Caso II: w é uma palavra ciclicamente reduzida

Escrevemos u na forma u = ru'r onde v! é uma palavra ciclicamente reduzida e r poderá ser a palavra vazia. A igualdade em G é representada em M pela igualdade

f(u')ar = v^w1 (2.8)

onde as palavras de ambos os membros são palavras reduzidas e u',v e w são palavras primitivas. Vamos mostrar que r = e e u' = v = w. Para reduzirmos ao Caso I basta mostrar que r = e.

Se |u;7| < \r\, então r = sw1 para algum s. Após cancelarmos o factor w1 de cada

membro, obtemos vPs(u')as = v0. Esta igualdade reduz-se ao Caso I e é verdadeira

se e só se w — v, o que contradiz a hipótese de iriu7 ser uma palavra reduzida. Logo,

podemos assumir que \r\ < \w^\ e, por simetria, que \r\ < \v^\. Segue, pelo Lema 1.6, que

r = v^Vi = w2w72,

(u')aiui = v2ví3\ (2.9)

w^Wl = u2(u')a2

com v! = Uiu2, v = viv2, w = Wiw2, ai+a2 + l = a, /5i+/32 + l = (3 e 71+72 + I = 7.

Deste sistema podemos obter os dois seguintes:

(2.10)

r'

= (u')aiui ₌ V2(Vi V2f2 WllWi =

u

2

(u'Y\

(vT V2)PlVÏ = W2W12 vP2w2 — Vi v131, {vJ)a2W2 = wlüF\ (2.11) v$2W2 = üí(v/)ai.

Portanto, a hipótese nos seis expoentes de que existem um elemento r e factorizações das palavras primitivas u', v e w que satisfazem o sistema (2.9) é simétrica à per- mutação cíclica dos pares (ai,a2), (Pi,32) e (71,72) que nos conduz ao sistema (2.10)

e também à troca do par (fii,fi2) com (71,72) seguida da inversão dos três pares que

nos conduz ao sistema (2.11).

Usando esta simetria reduzimos a discussão de (2.9) aos três casos:

Caso A: Uma das equações tem os expoentes nulos; Caso B: a:i,/?i,7i > 0 ou a2, 32, 72 > 0;

Caso C: Aqui tratamos o caso que resta. Evitando o Caso B, assumimos que Pi = 0. Como Pi + fl2 + 1 > 2, temos ft / O . Para evitarmos o Caso A, assumimos

que 72 ^ 0. Podemos assumir que a2 = 0 para excluirmos o Caso B e, como

Q'i + tt2 + 1 > 2, temos a1 ^ 0. Finalmente fazemos 71 / 0 para evitar o Caso

A. Obtemos Pi — a2 = 0 e «i, /32,7i, 72 > 0.

Estudemos então estes três casos:

Caso A: Suponhamos que os dois expoentes da primeira equação do sistema (2.9) são nulos. Obtemos a equação r = v{ = w2. Então temos v = fv2 ew — Wir e substituindo

na equação (2.8) e cancelando o primeiro f e o último r obtemos a equação

(u')Q = (v2ff-1v2wi(rwiy~1. (2.12)

Se \(v2f)l3~1v2\ > \v2r\ + \u'\, segue do Corolário 1.13 que u' = v2f visto que vi e i>2r,

que é uma palavra conjugada de v, são palavras primitivas. Como fu'r é uma palavra reduzida, então r = e.

Assumimos agora que

\(v2ff-2v2\ < \u'\.

Se Kv^)13'1] = \u'\, então temos u' = (v2f)d~l e, como fu'r é uma palavra reduzida,

r = e. Assumimos então que u' ^ (f2f)/3_1. Vamos mostrar que a desigualdade \u'\ < \{y21fY~1\ é impossível. Esta desigualdade faz com que o primeiro factor u'

de (2.12) tenha prefixo v2 e o segundo tenha prefixo r2v2 para alguma factorização r = rxr2 com ri,r2 ^ e pois \{v2r)P~2v2\ < \u'\ < |(v^f)13'1 \. Pelo Lema 1.7, como v2 • • • = r2v2, temos v2 = (pq)kp como factor de uma potência de r2 = pq. Assim,

existe um conjugado u" de u' tal que

(u"Y = (fv2f-lwi{rwiy-lv2.

