Caso n˜ ao magnetizado

Agora finalmente apresentaremos os resultados das frequˆencias por n´os obtidos, iniciemos com a apresenta¸c˜ao das frequˆencias para o caso n˜ao magnetizado, como estamos lidando com v´arias equa¸c˜oes de estado com estrelas de massas diferentes, as estrelas ser˜ao identificadas pelo nome da equa¸c˜ao de estado com o sub´ındice indicando a massa da estrela. As frequˆencias, em Hz, est˜ao listadas nas tabelas (6.3) e (6.4). Identificamos as frequˆencias relativas aos SGR destacando n´umeros em negrito para aqueles que concordam com as frequˆencias detectadas de 18, 26, 29, 92.5, 150, 625.5 e 1837 para SGR 1806-20 [6], it´alico para aqueles que concordam com a frequˆencia de 43.5 para SGR 0526-66 [6] e sublinhado para as frequˆencias de 28, 54, 84 e 155 para SGR 1900+14 [6]. Aqui focaremos nos resultados obtidos com a equa¸c˜ao de estado Akmalp pois esta tamb´em foi utilizada por Sotani e Kokkotas, [6], comparando as diferen¸cas obtidas com aquelas dadas pelos autores. Os resultados para as demais equa¸c˜oes de estado est˜ao dispon´ıveis no Apˆendice A.

Como mencionado no cap´ıtulo 3, n´os complementamos nossas equa¸c˜oes de es- tado colocando nelas uma equa¸c˜ao de estado espec´ıfica para a crosta da estrela descrita em Haensel et. al. (2001) [41], esta crosta constitui de uma estrutura cristalina onde os n´ucleos constituem a mat´eria interagente e os el´etrons formam um g´as de Fermi, seme- lhante ao caso de um metal. A principal influˆencia da crosta esta em nossos c´alculos est´a em seu modo de cisalhamento, uma vez que as regi˜oes de grande densidade se encontram no n´ucleo estelar.

An´alises mais recentes encontraram novas frequˆencias nos resultados obtidos de SGR 1806-20 atrav´es da an´alises perturbativas, estas novas frequˆencias s˜ao de 17, 22, 37, 56 e 112 [69]. Todas as frequˆencias est˜ao resumidas na tabela (6.1). Os campos magn´eticos estimados est˜ao dispon´ıveis na tabela (6.2).

SGR 1806-20 17 18 22 26 29 37 56 92.5 112 150 625.5 1837

SGR 1900+14 28 54 84 155 - - - -

SGR 0526-66 43.5 - - - -

SGR 1806-20 2.0 · 1015_G SGR 1900+14 7.0 · 1014_G SGR 0526-66 5.6 · 1014_G

Tabela 6.2 – Estimativas dos campos magn´eticos em Gauss [7].

Estrela l = 2 l = 3 l = 4 l = 5 l = 6 l = 7 l = 8 l = 9 l = 10 l = 11 Akmalp1.4 26.55 41.96 56.31 70.22 83.92 97.47 110.95 124.36 137.72 152.31 Akmalp1.6 25.20 39.84 53.45 66.65 79.65 92.53 105.33 118.07 130.78 144.61 Akmalp1.8 23.90 37.79 50.70 63.22 75.56 87.78 99.93 112.02 124.08 137.19 Akmalp2.0 22.67 35.85 48.09 59.98 71.69 83.29 94.82 106.30 117.75 130.19 Akmalp2.2 21.44 33.90 45.48 56.72 67.79 78.77 89.68 100.54 111.38 123.15

Tabela 6.3 – Frequˆencias obtidas (Hz) no modo fundamental, n=0, para a equa¸c˜ao de estado Akmalp.

Uma breve compila¸c˜ao dos resultados das frequˆencias e de sua associa¸c˜ao com os modos de oscila¸c˜ao usando uma estrela de nˆeutrons de massa 1.4M para as oito equa¸c˜oes de estado encontra-se na tabela (6.5) para o SGR 1806-20 e na tabela (6.6) para o SGR 1900+14 junto com a inclus˜ao da an´alise feita pelos autores Anna L. Watts e Tod E. Strohmayer, em seu artigo Neutron star oscillations and QPOs during magnetar flares, ASR Vol40, 2007 [70], onde os autores revisam as frequˆencias medidas nestes dois SGR e tentam ajust´a-las ao modelo de uma estrela de nˆeutrons gen´erica sem estrutura¸c˜ao.

