Carl Friedrich Gauss (1777 1855)

Figura 1.21: Carl Friedrich Gauss.

Famoso matem´atico de sua ´epoca, era um gˆenio desde crian¸ca, dizem que sem ajuda de nenhum tipo Gauss aprendeu a calcular antes de falar.

Mostrou-se um gˆenio prod´ıgio quando seu professor propˆos a classe para encontrar a

soma dos cem primeiros n´umeros 1+2+3+· · ·+99+100. Gauss somou instantaneamente

que eram 50 conjuntos de mesma soma 101. Tinha por volta de dez anos e seu professor o estimulou com livros de aritm´etica para que prosseguisse em sua aprendizagem.

Duas passagens de sua vida, ainda estudante, se liga aos demais futuros descobri- dores de uma geometria n˜ao euclidiana.

A primeira passagem foi que, coincidentemente, J. Martin Bartels, um professor que o ajudara, foi, anos mais tarde, professor de Lobachevsky.

A segunda passagem foi a de que, ainda na universidade, teve um grande amigo, Farkas Bolyai, pai de Janos Bolyai, com quem manteve correspondˆencia durante muitos anos.

Gauss produziu muito para a matem´atica e foi importante no meio acadˆemico por essas contribui¸c˜oes. Na virada do s´eculo foi figura dominante no mundo acadˆemico.

Ainda aos quinze anos tomou conhecimento do problema das paralelas. Sobre o Quinto Postulado e a geometria n˜ao euclidiana, muito pouco foi publicado durante sua vida. Tinha o h´abito de escrever para amigos e matem´aticos, ao inv´es de publicar. Hoje pelas suas cartas verificamos que ele foi provavelmente o primeiro a entender claramente a possibilidade de uma geometria l´ogica e consistente, diferente da de Euclides. Foi o primeiro a chamar a nova geometria de n˜ao euclidiana. Suas correspondˆencias mostram tamb´em o progresso que ele fez no estudo das paralelas.

Ele trabalhou no Problema das Paralelas por duas d´ecadas, at´e se convencer de que o axioma das paralelas era independente dos outros quatro. Gauss, primeiramente seguindo os passos de Saccheri e Lambert, ainda tentou provar o Quinto Postulado por redu¸c˜ao ao absurdo, mas logo verificou essa impossibilidade.

Ele verificou que ap´os muito estudo, como relata em cartas, que a suposi¸c˜ao de que a soma dos 3 ˆangulos de um triˆangulo ´e inferior a 180o leva a uma geometria curiosa, diferente da nossa Geometria Euclidiana, mas completamente consistente. Diz tamb´em que os teoremas dessa nova geometria parecem ser paradoxais e, para os n˜ao iniciados, um absurdo, mas, com calma e reflex˜ao, revelam que n˜ao contˆem nada de imposs´ıvel.

Em carta ele cita que se esfor¸cou muito para descobrir uma contradi¸c˜ao, uma in- coerˆencia, todas sem sucesso.

Gauss evitou tornar p´ublico, mantendo em segredo suas descobertas e seus trabalhos sobre a nova geometria, por receio e porque tinha uma reputa¸c˜ao a defender. O receio se referia a temer opor-se `a filosofia de Kant, adotada e considerada como dogma pela poderosa igreja. O dom´ınio da igreja era soberano e exercia grande press˜ao aos que possuiam algum tipo de conhecimento.

Uma de suas contribui¸c˜oes ´e a prova de que a diferen¸ca entre dois ˆangulos retos e a soma dos ˆangulos internos de um triˆangulo tra¸cado sobre uma superf´ıcie de curvatura (gaussiana) constante e negativa ´e proporcional `a ´area do triˆangulo. Esse trabalho coincidia com o trabalho de Lambert e indicava a existˆencia de uma geometria onde n˜ao era v´alido o postulado das paralelas.

1.3.2

Johann (Janos) Bolyai (1802 - 1860)

Figura 1.22: Johann (Janos) Bolyai.

O pai de Janos Bolyai, Wolfgang(Farkas) Bolyai era um dos mais importantes amigos

de Gauss desde o tempo de universidade. Gauss trocava correspondˆencia com Wolf-

gang sobre o assunto Teoria das Paralelas. Wolfgang passou grande parte de sua vida tentando demonstrar o postulado das paralelas e, por duas vezes, mostrou seu trabalho para Gauss acreditando ter encontrado a prova do Quinto Postulado. Na primeira vez Gauss mostrou seu erro e da segunda nem respondeu.

Wolfgang era muito talentoso e durante duas d´ecadas, al´em de seus afazeres como professor, poeta, m´usico e inventor, conseguiu colocar suas ideias em um livro, de dois volumes, chamado Tentamen.

Seu filho Johann foi educado para servir ao ex´ercito. Chegou a ser oficial do corpo de engenheiros militares do ex´ercito h´ungaro. Estudou matem´atica com o pai e foi natural que tenha tamb´em se preocupado com o estudo da teoria das paralelas. Mesmo seu pai o aconselhando a desistir de tal estudo, Janos continuou trabalhando e em 1829 chegou `a mesma conclus˜ao que chegara Lobachevsky alguns anos antes.

Negando o Quinto Postulado, havia duas possibilidades:

I. Existe mais de uma reta paralela a uma reta dada passando por um ponto n˜ao

pertencente `a essa reta.

II. N˜ao existe qualquer reta paralela a uma reta dada passando por um ponto fora desta reta.

Como a existˆencia das paralelas ´e uma consequˆencia dos quatro primeiros postulados (Proposi¸c˜ao 27 de Euclides), Janos seguiu com a Hip´otese I.

Ele observou que se existem duas retas cumprindo a Hip´otese I, ent˜ao existem infinitas retas. Os resultados que seguem dessa observa¸c˜ao constituem o cerne dessa

nova geometria. Ao suprimir o Quinto Postulado do sistema axiom´atico, ele provou

um conjunto de teoremas que hoje formam a Geometria Absoluta (objeto de nosso estudo no Cap´ıtulo 2). Os resultados da Geometria Absoluta s˜ao comuns a ambas as geometrias (Euclidiana e Hiperb´olica).

O pai de Janos sugeriu que os estudos do filho fossem publicados como um apˆendice de seu Tentamen. Assim, Janos publicou seus descobrimentos em vinte e seis p´aginas do livro de seu pai.

Seu pai enviou uma c´opia do livro para o amigo Gauss. A vaidade e a surpresa

de Gauss provocou um arrasador coment´ario. Este coment´ario, enviado por carta,

desapontou Janos ao descobrir que outro tinha feito as mesmas descobertas antes dele. Janos nada mais publicou, por´em, continuou a trabalhar e deixou escritas mais de vinte mil p´aginas de manuscritos matem´aticos.

Janos soube do trabalho de Lobachevsky somente em 1848. Esse trabalho com as conclus˜oes da nova geometria havia sido publicado em 1829, dois ou trˆes anos antes do aparecimento na imprensa do Tentamen. Dessa vez n˜ao teve uma recep¸c˜ao negativa, como ocorrera com Gauss.