Pelo Lema 1.21 resulta que existem s, t G M tais que «" = fsrí e, como

\u"\ = \u'\<\(v2f)^i\ = \(fv2y-i\,

concluímos, pelo Lema 1.18, que r é factor de v2. Mais ainda, como f^ é factor de r = T2 77, r é factor de i'2 e u2 é factor de uma potência de r2, temos que fj é factor de

uma potência de r2 que, pelo Corolário 1.20, contradiz a hipótese de r2 ^ e. Assim,

podemos, por simetria, assumir que

l^ff-'l < \u'\ e Krwi)7"1! < \u'\. (2.13)

Resulta que (u')a~2 é factor de v2wx. Por (2.13) temos que |i>2|, |u»i| < \u'\ e portanto

l'^wil < 2\u'\. Segue que a — 2 < 2, ou seja, a = 2 ou a = 3. Se a = 2, supomos, por simetria, que

Resulta que (f2r)a_1t»2 = U\U2Ui e u2 = iüi(riüi)7_1 com v! = Uiu2. Logo, (t^r)'3 = UiWi(rwi)1~1Uif e (v/)/3 = (uiT)1UiWi(rwi)'y~1 onde ?/ é uma palavra conjugada de v (visto que v e v2f são palavras conjugadas). Como esta equação é da forma (2.12)

com \v'\ = \v2r\ < \u'\, concluímos, por indução sobre \u'\, que r = e.

Se a = 3, então (3 e 7 não podem ser ambos superiores a 2 senão, por (2.13), teríamos 2|-u2|,2|u>1| < \u'\ e, como (u')a~2 = u' é factor de v2Wi, obteríamos

\v2\ + \wl\ < |w'| < |f2^l|-

Por simetria, suponhamos que (3 = 2. De (2.12) obtemos (ti')3 = V2fV2Wi(rWiy~l.

Resulta que existem factorizações v2 = V3V4 e w 1 = tí^u^ com 1*3, W4 7^ e tais que

w' = V2fV3 = V4W3 = 1Ü4(rU>i)7 _ .

Como t'2 = V3V4 e U4 são prefixos de v!, segue do Lema 1.7 que t>3 = pg e u4 = (pq)kp

para alguns p, g 6 M e k > 0. Assim, î^fi^ = i ^ r t ^ = f4w3 implica que w3 = qpfpq

e V4W3 = w^rwi)1'1 implica que W3V4W3 = Wi(rwip~l e portanto

Í Í ' I ( ™ I )7 _ 1 = qpf(pq)k+2pfpq.

Como |IÜI| > \ws\ = \qpfpq\, existe h > 1 e uma factorização pq = t\t2 com t\ 7^ e tais

que a primeira ocorrência de W\ na expressão «^(ruii)7 - 1 tem a forma toi = qpf(pq)hti.

Assim, M2Í1 e rpg são sufixos de W\. Como |í2ti| = \pq\, resulta que, se r ^ e, f

termina com a mesma letra que ti e, consequentemente, com a mesma letra que W\, contradizendo a hipótese de w%r ser uma palavra reduzida. Logo, r = e.

Caso B: Assumimos que ai,/3i,7i 7^ 0 e, permutando ciclicamente os elementos do

sistema, assumimos também que \w\ < \u'\. Da igualdade w7lu>i = u2(u')a'2 com 7i 7^ 0

concluímos que w é prefixo de (u2Ui)a2+1 e, como \w\ < \u'\ = |u2^i|, w é prefixo de u2ui. Da igualdade

(u')aiui = v2v^2 com «i 7^ 0

concluímos que u2U\ é sufixo de y^2+1 e portanto w é factor de ir2 + 1. Da igualdade v01vi = vT2W2~ com ft 7^0

resulta que v é prefixo de vP2+1, ou seja, existe uma factorização w = t\t2 tal que v = (tit2)sti com t17 ^ e e 0 < 5 < 72. Assim, o factor w de t>^2+1 tem como sufixo um

prefixo si 7^ e de ttJ, ou seja, w = s3Si e w = Sis2 para alguns s2 e s3. Resulta que w = S3S1 = S2 sY e portanto S\ = ~sî o que é impossível pelo Lema 1.15 pois Si 7^ e

e Si é uma palavra reduzida visto ÜJ ser uma palavra reduzida. Logo, o Caso B é impossível.

Caso C: Temos a2 = A = 0 e «i, #2,71,72 > 0. O sistema (2.9) tem a forma

(«T'«i = v2vl3\ (2.14)

U2 = W7lWi.

Se M2 é factor de V\, então 10, que é factor de u2, é também factor de V\. Logo, pela

primeira igualdade, w é factor de uma potência de w. Pelo Corolário 1.20 temos w — e. Concluímos, por simetria, que nem u2 nem vx são factores um do outro. Se tivermos \{u')aiui\ = \v2V^\ > \u'\ + \v\, então, pelo Corolário 1.13, resulta que ulu2 = v2vi

e portanto ou u2 ou V\ é factor do outro. Logo, \(u')aiui\ = \v2v^2\ < \u'\ + \v\.

Por simetria, assumimos que \v\ < \u'\. Logo, |(w')Qlui| < 2\u'\ e portanto ax = 1.

