Para avaliar o desempenho do Filtro proposto para o caso de modelos não-lineares, adota-se o modelo cinemático simplificado de um robô móvel ilustrado na Figura 15. Este
Capítulo 4. Experimentos Numéricos 64
modelo é baseado em Corke (2011, p. 101) e é dado por
˜ 𝑥𝑘+1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑥𝑘+1 𝑦𝑘+1 𝜃𝑘+1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑥𝑘+ 𝑣𝑘cos(𝜃𝑘)Δ𝑡 𝑦𝑘+ 𝑣𝑘sin(𝜃𝑘)Δ𝑡 𝜃𝑘+ 𝛼𝑘Δ𝑡 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⏟ ⏞ 𝑓 (˜𝑥𝑘) +0.01𝑤𝑘
no qual Δ𝑡 é o tempo de amostragem, 𝑤𝑘 é o ruído Gaussiano de processo, 𝑣𝑘 e 𝛼𝑘 são
velocidades linear e angular, respectivamente. Para esse exemplo, considera-se o tempo de amostragem Δ𝑡 = 0, 1s e um horizonte de 500 amostras (𝑁 = 500). Em relação às velocidades, adota-se 𝑣𝑘, 𝛼𝑘 da forma 𝑣𝑘 = 1 m/s ∀ 𝑘 ∈ [0, 500], 𝛼𝑘 = ⎧ ⎨ ⎩ −0, 2 rad/s se 𝑘 < 250 +0, 2 rad/s se 𝑘 ≥ 250.
Figura 15 – Ilustração do modelo cinemático.
Admitindo que existe um medidor de distância conforme indicado na Figura15, define- se equação de medição por
˜ 𝑦𝑘 = ⎡ ⎣ 𝑟𝑘 𝜑𝑘 ⎤ ⎦= ⎡ ⎣ √︁ 𝑥2 𝑘+ 𝑦𝑘2 tan−1(︁𝑦𝑘 𝑥𝑘 )︁ ⎤ ⎦ ⏟ ⏞ ℎ(˜𝑥𝑘) +0, 1𝜀𝑘,
em que 𝜀𝑘 é o ruído Gaussiano de medição. As matrizes Jacobianas desse sistema são dadas
por 𝐴𝑘 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 −𝑣𝑘sin(𝜃𝑘)Δ𝑡 0 1 𝑣𝑘cos(𝜃𝑘)Δ𝑡 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝜃𝑘=^𝜃𝑘|𝑘 , 𝐻𝑘 = ⎡ ⎢ ⎣ 𝑥𝑘 √ 𝑥2 𝑘+𝑦𝑘2 𝑦𝑘 √ 𝑥2 𝑘+𝑦2𝑘 0 −𝑦𝑘 𝑥2 𝑘+𝑦 2 𝑘 𝑥𝑘 𝑥2 𝑘+𝑦 2 𝑘 0 ⎤ ⎥ ⎦ 𝑥𝑘=^𝑥𝑘|𝑘−1,𝑦𝑘=^𝑦𝑘|𝑘−1 .
Capítulo 4. Experimentos Numéricos 65
São realizadas 500 simulações Monte-Carlo com 500 amostras cada. A inicialização é dada por 𝑥0 = [50 50 0]|, ^𝑥0|0 = [45 45 0], 𝑚0 = [0 0 0]|, 𝑃0|0 = 𝐼, 𝑄 = 0, 0001𝐼 e 𝑅 = 0, 01𝐼 para todas as realizações.
Por simplicidade, para o modelo dinâmico, assume-se 𝜎𝑥 = ¯𝜎𝑥 = 0 e 𝜎𝑦 = ¯𝜎𝑦 = 0. Por
outro lado, na etapa de atualização, após a experimentação com diferentes combinações de parâmetros, verificou-se que um desempenho satisfatório é obtido com a escolha
𝜎𝑣 = ¯𝜎𝑣 = ⎡ ⎣ 0, 1 0, 01 0, 1 0 0 0 ⎤ ⎦.
O desempenho em termos de MSE tanto para o FKE e Filtro EVIU Não-linear são apre- sentados na Figura 16. Dos resultados obtidos na Figura 16, observa-se que, em termos de MSE, o Filtro EVIU apresenta desempenho expressivamente melhor do que o FKE, ou seja, em média, a trajetória estimada pelo Filtro EVIU é mais próxima da real.