Vemos que nossos modelos para o SGR 1806-20 conseguem ajustar as frequˆencias mais baixas, algo que os autores do artigo supra citado n˜ao conseguem. A frequˆencia mediana de 92.5Hz foi classificada como o momento l = 8 por nossos modelos mas foi classificada como l = 6 pelos autores supra citados, esta discrepˆancia ´e devido aos dife- rentes modelos estelares por n´os utilizados. Em compensa¸c˜ao a alta frequˆencia de 150Hz recebeu uma classifica¸c˜ao pr´oxima pois as frequˆencias para os modos mais altos tendem a um valor comum que varia pouco.

Os resultados para o SGR 1900+14 s˜ao os mesmos para as altas frequˆencias, devido `a convergˆencia das frequˆencias para os modos superiores, em compensa¸c˜ao nossos modelos n˜ao foram capazes de ajustar as baixas frequˆencias.

Estrela l = 2 l = 3 l = 4 l = 5 l = 6 l = 7 l = 8 l = 9 l = 10 Akmalp1.4 881.46 882.56 884.02 885.82 887.95 890.38 893.11 896.12 899.38 Akmalp1.6 1000.58 1001.45 1002.59 1004.00 1005.64 1007.63 1009.82 1012.25 1014.89 Akmalp1.8 1133.95 1134.63 1135.53 1136.65 1137.99 1139.53 1141.28 1143.22 1145.36 Akmalp2.0 1305.30 1305.83 1306.52 1307.39 1308.43 1309.63 1310.99 1312.52 1314.19 Akmalp2.2 1683.86 1684.21 1684.69 1685.28 1685.99 1686.81 1687.75 1688.80 1689.96

SGR 1806-20 22 26 37 56 92.5 112 150 Akmalp - l=2 - l=4 - l=8 l=11 BBB2 - l=2 - l=4 - l=8 l=11 Glendnh - - l=3 - - - - H4 - - l=3 - - - - LS220 - - - - MS1 - - - - l=8 - - SHT l=2 - - - l=8 - - Sly l=2 - - l=4 - - l=11 WaSt - - - - l=6 - l=10

Tabela 6.5 – Frequˆencias modos l que se ajustam aos resultados do SGR 1806-20.

SGR 1900+14 28 54 84 155 Akmalp - - l=6 l=11 BBB2 - - l=6 l=11 Glendnh - - l=7 - H4 - - - - LS220 - - l=7 - MS1 - - l=7 - SHT - - - - Sly - - l=6 - WaSt l=2 l=4 l=6 l=11

SGR 0526-66 43.5

MS1 l=4

SHT l=4

Tabela 6.7 – Frequˆencias modos l que se ajustam aos resultados do SGR 0526-66.

As frequˆencias para o SGR 0526-66 s˜ao expostas na tabela (6.7), nossos mo- delos para as estrelas de massa 1.4M n˜ao foram capazes de ajustar a ´unica frequˆencia detectada para este SGR, mas duas estrelas de massa 1.8M conseguiram efetuar este ajuste. A falta de frequˆencias para este SGR ocorre pelo fato deste ter sido o primeiro SGR detectado, quando os detectores n˜ao eram adequados para detec¸c˜oes precisas, por isso este SGR carece de dados precisos para ajuste.

Para melhor compreens˜ao dos resultados e da dependˆencia da frequˆencia em rela¸c˜ao a l apresentamos um gr´afico para a equa¸c˜ao de estado Akmalp para o modo fundamental na imagem (6.1). Vemos que em todos os casos para uma dada massa a frequˆencia de oscila¸c˜ao da crosta aumenta linearmente com l, o coeficiente angular ´e ´unico para cada massa, assim a detec¸c˜ao e an´alise de futuras frequˆencias pode nos informar a massa e a equa¸c˜ao de estado da estrela de nˆeutrons que gerou o sinal. Vemos tamb´em que massas menores apresentam frequˆencias maiores em compara¸c˜ao as massas maiores, e que al´em disso a dependˆencia da frequˆencia em rela¸c˜ao ao modo l ´e mais acentuada para as estrelas menos massivas. Isto ocorre pois estrelas menos massivas possuem crostas mais grossas e sujeitas a uma menor atra¸c˜ao gravitacional, se comparadas as estrelas mais massivas. Portanto estas crostas s˜ao mais sens´ıveis a serem excitadas por oscila¸c˜oes, e por serem mais grossas a frequˆencia de oscila¸c˜ao tamb´em ´e maior. Vemos que alguns modos de oscila¸c˜ao l conseguem resolver as frequˆencias medidas para os SGR dentro de uma margem de erro de 2%, isso contribui para a interpreta¸c˜ao de que estes sinais mais baixos sejam os modos fundamental de oscila¸c˜ao [6], ao contrario do que foi obtido no trabalho de Watts e Strohmayer [66] onde estas frequˆencias s˜ao relacionadas ao modos n=1 e n=3 respectivamente, mas lembramos que neste trabalho os autores n˜ao utilizam de uma estrela realista.