Obtemos |MIM2«I| < |u'| + \v\ e portanto \ux\ < \v\. Se 32 = 1, então segue da

igualdade UiU2Ui = v2vxv2 que u2 é factor de vx ou i\ é factor de u2. Se j32 > 2,

então da igualdade Uiu2Ui = v2v02 = v2viv2vf32~2viv2 e como |m| < \v\, resulta que (y2vi)02~2v2 é factor de u2 e portanto v\ é factor de u2. Concluímos que (32 = 2 e

portanto temos a igualdade

u\u2ux = v2v1v2viv2. (2.15)

Como \u\\ < \v\ = \v2vi\, resulta que \u2\ > \v2\ e ainda que u2 = S\V2s2 com \s\\ = \s2\. Obtemos de (2.15) que UíSi = v2V\ e s2Ui = vxv2. Como vx não é factor de u2 = Siv2s2, então v\ não é factor de S\ e, como U\S\ = v%Vi, temos |si| < \vi\.

Como |s2| = |si| < \v\\ e s2U\ = ^ ^ 2 , resulta que s2 é prefixo de ui = vT2w^. Se

|iu| < |s2|, então w é prefixo de s2 que, como s2 é factor de u2 = w^wi, contradiz o

Corolário 1.20. Concluímos que \si\ = \s2\ < \w\. Assim sendo, como u2 = Siv2s2 = w^Wi e sxv2s2 < SiV2Vi, temos w como prefixo de Siv2vx pois 71 > 0. Por outro

lado, s2v2Vi = s2u\Si = ViV2S\ tem prefixo w pois 72 > 0. Como |si| = \s2\ < \w\,

existe um prefixo s de v2vi, com S / Í . tal que w = SiS e w = s2s. Isto implica que w = s\s = s si que contradiz a hipótese de w ser uma palavra ciclicamente reduzida.

2.2 A equação x y xy = z

11

Schützenberger [30] mostra também que a equação

x-'y-'xy = zn (2.16)

tem como únicas soluções as soluções triviais, ou seja, soluções que geram um grupo cíclico. Nesta secção apresentamos a prova do mesmo resultado obtida por Baums- lag [5]:

Seja n > 1. Então um comutador num grupo livre é uma potência de ordem n se e só se é a identidade.

Seja F um grupo livre não­Abeliano e suponhamos que existe um elemento não­trivial

f £ F tal que

fn = [g,h],

com g, h G F.

Notemos que / = /1/2/1, onde /1./2 são palavras e f% é uma palavra ciclicamente reduzida não­trivial, representa o elemento do grupo. Assim, fn = fif^fi, onde =

representa a igualdade no grupo F, é não­trivial para todo o n ^ O visto que / ^ é uma palavra ciclicamente reduzida não­trivial. Isto mostra que fn 7^ 1 e F é localmente

infinito. Resulta que g e h não comutam.

Consideremos agora o subgrupo G de F gerado por f.geh:

G = (f,g,h).

Pelo Teorema de Nielsen­Schreier temos que G é um grupo livre visto ser um subgrupo do grupo livre F. Pelo Lema 1.22 temos que G/G' é um grupo livre Abeliano de característica m, onde m é a característica de G.

Notemos que G/G' ~ Zm e portanto, se ( / 1 , . . . , fm) G Zm é tal que n ( / i , . . . , /m) =

( 0 , . . . , 0), então ( / 1 , . . . , /m) = ( 0 , . . . , 0). Como / " G G', resulta que

(/G")n = JG' ■■■ fG' = /nG" = G"

e portanto / G ' = G', ou seja, / G G'. Logo, G/G' tem característica 2 e é gerado por

gG'ehG':

G/G' = (gG',hG').

Consequentemente, G tem também característica 2. Notemos que G não pode ter característica 1 senão seria cíclico e, consequentemente, Abeliano, contradizendo o facto de g e h não comutarem.

Vamos agora mostrar que existem dois elementos g* e h* que geram G e tais que

g*G' = gG' e h*G' — hG'. Sejam gx e g2 dois elementos que geram livremente G.

Consideremos o homomorfismo natural G —» G/G' e o automorfismo (p de G/G' que envia g\G' em gG' e ^ G ' em hG'. Queremos mostrar que existe um automorfismo (p

de G que torna o diagrama seguinte comutativo:

G ^G/G' (2.17)

1 3 01

G G/G'

Para isso, basta mostrar que o homomorfismo natural de grupos

Aut G ­* Awí G/G'

é sobrejectivo. Note­se que, para todo o grupo H, Aut H equipado com a operação de composição é um grupo. Como G/G' tem característica 2, temos que G/G' ~ Z2.

Notemos que

^ z » - ( * - ( j « ) ,

w

= ( ; j )

l W

- ( - i j )

: i e z

) .