Figura 16 – Curvas do MSE relativas ao FKE e ao Filtro EVIU. As sombras indicam o intervalo de confiança de 95%.
Além do mais, analisando as trajetória estimadas por ambos os filtros para uma reali- zação do sistema, observa-se que, mesmo em situações no qual o FKE apresenta instabilidade, o Filtro EVIU é capaz de gerar estimativas mais precisas, conforme indica a Figura 17. Note que, no início da trajetória, o FKE (azul) apresenta considerável instabilidade, no entanto, o Filtro EVIU (vermelho) na mesma realização apresentou estimativas próximas da trajetória real.
Capítulo 4. Experimentos Numéricos 66 35 40 45 50 55 40 42 44 46 48 50 52 Real FKE EVIU Trajetória Real
Filtro de Kalman Estendido Filtro EVIU Não-linear
Figura 17 – Trajetórias estimadas pelo FKE e Filtro EVIU para uma realização do sistema com ^𝑥0|0 = [45 45 0]|. A tracejada em preto indica a trajetória real.
É importante apontar que a matriz 𝐴𝑘 associada ao modelo linearizado do sistema
adotado não é assintoticamente estável. Porém, isso não é um limitador para a adoção da estratégia de filtragem proposta, uma vez que a condição de estabilidade assintótica da di- nâmica do sistema a ser filtrado não é requerida.
67
5 Conclusões
Esse trabalho apresenta uma nova abordagem para o problema de estimação de sis- temas cuja dinâmica é pouco conhecida, na qual os erros de modelagem são tratados como ruídos dependentes do valor absoluto da variação da estimativa. Dessa forma, uma estratégia inédita para estimação robusta é desenvolvida, no qual conjectura-se que a própria Variação da Estimativa pode Atuar como Fonte de Incerteza.
Tal abordagem é formulada por meio de um Problema Mínimos Quadrados Regu- larizado Modificado, na qual a solução ótima é obtida empregando ferramentas de Análise Não-suave, como o subdiferencial, devido à presença da função módulo que é não-diferenciável na origem. Uma característica da solução ótima é o surgimento de uma região no espaço de resíduos (ou inovação) na qual a não-variação da estimativa é ótima. Dessa forma, a meto- dologia aqui proposta se caracteriza como uma estratégia de estimação cautelosa, no sentido de que, diante de imprecisões de modelagem, pode ser mais adequado manter a estimativa atual inalterada para condições em que o resíduo é suficientemente pequeno. Essa região em que a não-variação da estimativa é ótimo é chamada de Região de Inação.
Tal comportamento cauteloso já vem sendo explorado no contexto de Controle Es- tocástico, chamado de Controle CVIU, portanto, o método aqui apresentado pode ser in- terpretado como uma versão “dual” do Controle CVIU. Outra característica importante é a geometria convexa do problema de otimização, possibilitando o tratamento da não- diferenciabilidade da função custo adotada. Assim, por meio da análise do comportamento do subgradiente, é possível determinar as regiões em que a solução ótima possui sinal positivo, negativo ou nulo.
Baseado nessa nova estratégia de estimação, desenvolve-se um algoritmo de Filtragem Tipo-Kalman que incorpora a noção de que a Variação da Estimativa pode Aumentar a Incerteza para tratar sistemas lineares subdeterminados ou não-lineares operando próximos a um ponto de equilíbrio. Juntamente, deriva-se uma variação do Filtro de Kalman Estendido seguindo a mesma filosofia. Para ambos os casos, é possível obter um conjunto de equações para média e covariância que podem ser implementadas para aplicações em tempo real. Verifica-se também que o algoritmo de filtragem disponibilizado coincide com o Filtro de Kalman Tradicional quando os erros de modelagem são desconsiderados.
É importante ressaltar que a estratégia apresentada adota um ponto de vista esto- cástico para as incertezas de modelagem por meio da incorporação de ruídos dependentes do valor absoluto da variação da estimativa. Além do mais, o método proposto é baseado
Capítulo 5. Conclusões 68
na otimização de um custo esperado, ao invés do custo de pior caso. Assim, esse trabalho se torna uma alternativa aos métodos existentes na literatura de Filtragem Robusta.
