yve xf =zu.

Afirmamos que |y|=|z|. Para provar essa afirma¸c˜ao, note primeiro que, dada uma palavra wσ em (u⁻¹v)ϕ⁻¹, ondeσ ´e uma letra, a condi¸c˜ao (4.4.5) ´e equivalente a

(4.4.6) |u⁻¹v| ≤k.

Como ||zu| − |yv|| ≤ ||xf,(xσ)f||, segue de (4.4.5) que ||zu| − |yv|| ≤ k. Como u⁻¹v ´e uma palavra reduzida, (4.4.6) implica em |u| ≤k e |v| ≤ k. Portanto, ||z| − |y|| ≤ 2k. Como |z| ≡ |y|

(mod (2k+ 1)), obtemos |y|=|z|.

Agora, afirmamos que y = z. De fato, se |y| < k, ent˜ao, pela defini¸c˜ao de A_{i, h}, y e z s˜ao iguais ao sufixo de comprimento |y|deh. Sen˜ao, essas palavras podem ser fatoradas comoy=y⁰h e z = z⁰h. Se y⁰ 6= z⁰, ent˜ao ||xf,(xσ)f|| = ||z⁰hu, y⁰hv|| > |h| = k, o que contradiz (4.4.5).

Conclu´ımos ent˜ao quey=z.

Assim, (xσ)ϕ= (xf)⁻¹((xσ)f) =u⁻¹y⁻¹yv=u⁻¹v, ou seja, xσ∈(u⁻¹v)ϕ⁻¹. Obtemos ent˜ao B⊆(u⁻¹v)ϕ⁻¹.

Logo, (u⁻¹v)ϕ⁻¹ ´e um subconjunto racional de Σ^∗.

Agora, vamos construir um Σ-Γ-transdutor subseq¨uencial T que realiza f. Primeiro, vamos definir o autˆomato de entrada desse transdutor.

Como observado em (4.4.6), o comprimento de toda palavra reduzida em imϕ ´e limitado por k. Portanto, imϕ´e finito. Vamos enumerar as palavras nesse conjunto como r₁, . . . , r_n.

Conforme acabamos de demonstrar, para cada palavrar_l,r_lϕ⁻¹´e um conjunto racional. Ent˜ao, pelo Teorema de Kleene, esse conjunto ´e reconhec´ıvel. Seja A_l = (Ql, il, Tl) um Σ-autˆomato determin´ıstico completo e acess´ıvel que reconhece r_lϕ⁻¹.

SejaA= (Q, i, T) a parte bi-acess´ıvel do produtoA₁× · · · × A_n, considerando como conjunto de estados finais a uni˜ao de (i1, . . . , in) com todan-upla (q1, . . . , qn) tal que pelo menos uma das coordenadas seja um estado final. Definimos o autˆomato de entrada deT como A.

E conveniente observar as seguintes propriedades de´ A:

|A|= domf.

(4.4.7a)

T =Q.

(4.4.7b)

Para todo par de palavrasse t em Σ⁺, se is=it, ent˜ao sϕ=tϕ.

(4.4.7c)

Para toda palavra x em domf∩Σ⁺,ix6=i.

(4.4.7d)

A propriedade (4.4.7a) segue da defini¸c˜ao dos estados finais deA, e pode ser demonstrada como segue:

|A|^(1.6.4)= [

1≤l≤n

|A_l| ∪1 = domϕ∪1^(4.4.1a)= domf.

A propriedade (4.4.7b) ´e uma conseq¨uˆencia direta de (4.4.7a), e do fato de queA´e bi-acess´ıvel e f ´e fechada por prefixos.

Para provar (4.4.7c), observe que os conjuntos |A_l| s˜ao dois a dois disjuntos porque ϕ ´e uma fun¸c˜ao. Assim, em cada estado (q₁, . . . , q_n) de A, no m´aximo uma coordenada ´e um estado final.

Temos ent˜ao que, se is = it, ent˜ao essas palavras pertencem ao comportamento de um ´unico autˆomatoA_l. Portanto, sϕ=tϕ.

