7.2 Critério de Colinearidade
7.2.2 Caso 2: Programas Lineares Estocásticos Gerais
Quando o vetor qi é dependente dos cenários, dois vetores hi− Tix e hj− Tjx podem
ser colineares sem que uma solução dual ui do subproblema Qi(x), seja também uma
solução do subproblema Qj(x). Os respectivos conjuntos viáveis de (7.3), Π(qi) e
Π(qj), são diferentes. Com o objetivo de economizar esforço computacional, todos
os problemas de segundo estágios são aproximados. A abordagem proposta consiste em, para cada i ∈ IE, agrupar os vetores h
j− Tjx quase colineares em um conjunto
média amostral dos custos considerando o conjunto de índices Ji. Desde que i ∈ Ji,
resolve-se o programa linear com vetor de custo hi− Tix sujeito ao conjunto viável
médio, e usa-se a correspondente solução com uma aproximação para os demais cenários do grupo.
Oráculo Inexato 2 (Estratégia de colinearidade - custo aleatório) Passo 0 (inicialização). Seja εcos∈ (0, 1) um parâmetro de colinearidade.
Para x fixo, selecione um conjunto IE ⊆ {1, . . . , N } não vazio, tal que
i, l ∈ IE ⇒ cos(θ
il) ≤ 1 − εcos.
Passo 1 (agrupamento pela colinearidade). Para cada i ∈ IE, faça Ji := {i} ∪ {j /∈ IE : cos(θij) > 1 − εcos}.
Passo 2 (Cálculos inexatos). Para todo i ∈ IE: determine ¯ui resolvendo maxu u>(hi− Tix) s.a W> u ≤ ¯qi := X j∈Ji pjqj X j∈Ji pj .
Para cada j ∈ Ji, faça ϑj = ¯ui .
O Oráculo Inexato 2 proporciona as seguintes estimativas:
fx= c>x + X i∈IE piu¯ > i(hi− Tix) + X j6∈IE pjϑ > j(hj − Tjx) gx = c − X i∈IE piT > i u¯i − X j6∈IE pjT > j ϑj.
Quando os custos são determinísticos (q = qi), as estimativas acima para i ∈ IE são
exatas, e coincidem com as soluções calculadas no Passo 3 do Oráculo Inexato 1. Este não é o caso para j 6∈ IE, porque não há uma busca no conjunto de vértices determinado previamente, DE. Por este motivo, mesmo quando q = q
i, este oráculo
inexato não coincide com o Oráculo Inexato 1.
A seguir será mostrado que a condição (7.5) é satisfeita.
Proposição 7.3 Seja o problema (7.1) satisfazendo as hipóteses L1-L3 e suponha que o Oráculo Inexato 2 é empregado. Suponha também que o algoritmo de progra- mação linear utilizado para resolver os programas lineares no Passo 1 do Oráculo Inexato 2 determina soluções básicas.
Prova. De maneira similar ao Lema 7.1, será mostrado que as diferenças entre os valores funcionais Qj(x) e suas estimativas são limitadas. Mais precisamente,
definindo dj := hj − Tjx:
se j ∈ IE Q
j(x) é substituído por sqj¯(dj)
se j 6∈ IE então j ∈ J
i e Qj(x) é substituído por ¯u>idj,
para ¯ui tal que sqi¯(di) = ¯u>idi. Como Qj(x) = sqj(dj), a imprecisão na estimativa
da função é dada por
j = sqj(dj) − sqj¯(dj) se j ∈ IE sqj(dj) − ¯u>idj se j 6∈ IE, j ∈ Ji.
Os termos acima são todos finitos, porque o recurso é relativamente completo. Por [54, Teorema 2.4], o conjunto viável do programa linear é Lipschitziano com respeito às pertubações do lado direito das restrições, então existe uma constante L(dj, W )
tal que j ≤ |sqj(dj) − sqj¯(dj)| ≤ L(dj, W )kqj− ¯qjk se j ∈ IE. (7.8) Quando j 6∈ IE, j ∈ J i, pode-se escrever j = sqj(dj) − ¯u > idj = sqj(dj) − sqi¯(dj) + sqi¯(dj) − ¯u > idj =: ∆1+ ∆2.
Como em (7.8), |∆1| ≤ L(dj, W )kqj− ¯qik. Para limitar o termo ∆2, note que dj ∈ Π◦
porque o recurso é relativamente completo, e que ui ∈ Π(¯qi) é um vértice, por
hipótese. Como resultado, aplicando o Lema 7.1, escrito com (q, d, v) = (¯qi, dj, ¯ui),
conjuntamente com (7.8), tem-se que
j ≤ L(dj, W )kqj− ¯qik + K(¯qi, W )kdjk se j 6∈ IE, j ∈ Ji. (7.9)
Sendo X limitado, e tanto N quanto a variância de ξ são finitos, existem constan- tes L , K, e Md para L(dj, W ), K(¯qi, W ), e kdjk, respectivamente. Seja Mq uma
cota superior para kqj − ¯qjk e kqj − ¯qik, então o resultado enunciado é verificado
considerando εf = εg = 2LMq+ KMd.
Como o número de cenários N e a variância de ξ são finitos, a existência de uma constante Λ > 0 tal que kgzk ≤ Λ é garantida. Para verificar esta afirmação, basta
proceder de forma análoga à demonstração da Proposição 7.2, substituído q por qi,
com i = 1 . . . , N . Deste modo, o Oráculo Inexato 2 também satisfaz (5.2).