Por fim, por meio de um conjunto de experimentos numéricos, constatou-se que a me- todologia proposta é aplicável e pode fornecer resultados melhores que estratégias existentes na literatura. Em um primeiro momento, foi realizado um estudo comparativo de desempe- nho entre o filtro proposto e um filtro robusto existente na literatura, chamado de Filtro BDU, para um sistema linear com incertezas limitadas. Verificou-se que com uma sintonia adequada dos parâmetros do filtro EVIU é possível obter um desempenho, em termos do MSE, superior ao filtro robusto comparado.
Avaliou-se também o desempenho do Filtro EVIU não-linear por meio de um exemplo envolvendo robótica móvel. Utilizando o MSE como critério de desempenho, verificou-se que é possível obter resultados superiores ao FKE convencional. Dessa forma, a estratégia de filtragem aqui proposta se apresenta como uma alternativa viável para aplicações em que o modelo preciso da dinâmica do sistema não esteja disponível.
Apesar dos resultados alcançados, ainda existem desafios a serem vencidos. Um tópico futuro de pesquisa é a análise de convergência do estimador proposto, assim como condições de estabilidade quando aplicado ao problema de filtragem e também formas eficientes de determinar o sinal da solução. Também é importante estabelecer uma metodologia adequada para sintonia dos parâmetros de modelo, tais como 𝜎𝑥, ¯𝜎𝑥, 𝜎𝑦, ¯𝜎𝑦, 𝜎𝑣 e ¯𝜎𝑣.
Este trabalho pode ainda ser aplicado em contextos diversos, além do problema de Filtragem de Kalman. Alguns exemplos de possíveis extensões dessa metodologia são: algo- ritmos de reconstrução de sinais, identificação de sistemas, treinamento de redes neurais e estimação via rede.
Além do mais, por se tratar de uma abordagem com características “duais” ao Con- trole CVIU, uma outra frente de pesquisa futura é a formulação do problema de controle ótimo em termos de Mínimos Quadrados Regularizados e, assim, investigar a aplicabilidade da solução aqui desenvolvida também para o projeto de controladores cautelosos.
69
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72
APÊNDICE A – Noções de Probabilidade
Considere um experimento em que os resultados são sempre aleatórios. O conjunto de todos os possíveis resultados é chamado de espaço amostral e é denotado por Ω. Qualquer subconjunto 𝐴 ⊆ Ω é um evento do experimento. Uma medida de probabilidade 𝒫(·) é um mapeamento dos eventos no R satisfazendo os seguintes axiomas
(i) 𝒫(𝐴) ≥ 0,
(ii) 𝒫(Ω) = 1,
(iii) 𝒫(∪∞𝑖=1𝐴𝑖) =∑︀∞𝑖=1𝒫(𝐴𝑖) se 𝐴𝑡∩ 𝐴𝑗 = ∅ para todo 𝑡, 𝑗.
Definição A.0.1 (Probabilidade Conjunta). Suponha dois eventos 𝐴, 𝐵 ⊆ Ω. A probabili-
dade conjunta de 𝐴 e 𝐵 indica a probabilidade dos dois eventos ocorrerem simultaneamente e é denotada por
𝒫(𝐴, 𝐵) = 𝒫(𝐴 ∩ 𝐵).
Definição A.0.2 (Probabilidade Condicional). Para dois eventos 𝐴, 𝐵 ⊆ Ω, a probabilidade
condicional de 𝐴 dado 𝐵 indica a probabilidade de ocorrer 𝐴 visto que ocorreu 𝐵. Denota-se por
𝒫(𝐴|𝐵) = 𝒫(𝐴 ∩ 𝐵)
𝒫(𝐵) , assumindo 𝒫(𝐵) ̸= 0.
Definição A.0.3 (Regra de Bayes). Para dois eventos 𝐴, 𝐵 ⊆ Ω. A probabilidade condicional
de 𝐴 dado 𝐵 pode ser obtida por
𝒫(𝐴|𝐵) = 𝒫(𝐵|𝐴)𝒫(𝐴) 𝒫(𝐵) .
Definição A.0.4 (Independência). Os eventos 𝐴1, 𝐴2, . . . , 𝐴𝑚 são ditos mutuamente inde-
pendentes se 𝒫(∩𝑚 𝑖=1𝐴𝑖) = 𝑚 ∏︁ 𝑖=1 𝒫(𝐴𝑖).
Definição A.0.5 (Variável Aleatória). Uma variável aleatória (v.a.) é o valor numérico re-
sultante de algum experimento que não pode ser previsto antecipadamente de forma exata. Mais precisamente, uma v.a. é uma função que mapeia todos os resultados 𝜔 de um expe- rimento no R. O valor numérico de uma v.a. quando ocorre o resultado 𝜔 é denotado por
APÊNDICE A. Noções de Probabilidade 73
(i) 𝒫(𝑋 = +∞) = 𝒫(𝑋 = −∞) = 0.