Para provar (4.4.7d), seja x ∈ domf ∩Σ⁺. Por (4.4.1a), x ∈ domϕ. Ent˜ao, x pertence ao comportamento de algum autˆomatoA_l. Como a palavra vazia n˜ao pertence a domϕ, tamb´em n˜ao pertence a esse comportamento. Portanto,i_lx6=i_l. Assim,ix= (i1x, . . . , inx)6= (i₁, . . . , in).

Para definir as emiss˜oes de T, precisamos do seguinte formalismo. Para toda palavra s em domf, definimos

ˆ

s=∧{(sx)f :sx∈domf}.

130 4.4. Caracteriza¸c˜ao de fun¸c˜oes seq¨uenciais e de fun¸c˜oes subseq¨uenciais

Vamos demonstrar que, dadas palavras distintas set em Σ^∗ tais queis=it, ˆ

s⁻¹(sf) = ˆt⁻¹(tf), e (4.4.8a)

ˆ

s⁻¹(sσ) = ˆˆ t⁻¹(tσ),ˆ ∀σ∈Σ tal quesσ∈domϕ.

(4.4.8b)

Primeiro, observe que, como s e t s˜ao distintas, pelo menos uma dessas palavras deve ser diferente da palavra vazia. Como is =it, segue de (4.4.7d) que ambas as palavras s˜ao diferentes da palavra vazia.

Para demonstrar (4.4.8a), sejax uma palavra em Σ^∗ tal quesx∈domϕ. Afirmamos que existe uma palavra reduziday_x⁻¹z_x no grupo livre Γ^(∗) tal que

(4.4.9) (sf)⁻¹((sx)f) = (tf)⁻¹((tx)f) =y⁻¹_x z_x. Se x= 1, isso ´e evidente.

Sen˜ao, escreva x como σ₁. . . σ_l, onde todo σ_j ´e uma letra. Como is = it, temos que, para todo ´ındice j,i(sσ1. . . σj) =i(tσ1. . . σj). De (4.4.7c) segue ent˜ao que (sσ1. . . σj)ϕ= (tσ1. . . σj)ϕ.

Assim,

((sσ₁)ϕ). . .((sσ₁. . . σ_l)ϕ) = ((tσ₁)ϕ). . .((tσ₁. . . σ_l)ϕ).

Por (4.4.2), o lado esquerdo dessa igualdade ´e igual a (sf)⁻¹((sx)f), e o lado direito igual a (tf)⁻¹((tx)f), o que prova (4.4.9).

Sejau uma palavra em Σ^∗ tal quesu∈domf e |y_u|seja m´aximo. Ent˜ao, segue de (4.4.4) que (sf)y_u⁻¹ e (tf)y⁻¹_u s˜ao as menores palavras dos conjuntos {sf ∧(sx)f : x ∈ Σ^∗ e sx ∈ domf} e {tf∧(tx)f :x∈Σ^∗ e tx∈domf}, respectivamente. Portanto,

(4.4.10) sˆ= (sf)y⁻¹_u e ˆt= (tf)y⁻¹_u . Assim, ˆs⁻¹(sf) =y_u = ˆt⁻¹(tf), o que prova (4.4.8a).

A discuss˜ao acima tamb´em ´e ´util para provar a propriedade (4.4.8b).

Sejaσ uma letra tal quesσ∈domϕ. Afirmamos que, para todoxem Σ^∗ tal quesσx∈domϕ, existe uma palavra v_x de Γ^∗ tal que

(sσx)f = ˆsvx e (tσx)f = ˆtvx.

De fato, de (4.4.10) segue que sf pode ser fatorado como ˆsy_u. Assim, (sσx)f = ˆsy_uy_σx⁻¹z_σx. Pela maximalidade de |y_u|, y_σx deve ser um sufixo de y_u. Portanto, (sσx)f pode ser fatorado como ˆ

syzσx, onde y = yuy_σx⁻¹ ´e uma palavra em Γ^∗. Da mesma forma, (tσx)f pode ser fatorado como ˆtyzσx. Podemos ent˜ao definir vx=yzσx.

Utilizando essas palavras, podemos escrever

{(sσx)f :sσx∈domf}= ˆs{v_x:sσx∈domf} e

{(tσx)f :tσx∈domf}= ˆt{v_x:sσx∈domf}.