Embora esteja-se trabalhando com dois erros de precisão (εf e εg), os mesmos
vetor hi− Tix é quase colinear ao vetor hj− Tjx, i.e., vale a equivalência
j ∈ Ji ⇐⇒ 1 − cos(θij) ≤ εcos.
Logo, se εcos = 0 o problema (7.2) é resolvido sem aproximações.
Outra abordagem possível é variar a tolerância εcos ao longo das iterações. Por
exemplo, considerando (para k ≥ 1 um contador de iteração) εk
cos ≥ 0 tal que
limk→∞εkcos = 0. Neste caso, pode ser melhor considerar ε1cos = 0, ε2cos > 0 com
εk+1cos ≤ εk
cos para k ≥ 2, e (ver definição (3.5))
fzk := max c> zk+ X i∈IE piu¯>i(hi− Tizk) + X j6∈IE pjϑ>j(hj− Tjzk), ˇfk−1(zk) ,
para evitar que erros εf e εg se tornem excessivamente grandes. Este tipo de abor-
dagem juntamente com o método de feixes inexato é denominado método de feixes incremental, [47].
O critério de colinearidade apresentado neste capítulo não altera a distribuição de probabilidades P de ξ. A seguir são apresentadas três técnicas para aproximar fN e um subgradiente de fN, redistribuindo P .
Capítulo 8
Métodos de Feixes Inexatos
Aplicados à Programação Não
Linear Estocástica em Dois
Estágios
A aplicação dos métodos de feixes inexatos e parcialmente inexatos aos problemas não lineares estocásticos em dois estágios considera três técnicas distintas para os oráculos inexatos. A primeira e a segunda técnicas são fundamentadas na estratégia de redução ótima de cenários proposta em [35]. A terceira técnica é baseada na clas- sificação de cenários em grupos, e é motivada pela desigualdade de Jensen [24, Seção 3.4.1]. Os oráculos baseados em reduções/seleções de cenários podem ser aplicados tanto no caso linear quanto no caso não linear. Estes oráculos são desenvolvidos especialmente para o métodos de feixes inexatos. Já o oráculo baseado na desigual- dade de Jensen é utilizado pelos métodos de feixes parcialmente inexatos. Apesar de ser desenvolvido para os programas não lineares estocásticos em dois estágios, este oráculo pode ser, naturalmente, aplicado ao caso linear.
8.1
Programação Não Linear Estocástica em Dois
Estágios
São considerados nesta seção os problemas de otimização estocástica em dois estágios da forma min x∈X E[f (x, ξ)] , (8.1a) com f (x, ξ) := f1(x) + inf y∈X (x,ξ)f2(y, ξ) , (8.1b)
sendo que f1 e f2 são funções convexas nas respectivas variáveis de decisão x e y.
Conforme o desenvolvimento do Capítulo 2, a função objetivo do problema (8.1a) pode ser escrita por f (x) = f1(x) + Q(x), com Q o valor esperado dos problemas de
segundo estágio (cf. (2.3)). No entanto, nesta seção é conveniente utilizar a notação empregada em (8.1).
Ao longo desta seção são assumidas as seguintes hipóteses acerca do problema (8.1):
NL1 o conjunto viável de primeiro estágio X é não vazio, convexo e compacto; NL2 o problema (8.1) possui recurso relativamente completo, sendo o conjunto de
segundo estágio dado por X (x, ξ) := {y ∈ Rn2
+ : T x + W y = h};
NL3 o conjunto K2P = {x ∈ X : ∩ξ∈ΞX (x, ξ) 6= ∅} é não vazio;
NL4 as funções f1 : Rn → R e f2 : Rn2 × Ξ → R são convexas nas respectivas
variáveis de decisão, e f2 é asci no sentido da definição (2.4).
NL5 a variável aleatória ξ que define o cenário ξ = (q, h, T ) tem variância fi- nita, e possui (ou é discretizada assumindo) um número finito N de cená- rios {ξ1, . . . , ξN}, com probabilidade associada p
i = P (ξ = ξi), para todo
i = 1, . . . , N .
NL6 existe uma métrica dΞ : Ξ × Ξ → R+ induzida por uma norma (ou pseudo-
norma) tal que a seguinte desigualdade é satisfeita
|f (x, ˜ξ) − f (x, ξ)| ≤ dΞ( ˜ξ, ξ), para todo x ∈ X e ˜ξ, ξ ∈ Ξ.
As condições NL1-NL4 garantem que o problema (8.1) seja bem definido, e possua uma solução ótima. É importante notar que sob NL3, qualquer que seja o conjunto de cenários {ξ1, . . . , ξN} o problema (8.1), com f (x) substituída por
fN(x) := N
X
i=1
pif (x, ξi), está bem definido e tem uma solução ótima (ver Proposição
(2.1)).
Diferentemente do critério de colinearidade, as técnicas apresentadas neste capí- tulo não utilizam soluções duais de alguns subproblemas para aproximar a soluções duais de outros subproblemas. O objetivo destas propostas é selecionar um subcon- junto com relativamente poucos cenários para aproximar o problema (8.1). Estas propostas são fundamentas na técnica de redução ótima de cenários - ROC - desen- volvida por Dupačová, Gröwe-Kuska e Römisch [35], e apresentada a seguir.