2 TEORIA DAS PLACAS E DAS GRELHAS
3.4 CARREGAMENTO
As cargas atuantes na laje provenientes do peso-próprio, revestimentos, paredes divisórias, carga acidentais e outras que possam estar atuando na estrutura, atuam perpendicularmente ao plano XY e podem ser representadas de duas maneiras: como cargas distribuídas ao longo das barras e como cargas concentradas nos nós. Para ambos os casos a carga deve ser calculada através da área de influência do elemento (barra ou nó) como mostra a Figura 3.2. Em todos os exemplos mostrados adiante foram consideradas cargas distribuídas ao longo da barra.
Figura 3.2 – Carregamento nos nós – carga nodal P – e carregamento nas barras – carga uniformemente distribuída q
Mestranda: Juliana Sá Brito Stramandinoli Orientador: Daniel Domingues Loriggio
4 MODELAGEM DE LAJES MACIÇAS
Com o intuito de obter-se uma maior clareza com relação a analogia de grelha para lajes nervuradas, foi feito um estudo prévio da analogia de grelha para lajes maciças, enfocando a parte que diz respeito a rigidez à torção, que é um dos pontos mais importantes na análise das lajes nervuradas.
Conforme observou COELHO (2000), a rigidez à torção da placa diminui significativamente para grelhas com barras pouco espaçadas. Isto ocorre porque a rigidez à torção é proporcional ao cubo da menor dimensão da seção transversal da faixa. Quando o espaçamento das barras passa a ser menor que a espessura da laje, a menor dimensão passa a ser a largura da faixa. Desta forma a rigidez à torção passa a ser muito influenciada pelo espaçamento das barras da grelha utilizada, e portanto, a utilização da equação 3.4 para o cálculo da rigidez à torção não fornece resultados adequados. Uma alternativa utilizada por COELHO (2000) foi adotar uma inércia à torção proporcional à inércia à flexão. Essa idéia já havia sido proposta por MONTOYA (1973) e também por HAMBLY (1976) que sugeriram que se utilize a inércia à torção da barra da grelha equivalente ao dobro de sua inércia à flexão. (J =2I)
HAMBLY (1976) demonstrou porque deve-se utilizar a rigidez `a torção como o dobro da rigidez à flexão. Como a distribuição da tensão de cisalhamento em um elemento de placa é uniforme e varia linearmente a partir da linha média da placa, conforme é mostrado na Figura 4.1, pode-se escrever:
Figura 4.1- Distribuição de tensões devido à torção, HAMBLY (1976)
(
)
∂ ∂ ∂ + = − = y x w E i M z xy xy 2 1 ν τ (4.1)Mestranda: Juliana Sá Brito Stramandinoli Orientador: Daniel Domingues Loriggio
onde 12
3
h
=
i → momento de inércia da laje por unidade de largura. Portanto:
(
+)
∂∂∂ =− ∂∂∂ − = y x w h G y x w h E Mxy 2 3 2 3 6 12 1 ν (4.2) visto que ) 1 ( 2 +ν = E G (4.3) Pode-se considerar portanto que :6
3
h
J = por unidade de largura (4.4) Sabe-se que para vigas de seção retangular, em que b>5h, a inércia à torção pode ser escrita de forma simplificada (partindo da equação 3.4) como:
3
3
h b
J = (4.5) Portanto, pode-se perceber que a equação 4.4 de inércia à torção de uma laje por unidade de largura é igual à metade do valor da equação 4.5 de uma viga.
Esta diferença é uma conseqüência de diferentes definições de torção. Se a laje mostrada na Figura 4.2 for analisada como uma viga, o momento torsor é definido como a soma da torção causada pelo fluxo de cisalhamento horizontal distribuído na face superior e inferior, mais a torção causada pelo fluxo de cisalhamento vertical aplicado nas faces laterais.
Figura 4.2- Torção em uma laje como se fosse viga, HAMBLY (1976)
Entretanto se essa laje delgada é analisada como laje, o momento torsor é definido como provocado somente pelo fluxo de cisalhamento horizontal
xy
M
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distribuído nas faces superior e inferior, conforme a Figura 4.1. O fluxo de cisalhamento vertical distribuído nas faces laterais representa valores elevados do esforço cortante e são responsáveis por metade da torção total e estão associados ao momento torsor através da equação 2.7. Apesar dessas duas definições de torção serem diferentes, elas são equivalentes: enquanto a laje tem metade da rigidez à torção da viga , a qual se dá devido à torção em torno do eixo longitudinal, a outra metade da rigidez à torção é atribuída à torção transversal da laje, a qual não é considerada na análise de vigas.
x
Q
xy
M
Como a inércia à flexão é dada por : 12
3
h b
I = (4.6) Quando compara-se a equação 4.4 e a equação 4.6, pode-se perceber, conseqüentemente, que:
I
J = 2 (4.7) A equação 4.7 mostra que ao se discretizar uma laje maciça como uma grelha de vigas equivalente , deve-se utilizar portanto, segundo HAMBLY (1976), a inércia à torção dessas vigas como o dobro de sua inércia à flexão. COELHO (2000) estudou outras relações além da mostrada na equação 4.7. Essas outras relações foram : =1 ; =2,5; =3 e =4, concluindo que uma relação entre 2 e 2,5 apresenta resultados para os esforços e deslocamentos que diferem muito pouco dos obtidos pela teoria da elasticidade. I J / I / J J /I J /I I J / J /I
Alguns dos exemplos contidos aqui são os mesmos encontrados em COELHO (2000), com algumas modificações nos parâmetros envolvidos, entretanto neste trabalho foram estudados mais casos de lajes maciças.
Em todos os exemplos mostrados a seguir onde as lajes foram consideradas apoiadas, o apoio foi considerado livre para rotação segundo o eixo perpendicular às barras da grelha que chegam nesse apoio, porém com a rotação ao redor do eixo dessas barras impedida.
Para todas as lajes estudadas, as malhas foram sempre dispostas de forma que exista um nó exatamente no meio da laje. Isto é importante para que se possa obter sempre os valores máximos de momentos e flechas e para fazer a comparação com os resultados obtidos pela teoria da elasticidade.
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Em alguns casos as barras das extremidades não são iguais às centrais e portanto as cargas nessas barras serão diferentes. Nos exemplos mostrados adiante cada barra vai receber a carga de acordo com sua área de influência, portanto as barras de tamanhos diferentes (barras das extremidades), receberão cargas diferentes.