Sejav =∧{v_x :sσx∈domf}. Claramente, ˆsσ = ˆsv e ˆtσ = ˆtv. Assim, ˆs⁻¹(sσ) = ˆˆ t⁻¹(tσ) =ˆ v, o que prova (4.4.8b).

Vamos agora completar a defini¸c˜ao de T.

Para toda palavra sem Σ^∗ tal queis6=∅, a emiss˜ao final do estado is´e (is)ρ= ˆs⁻¹(sf).

Por (4.4.8a), essa emiss˜ao est´a bem definida.

Dadas uma palavra sem Σ^∗ e uma letraσ tais que i(sσ)6=∅, a emiss˜ao do estado (is) comσ

´

e definida por

(is)∗σ = ˆs⁻¹(sσ).ˆ Por (4.4.8b), essa emiss˜ao tamb´em est´a bem definida.

A emiss˜ao inicial de T ´e

iλ= ˆ1.

Vamos demonstrar que |T |=f.

Primeiro, observe que dom|T | = |A| = domf. Seja s uma palavra nesse dom´ınio. Vamos mostrar, por indu¸c˜ao em |s|, que

(iλ)(i∗s) = ˆs.

• |s|= 0: ent˜ao (iλ)(i∗s) =iλ= ˆ1.

• |s|>0: fatore scomo tσ, ondeσ ´e uma letra. Ent˜ao,

(iλ)(i∗s) = ((iλ)(i∗t))((it)∗σ) = ˆt(ˆt⁻¹(tσ)) = ˆˆ s.

A hip´otese de indu¸c˜ao e a defini¸c˜ao de∗ foram utilizadas na segunda igualdade.

Utilizando essa propriedade, obtemos

s|T |= (iλ)(i∗s)((is)ρ) = ˆs(ˆs⁻¹(sf)) =sf, ∀ s∈Σ^∗. Portanto,|T |=f, ef ´e uma fun¸c˜ao subseq¨uencial.

Demonstra¸c˜ao do Teorema 4.4.2. Suponha quef seja uma fun¸c˜ao subseq¨uencial.

Como f⁻¹ ´e uma rela¸c˜ao racional, essa inversa preserva conjuntos racionais.

Vamos mostrar quef tem varia¸c˜ao limitada. SejaT = (Q, i, λ, ρ) um transdutor subseq¨uencial que realiza f. Denote porM o m´aximo dos comprimentos das emiss˜oes q∗σ, para todo estadoq de T e toda letra σ tal que qσ 6=∅, e por N o m´aximo dos comprimentos das emiss˜oes qρ, para todo estado finalq de T.

Sejamkum inteiro n˜ao-negativo, euevpalavras em domf tais que||u, v|| ≤k. Existem ent˜ao fatora¸c˜oesu=xu⁰ ev=xv⁰ tais que |u⁰|+|v⁰| ≤k.

Como uf = (iλ)(i∗x)(ix∗u⁰)((iu)ρ) e vf= (iλ)(i∗x)(ix∗v⁰)((iv)ρ), temos que

||uf, vf||=||(ix∗u⁰)((iu)ρ),(ix∗v⁰)((iv)ρ)|| ≤(|u⁰|+|v⁰|)M+ 2N ≤kM + 2N.

Assim, K =kM+ 2N ´e um inteiro que depende apenas de k e das constantesM e N. Portanto, f tem varia¸c˜ao limitada.

Suponha agora que a inversa f⁻¹ preserve conjuntos racionais, e quef tenha varia¸c˜ao limitada.

Vamos mostrar quef ´e uma fun¸c˜ao subseq¨uencial.

132 4.4. Caracteriza¸c˜ao de fun¸c˜oes seq¨uenciais e de fun¸c˜oes subseq¨uenciais

Pela primeira hip´otese, Γ^∗f⁻¹ = domf ´e um subconjunto racional de Σ^∗. Pelo Teorema de Kleene, esse conjunto ´e reconhec´ıvel. SejaA= (Q, i, T) um Σ-autˆomato determin´ıstico bi-acess´ıvel que reconhece domf.