(ii) Para todo 𝑎 ∈ R, o conjunto {𝜔 : 𝑋(𝜔) ≤ 𝑎} é um evento de forma que 𝒫({𝜔 : 𝑋(𝜔) ≤ 𝑎}) = 𝒫(𝑋 ≤ 𝑎)
é definida.
Definição A.0.6 (Função de Distribuição). Dado uma v.a. 𝑋, a função de distribuição 𝐹𝑋
é o mapeamento do R no intervalo [0, 1] denotado por
𝐹𝑋(𝑥) = 𝒫(𝑋 ≤ 𝑥).
No caso de duas ou mais v.a. 𝑋1, 𝑋2, . . . , 𝑋𝑛, define-se a função de distribuição conjunta
𝐹𝑋1,𝑋2,...,𝑋𝑛 por
𝐹𝑋1,𝑋2,...,𝑋𝑛(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) = 𝒫(𝑋1 ≤ 𝑥1) ∩ 𝒫(𝑋2 ≤ 𝑥2) ∩ · · · ∩ 𝒫(𝑋𝑛≤ 𝑥𝑛).
Definição A.0.7 (Função de Densidade). Assumindo 𝐹𝑋(𝑥) diferenciável, então a função
de densidade 𝑝𝑋 associada à v.a. 𝑋 é definida por
𝑝𝑋(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥𝐹𝑋(𝑥).
Da mesma forma, define-se a função de densidade conjunta de 𝑋1, 𝑋2, . . . , 𝑋𝑛 por
𝑝𝑋1,𝑋2,...,𝑋𝑛(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) =
𝜕(𝑛)
𝜕𝑥1𝜕𝑥2. . . 𝜕𝑥𝑛
𝐹𝑋1,𝑋2,...,𝑋𝑛(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛).
Definição A.0.8 (Função de Densidade Condicional). Para as v.a. 𝑋 e 𝑌 , define-se a função
de densidade condicional por
𝑝𝑋|𝑌(𝑥|𝑦) = 𝑝𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦) 𝑝𝑌(𝑦) = 𝑝𝑌 |𝑋(𝑦|𝑥)𝑝𝑋(𝑥) 𝑝𝑌(𝑦) .
Definição A.0.9 (Variáveis Aleatórias Independentes). Duas variáveis aleatórias 𝑋 e 𝑌 são
ditas independentes se
(i) 𝐹𝑋,𝑌 = 𝐹𝑋(𝑥)𝐹𝑌(𝑦).
(ii) 𝑝𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦) = 𝑝𝑋(𝑥)𝑝𝑌(𝑦).
(iii) 𝑝𝑋|𝑌(𝑥|𝑦) = 𝑝𝑋(𝑥).
APÊNDICE A. Noções de Probabilidade 74
Definição A.0.10 (Independente e Identicamente Distribuído). Um conjunto de variáveis
aleatórias 𝑋1, 𝑋2, . . . , 𝑋𝑛são ditas independentes e identicamente distribuídas (i.i.d) se a pro-
babilidade conjunta for igual ao produto das distribuições marginais e ainda se as marginais forem todas iguais
𝑝(𝑋1, 𝑋2, . . . , 𝑋𝑛) = 𝑛 ∏︁
𝑖=1
75
APÊNDICE B – Folded Distribution
Considere a variável aleatória 𝑥 ∼ 𝒩 (𝜇, 𝜎2). Definindo a variável aleatória 𝑦 = |𝑥|, tem-se 𝑝(𝑦) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 1 √ 2𝜋𝜎2 [︂ 𝑒−(𝑦−𝜇)22𝜎2 + 𝑒− (𝑦+𝜇)2 2𝜎2 ]︂ , se 𝑦 ≥ 0 0, caso contrário, , (B.1)
em que é cunhado o termo Folded Distribution (TSAGRIS et al., 2014). A Figura 18 ilustra esta distribuição de probabilidade.
-3 -2 -1 0 1 2 3 y 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Folded Distribution Normal Folded
Figura 18 – Comparação entre Folded Distribution e Distribuição Normal com 𝜇 = 0, 𝜎2 = 1.