A ipi, ipx G AutG/G' com. i 6 { l , 2 } e x G Z correspondem automorfismos <£j e ^x de

G definidos por:

tpx: G ^ G , <pi\ G ­+ G e ^ 2 : G ^ G

01 ^ 0 1 01 •-* 02 01 H-» ft1

02 ►"♦ 0f02 02 ^ 0 1 02 l-> 02-

O automorfismo p de G/G' é um produto de ^ , pr1, ipx e '0~1 com i G {1,2} e x G Z.

A este produto corresponde o produto de (p^ (p~l, ipx e tp'1 com i G {1,2} e x € Z

que define um automorfismo ^ de G tal que o diagrama (2.17) comuta. Resulta que

g* = gg' e h* = htí com g',h'eG'. (2.18)

Pelo Teorema 1.24 temos que, se um grupo livre de característica m é gerado por m elementos, então estes m elementos constituem um conjunto de geradores livres. Assim, g* e h* constituem um conjunto de geradores livres de G.

Seja agora H o grupo nilpotente de classe 2 definido do seguinte modo:

H = (a, b | a"2 = 6n2 = 1, [a, 6] = a" = bn).

Temos ainda que o centro de H, Z(H), coincide com o seu derivado, H', e tem ordem

n. Vejamos que estas propriedades se verificam.

Pelo Lema 1.25 resulta que, no grupo H,

[a\b] = [a.b}a[a.b} = (an)aan = a2n e, por indução sobre k, obtemos

[ak,b] = [ak­\b]a[a,b] = (a{k~1)n)aan = akn. Resulta que

[an,b]=an2 = 1.

Concluímos que an comuta com b e, trivialmente, com a. Como estes dois elementos

são geradores de H resulta que

an= [a,b] G Z{H).

Vamos mostrar que, para todos os u.v G H, temos [u.v] G (an) = (bn). Procedemos

por indução sobre o comprimento mínimo das palavras que representam u e v. A base de indução é óbvia. Se \u\ = \v\ — 1, então u. v G {a, b} (note­se que a­ 1 e b~l podem

ser escritas como potências positivas de a e b, respectivamente, pois an = bn = 1).

Temos

[o, a] = 1, [6,6] = 1, [a, b] = an e [b, a] = [a, ò]"1 = (a")"1

e portanto [u.v] G (an). Por simetria, seja u = UiU2 com Ui, u2 palavras não-triviais.

Então temos

[u,v] = \uiu2,v]

= [uuv]U2[u2lv].

Por hipótese de indução, os comutadores [UÍ,V] com i G {1,2} são potências de an G Z(H). Resulta que a conjugação destes comutadores por qualquer elemento

é a identidade e portanto [u,v] G (an).

Concluímos que H' < Z{H) e portanto H é nilpotente de classe 2. Mais ainda, temos que H' = (an) tem ordem n. Falta mostrar que Z(H) < H'. Temos

[a, b] = a" ^ a~lb-lab = an & ab = ban+1.

Resulta que todo o elemento de H pode ser escrito na forma b%o? para alguns i,j.

Suponhamos que u = blaj G Z{H). Então [u,a] — [u,b] = 1. Notemos que

[6V,a] = [VaJ-Ka^la.a]

= [Va1'1, a] - [b\a]

= [bz-\a]b[b,a]

= MF

pois os comutadores são elementos centrais. Resulta que

[blai,a] = [b.a]1 = a~m = 1,

e, de modo análogo,

[òV,fe] = [a,b]j = ajn = l

e portanto, como an tem ordem n, temos que i e j são divisíveis por n. Logo, como an — bn G H', resulta que u é um produto de comutadores e portanto u G H'.

Seja -0 o homomorfismo de G em H definido por </;(</*) = a e é(h*) = b.

Segue de (2.18) e do facto de H' = Z{H) que V{\g,h\) = i>([g*g'-\h*h'-1])

= mglïigT'-mMhr

1

}

= \ay(g')-

1

Mitiy

1

}

= yjig^a-'ilJih'ïb-'atig'y'biPiti)-1 = a~lb~lab = [a.b]

visto que, como ip é sobrejectiva, ip(G') = i>([G.G}) = [ib{G),t/j(G)} = [H. H] = H1 = Z(H).

Como / " = [g, h] e tp{fn) = ip([g, h]) = [a,b]^l, resulta que ip(fn) tem ordem n. No

entanto, / <= G1 e, consequentemente, a sua imagem por ip está em # ' . Mas H' tem

ordem n e portanto

W

n

) = W ) )

n

= 1.

Logo, ip(fn) é simultaneamente um elemento de ordem n e um elemento de ordem 1,

o que é impossível. Portanto, fn não pode ser um comutador.

No documento Equações no monóide livre e no grupo livre (páginas 31-38)