Para cada estadoq desse autˆomato, fixe uma palavra x_q tal queqx_q seja um estado final. Seq for um estado final, fixe xq= 1. Seja

M = max{|x_q|:q ∈Q}.

Seja g : Σ^∗ → Γ^∗ a fun¸c˜ao definida como segue. O dom´ınio de g ´e o conjunto dos prefixos de todas as palavras de domf. Para cada palavrau nesse conjunto, defina

ug= (ux_iu)f.

Ent˜ao, g´e uma fun¸c˜ao fechada por prefixos, ef =g|domf.

Vamos mostrar que a fun¸c˜ao g tem varia¸c˜ao limitada, e queg⁻¹ preserva conjuntos racionais.

Sejakum inteiro positivo, e palavrasuevem domgtais que||u, v|| ≤k. Ent˜ao,||ux_iu, vx_iv|| ≤ k+ 2M. Como uxiu e vxiv s˜ao palavras em domf, e f tem varia¸c˜ao limitada, existe um inteiro K tal que ||(ux_iu)f, (vxiv)f|| ≤ K . Assim, ||ug, vg|| ≤ K. Como K depende apenas de k e da constanteM, conclu´ımos queg tem varia¸c˜ao limitada.

SejaA um subconjunto racional de Γ^∗. Da defini¸c˜ao de g, segue facilmente que Ag⁻¹= [

q∈Q

µ_iq∩(Af⁻¹)x_q⁻¹,

onde µiq ´e o conjunto dos r´otulos dos passeios de i a q em A. Como f⁻¹ preserva conjuntos racionais, esse conjunto ´e racional. Portanto, g⁻¹ preserva conjuntos racionais.

Como g tem varia¸c˜ao limitada, existe um inteiro k tal que, para toda palavra w e toda letra σ tal que wσ ∈ domg, ||wg, (wσ)g|| ≤ k. Assim, pelo Lema 4.4.1, g ´e subseq¨uencial. Da Pro-posi¸c˜ao 4.2.11, segue ent˜ao quef =g|domf ´e subseq¨uencial.

Uma aplica¸c˜ao interessante do Teorema de Choffrut ´e na demonstra¸c˜ao de que a composi¸c˜ao de duas fun¸c˜oes subseq¨uenciais ´e uma fun¸c˜ao subseq¨uencial.

Proposi¸c˜ao 4.4.1 Sejam Σ,Γ eΩalfabetos, ef : Σ^∗ →Γ^∗ eg: Γ^∗→Ω^∗ fun¸c˜oes subseq¨uenciais.

Ent˜ao, a composi¸c˜ao f g: Σ^∗ →Ω^∗ ´e uma fun¸c˜ao subseq¨uencial.

Demonstra¸c˜ao. Pelo Teorema 2.5.1, f g ´e uma fun¸c˜ao racional. Portanto, (f g)⁻¹ preserva con-juntos racionais.

Vamos mostrar que f gtem varia¸c˜ao limitada.

Seja k um inteiro n˜ao-negativo. Como f tem varia¸c˜ao limitada, existe um inteiro K tal que, para todo par de palavrasuev em domf tal que||u, v|| ≤k,||uf, vf|| ≤K. Comogtem varia¸c˜ao limitada, existe um inteiroLtal que, para todo par de palavrasxeyem domgtal que||x, y|| ≤K,

||xg, yg|| ≤L.

Sejam uev um par de palavras em domf gtal que||u, v|| ≤k. Ent˜ao,||uf g, vf g|| ≤L. Como k´e arbitr´ario, temos quef g tem varia¸c˜ao limitada.

Assim, pelo Teorema 4.4.2, f g´e uma fun¸c˜ao subseq¨uencial.

Corol´ario 4.4.2 Sejam Σ, Γ e Ω alfabetos, e f : Σ^∗ → Γ^∗ e g : Γ^∗ → Ω^∗ fun¸c˜oes seq¨uenciais.

Ent˜ao, a composi¸c˜ao f g: Σ^∗ →Ω^∗ ´e uma fun¸c˜ao seq¨uencial.