Para essa distribuição de probabilidade, a esperança matemática é dada por
E{𝑦} = E{|𝑥|} = √︃ 𝜎22 𝜋exp (︃ − 𝜇 2 2𝜎2 )︃ + 𝜇 [︂ 1 − 2 Ξ (︂ −𝜇 𝜎 )︂]︂ , (B.2) em que Ξ(𝑎) = ∫︀𝑎
−∞𝒩 (0, 1) é a Distribuição Acumulada da distribuição Normal Padrão. É interessante notar que se E{𝑥} = 0, então E{|𝑥|} =√︁𝜎2 2
76
APÊNDICE C – Análise de Funções
Não-suaves
Definição C.0.1 (Subgradiente (ROCKAFELLAR, 1970)). Considere uma função convexa
𝑓 : R𝑛→ R, e ¯𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚(𝑓 ) no qual 𝑓 (¯𝑥) assume valor finito. Um elemento 𝑥* ∈ R𝑛 é dito ser um subgradiente de 𝑓 em ¯𝑥 se
⟨𝑥*, 𝑥 − ¯𝑥⟩ ≤ 𝑓 (𝑥) − 𝑓 (¯𝑥),
∀𝑥 ∈ R𝑛.
Esta inequação é chamada de Inequação do subgradiente.
Definição C.0.2 (Subdiferencial (ROCKAFELLAR,1970)). Considere uma função convexa
𝑓 : R𝑛 → R, e ¯𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚(𝑓 ) no qual 𝑓 (¯𝑥) assume valor finito. A coleção de subgradientes 𝑥* ∈ R𝑛 de 𝑓 em ¯𝑥 é dito ser o subdiferencial de 𝑓 e é denotado por 𝜕𝑓 (¯𝑥).
Corolário C.1 (Condição de Mínimo (ROCKAFELLAR, 1970)). Considere uma função
𝑓 : R𝑛→ R da forma
𝑓 = 𝜆1𝑓1 + 𝜆2𝑓2+ . . . + 𝜆𝑚𝑓𝑚,
em que 𝑓1, 𝑓2, . . . , 𝑓𝑚 são funções convexas e 𝜆1, 𝜆2, . . . , 𝜆𝑚 são constantes não negativas. A
condição necessária e suficiente para que o elemento ¯𝑥 ∈ R𝑛 alcance o mínimo em 𝑓 é
0 ∈ [𝜆1𝜕𝑓1(¯𝑥) + 𝜆2𝜕𝑓2(¯𝑥) + . . . + 𝜆𝑚𝜕𝑓𝑚(¯𝑥)].
Em resumo, o subgradiente indica um hiperplano suporte no qual pode ser represen- tado pela função afim 𝑚(𝑥) = 𝑓 (¯𝑥) + ⟨𝑥*, 𝑥 − ¯𝑥⟩. Como ilustração, considere a função módulo 𝑓 : R → R definido por 𝑓 (𝑥) = |𝑥|. Nesse caso, tomando ¯𝑥 = 0, a Inequação do Subgradiente
resulta em
𝑥*(𝑥 − 0) ≤ |𝑥| − |0|, ∀𝑥 ∈ R. (C.1) O conjunto de todos os 𝑥* ∈ R que satisfazem a desigualdade (C.1) forma o subdiferencial de 𝑓 (0). Note que escolhendo 𝑥 = 1 e 𝑥 = −1 em (C.1), tem-se
𝑥* ≤ 1, 𝑥* ≥ −1. (C.2)
Portanto, conclui-se que −1 ≤ 𝑥* ≤ 1, ou seja, o subdiferencial 𝜕𝑓 (0) = [−1, 1]. Por outro lado, escolhendo ¯𝑥 = 1, tem-se
APÊNDICE C. Análise de Funções Não-suaves 77
De forma similar ao caso anterior, tomando os pontos 𝑥 = 0 e 𝑥 = 2, resulta em
𝑥* ≤ 1, 𝑥* ≥ 1.
Logo, 𝑥* = 1. Assim, o subdiferencial 𝜕𝑓 (1) = 1. Da mesma forma, tomando ¯𝑥 = −1, resulta
em 𝜕𝑓 (−1) = −1. Portanto, pode-se concluir que o subdiferencial da função módulo é dado por 𝜕|𝑥| = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ +1, se 𝑥 > 0 −1, se 𝑥 < 0 [−1, +1], se 𝑥 = 0. (C.3)