N˜ao ´e necess´ario expor as frequˆencias da tabela (6.4) em uma imagem pois ve- mos na tabela que a diferen¸ca percentual m´axima entre as frequˆencias para uma mesma massa ´e de aproximadamente 2%, esta pequena diferen¸ca impede a resolu¸c˜ao do sinal que contenha uma frequˆencia associada a um modo l, assim vemos que de forma robusta a frequˆencia associada ao primeiro modo excitado ´e a mesma para todos os modos l. Ne- nhuma das frequˆencias foi capaz de resolver as frequˆencias maiores de 625.5Hz e 1837Hz para SGR 1806-20, isso pode ser um indicativo de que estas frequˆencias possam ter origem em outro mecanismo f´ısico [6].

Necessitamos informar que o modo l = 11 na tabela (6.3) foi obtido utilizando as lineariza¸c˜oes obtidas na imagem (6.3) enquanto que os outros modos foram obtidos diretamente da resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes diferenciais.

Para valida¸c˜ao dos resultados obtidos comparamos as frequˆencias por n´os ob- tidas com aquelas obtidas de Sotani e Kokkotas [6], como pode ser vista na tabela (6.7) onde apresentamos as frequˆencias dos autores e a diferen¸ca percentual entre nossos re- sultados. Para esta an´alise utilizamos da equa¸c˜ao de estado que os autores denominam como A [71], esta equa¸c˜ao de estado nos foi disponibilizada pelos autores, mas atualmente foi descartada como uma equa¸c˜ao de estado realista pois n˜ao foi capaz de produzir uma estrela de nˆeutrons com duas massas solares.

Figura 6.1 – As frequˆencias para a equa¸c˜ao de estado Akmalp.

Vemos que as estrelas menos massivas apresentam uma dependˆencia maior da frequˆencia em fun¸c˜ao do modo l, e vemos que as frequˆencias s˜ao linearmente dependentes do modo l.

Podemos ver que a diferen¸ca percentual entre nossos resultados e aqueles dados por Sotani e Kokkotas [6] s˜ao menores que 3%, o que valida nossos resultados e nosso m´etodo de resolu¸c˜ao num´erico para obter as frequˆencias de oscila¸c˜ao. A convergˆencia de nosso m´etodo de resolu¸c˜ao num´erico foi confirmada ao compararmos os resultados por n´os obtidos para a mesma estrela de massa 1.4Mquando dobramos ou triplicamos os pontos de integra¸c˜ao num´erica e obtemos diferen¸cas menores que 1%, como pode ser conferido na tabela (6.8). Esta diferen¸ca mant´em-se para o caso magnetizado e mostra a validade de nosso m´etodo de resolu¸c˜ao num´erico.

l f (Hz)Ref [6]_1.4M  f (Hz)1.4M  ∆f (%) f (Hz) Ref [6] 1.6M  f (Hz)1.6M  ∆f (%) 2 28.50 29.21 2.431 27.20 27.93 2.614 3 45.10 46.20 2.381 43.00 44.19 2.693 4 60.50 61.96 2.356 57.70 59.29 2.682 5 75.40 77.32 2.483 72.00 73.94 2.624 6 90.10 92.36 2.447 86.00 88.37 2.682 7 104.70 107.33 2.450 99.90 102.67 2.698 8 119.20 122.18 2.439 113.80 117.89 3.469 9 133.70 136.96 2.380 127.60 131.04 2.625 10 148.10 151.70 2.373 141.30 145.16 2.659

Tabela 6.8 – Frequˆencias dadas por Sotani e Kokkotas [6] e a diferen¸ca percentual entre nossos resultados e aqueles dos autores para o caso n˜ao magnetizado utilizando a equa¸c˜ao de estado denominada como A. l n 2n 3n ∆2n(%) ∆3n(%) 2 26.55 26.54 26.56 -0.035 0.060 3 41.96 41.99 42.00 0.085 0.100 4 56.31 56.34 56.34 0.045 0.060 5 70.22 70.25 70.26 0.041 0.058 6 83.92 83.94 83.96 0.030 0.046 7 97.47 97.51 97.53 0.042 0.058 8 110.95 110.99 111.00 0.037 0.052 9 124.36 124.41 124.43 0.038 0.054 10 137.72 137.78 137.80 0.042 0.057

Tabela 6.9 – Compara¸c˜ao das frequˆencias dobramos e triplicamos o n´umero de pontos de integra¸c˜ao, n = 10.000, vemos que a diferen¸ca ´e menor que 1%.