Demonstra¸c˜ao. Pela Proposi¸c˜ao 4.4.1,f g´e uma fun¸c˜ao subseq¨uencial. Notando quef gpreserva prefixos, segue da Proposi¸c˜ao 4.2.8 que f g´e seq¨uencial.

Outras aplica¸c˜oes desse teorema ser˜ao vistas nas se¸c˜oes seguintes.

Exemplo 4.4.1 Toda fun¸c˜ao Σ^∗ →M com dom´ınio finito ´e subseq¨uencial. N

Exemplo 4.4.2 Do Corol´ario 4.4.1, segue que toda fun¸c˜ao racional com imagem finita ´e

sub-seq¨uencial. N

Exemplo 4.4.3 Considere a fun¸c˜ao racional τ definida no Exemplo 3.1.5.

Para todo inteiro positivon,||σⁿ, σⁿ⁺¹||= 1, mas||σⁿτ, σⁿ⁺¹τ||= 2n+ 1, o que mostra que τ n˜ao tem varia¸c˜ao limitada. Portanto, essa fun¸c˜ao n˜ao ´e subseq¨uencial.

No entanto, demonstra-se facilmente que a inversa τ⁻¹ ´e uma fun¸c˜ao subseq¨uencial. N

Exemplo 4.4.4 Seja Σ ={σ}. Vamos identificar o mon´oide aditivoNcom Σ^∗. Sejaτ :N→N a fun¸c˜ao racional

σⁿτ =

(σⁿ senfor par 1 senfor ´ımpar

O gr´afico deτ ´e (σ², σ²)^∗∪(σ,1)(σ²,1)^∗. Portanto, essa fun¸c˜ao ´e racional.

Mas,τn˜ao ´e uma fun¸c˜ao subseq¨uencial porque, para todo n´umero naturalnpar,||σⁿ, σⁿ⁺¹||= 1

e ||σⁿτ, σⁿ⁺¹τ||=n. N

Exemplo 4.4.5 Considere a fun¸c˜aof definida no Exemplo 4.2.1. Conforme observado, essa fun¸c˜ao

´

e seq¨uencial `a direita.

No entanto, f n˜ao tem varia¸c˜ao limitada, pois, para todo x em Σ^∗,

||xσ, xγ||= 2 e ||(xσ)f, (xγ)f||= 2(|x|+ 1).

Portanto,f n˜ao ´e subseq¨uencial. N

Exemplo 4.4.6 Considere o transdutor letra-palavra

4 3

2

ξ/a γ/a σ/a

1

ξ/a σ/a

T : ^ξ/a

γ/a σ/b σ/a

γ/b ξ/c

134 4.4. Caracteriza¸c˜ao de fun¸c˜oes seq¨uenciais e de fun¸c˜oes subseq¨uenciais

Esse transdutor n˜ao ´e subseq¨uencial, mas realiza uma fun¸c˜ao racionalf. Vamos mostrar quef

´

e uma fun¸c˜ao subseq¨uencial.

Primeiro, observe que todas as palavras no dom´ınio de f tˆem comprimento maior ou igual a 3. Ademais, para toda palavra x = uσ₁σ₂σ₃ nesse dom´ınio, onde cada σ_i ´e uma letra, podemos escrever

xf = (ug)x⁰,

ondeg:{σ, γ, ξ} → {a, b, c}´e o morfismo muito fino gerado por σg=a, γg =b e ξg=c, e x⁰ ´e uma palavra de comprimento igual a 3.

Vamos provar que f tem varia¸c˜ao limitada. Dado um inteiro k ≥ 0, sejam x = uσ₁σ₂σ₃ e y=vγ1γ2γ3 palavras em domf, onde cadaσi e cadaγi ´e uma letra, tais que||x, y|| ≤k. Podemos tamb´em escreveryf = (vg)y⁰. Vamos considerar dois casos paraw=x∧y:

• |w|<|u|e |w|<|v|: ent˜ao

||xf, yf||=|((w⁻¹u)g)x⁰|+|((w⁻¹v)g)y⁰|=|w⁻¹u|+|x⁰|+|w⁻¹v|+|y⁰| ≤k.

• |w| ≥ |u| ou |w| ≥ |v|: suponha que |u| ≤ |v|. Ent˜ao, |w| ≥ |u|. Assim, uv. Observe que, como ||x, y|| ≤k,|u⁻¹v| ≤k necessariamente. Temos ent˜ao que

||xf, yf|| ≤ |x⁰|+|(u⁻¹v)g|+|y⁰|=|x⁰|+|u⁻¹v|+|y⁰| ≤k+ 6.

O caso |v|<|u|´e an´alogo.

Portanto,f tem varia¸c˜ao limitada. Utilizando o Corol´ario 4.4.1, conclu´ımos quef ´e uma fun¸c˜ao

subseq¨uencial. N

Exemplo 4.4.7 O objetivo deste exemplo ´e mostrar que a varia¸c˜ao limitada ´e essencial na ca-racteriza¸c˜ao das fun¸c˜oes subseq¨uenciais, e que a condi¸c˜ao iii do Teorema 4.4.1 ´e essencial na caracteriza¸c˜ao das fun¸c˜oes seq¨uenciais. O resto da divis˜ao de um inteiro a por um inteiro b ser´a denotado por amodb, e o mon´oide N com a opera¸c˜ao de adi¸c˜ao ser´a identificado com o mon´oide livre gerado por uma ´unica letraσ.

Conforme discutido no Exemplo 2.2.3, a fun¸c˜ao τ : N → N que associa cada n´umero natural ao seu quadrado n˜ao ´e racional. Ademais, essa fun¸c˜ao n˜ao tem varia¸c˜ao limitada, nem satisfaz a condi¸c˜ao iii do Teorema 4.4.1.

Claramente,τ preserva prefixos. Vamos mostrar que a inversaτ⁻¹ preserva conjuntos reconhe-c´ıveis. Pelo Teorema de Kleene, esse fato implica que τ⁻¹ preserva conjuntos racionais.

Primeiro, recordamos a propriedade simples de que todo subconjunto reconhec´ıvel de N´e uma uni˜ao finita de progress˜oes aritm´eticas. Uma demonstra¸c˜ao desse fato pode ser vista no livro de Eilenberg [Eil74]. Assim, ´e suficiente mostrar que a imagem inversa de uma progress˜ao aritm´etica por τ ´e uma uni˜ao finita de progress˜oes aritm´eticas.

SejaA={a+rk :k≥0}uma progress˜ao aritm´etica, ondeaer s˜ao n´umeros naturais. O caso em que r= 0 ´e trivial, portanto vamos supor que r >0.

Seja X o subconjunto de {0, . . . , r −1} definido como segue. Um inteiro i est´a em X se, e somente se, existe um inteiro positivo m tal que m² ∈A, e m≡i (modr). Denotamos por mi o menorm com essa propriedade.

Afirmamos que

Aτ⁻¹ = [

i∈X

{m_i+rk:k≥0}.

Sejam x um inteiro em Aτ⁻¹, e i= xmodr. Ent˜ao, i∈ X. Comomimodr =i, temos que (x−m_i) modr= 0, ou seja, existe um inteiro k tal quex=m_i+rk. Obtemos assim

Aτ⁻¹ ⊆ [

i∈X

{m_i+rk:k≥0}.

Seja agora x um inteiro da forma m_i+rk, para algum i em X e algum inteiro k ≥0. Como x² = m_i² + 2m_irk +r²k², temos que x² ≡ m_i² (modr), ou seja, existe um inteiro p tal que x²−mi2 =pr.

Como m_i² ∈ A, existe um inteiro l tal que m_i² = a+rl. Portanto, x² =a+r(p+l), o que mostra quex² ∈A. Obtemos ent˜ao

[

i∈X

{m_i+rk:k≥0} ⊆Aτ⁻¹.

Assim, τ ´e uma fun¸c˜ao que n˜ao ´e racional, mas satisfaz as condi¸c˜oes ieii do Teorema 4.4.1, e

a condi¸c˜ao ido Teorema 4.4.2. N

No documento Propriedades de algumas classes de rela¸c˜oes racionais (páginas 139-149)