4.2 Estudo de Casos
4.2.3 Caso 3 Reator Semi-Batelada Isotérmico
O caso proposto também é apresentado em Srinivasan et al. (2003). A descrição do problema é:
1. Características:
• Reação A + B → C
• Condições: Semi-batelada, reação exotérmica;
• Objetivo: Minimizar o tempo necessário para a produção de C (valor co- nhecido);
• Variável Manipulada: Taxa de alimentação de B;
• Restrições: Limites na variável de controle, de temperatura da camisa e de volume;
2. Formulação do Problema:
O problema pode ser descrito como:
min
tf,u(t)
sujeito a: dcA dt = −kcAcB− u V cA (4.20) dcB dt = −kcAcB− u V (cBin−cB) (4.21) dV dt = u (4.22) cC = cA0V0+ cC0V0−cAV V (4.23) Tcf = T (t) + min (cA, cB) (−∆H) ρcp (4.24) Tcf(t) ≤ Tmax (4.25) V (tf) ≤ Vmax (4.26) nC(tf) ≥ nCdes (4.27) umin ≤u ≤ umax (4.28) cA(0) = cA0 (4.29) cB(0) = cB0 (4.30) V (0) = V0 (4.31) cC(0) = cC0 (4.32)
onde cX são as concentrações das espécies A, B e C, respectivamente, u é taxa
de alimentação do componente B, V é o volume do reator, k é um parâmetro cinético, T , a temperatura do reator, Tcf é a temperatura do resfriador, ∆H a
entalpia da reação, ρ a densidade e cp a capacidade calorífica. 3. Parâmetros e Condições Operacionais do Modelo:
Os parâmetros e condições operacionais do modelo são mostrados na Tabela (4.7)
4. Condições Operacionais:
Inicialmente sabemos que o número de mols de B é sempre menor que o de A, então implica que cB(t) ≤ cA(t). Com Tcf ≤Tmax, implica que cB ≤cBmax, com
cBmax = ρcp(T max − T )/(−∆H). Portanto, inicialmente temos que ter a maior
quantidade de B possível. 5. Solução Ótima:
• Primeira Fase: devemos ter cB = cBmax, para mantermos a restrição na
temperatura ativa, o que nos revela a expressão para a variável de controle (Tcf = Tmax).
u =µ kcAcBV cBin−cB
¶
Tabela 4.7: Parâmetros e condições Operacionais do Modelo (Caso 3). k 0,0482 L/(mol h) umin 0 L/h umax 0,1 L/h cA0 2 mol/L cB0 0,63 mol/L cC0 0 mol/L nCdes 0,6 mol cBin 2 mol/L ∆H -60000 J/mol ρ 900 g/L T 70 oC Tmax 80 oC cp 4,2 J/gK Vmax 1 L V0 0,7 L
• Segunda Fase: Quando a restrição do volume fica ativa, implica que u = umin.
O tempo final é obtido quando a composição desejada para o componente C é alcançada (nC = nCdes).
Com essa descrição das fases do problema, nota-se que na segunda fase o sistema passa de índice um para índice 2, descrita na Tabela (4.8).
Tabela 4.8: Caso 3 - Função Identificadora de Fases. Função Identificadora de Fases Índice Primeira Fase u =³kcAcBV
cBin−cB
´
cB=cB max
2 Segunda Fase u = umin 1
nc = nCdes
6. Resultados:
Para se resolver este problema, foi feita uma mudança na função objetivo deste problema, que é de tempo final livre. Em vez de minimizar o tempo necessário para a produção do componente C, o tempo final da reação foi obtido ao alcan- çar o número de mols do desejado para o componente C (ncdes = 0, 6). Esta
mudança foi necessária pois o algoritmo proposto por Xu e Antsaklis (2004) ne- cessita do tempo inicial(t0) e do tempo final(tf). Com essa mudança, o problema
foi resolvido utilizando-se tolerância relativa e absoluta iguais à 10−6, após 13 ite-
rações partindo-se de ts1 igual a 10h. Os resultados são apresentados na Tabela
Tabela 4.9: Resultados do Caso 3. tS1(h) tf(h)
Srinivasan et al. (2003) 11,44 19,80 DIRCOL 11,44481 19,800916 Este Trabalho 11,44478 19,801017
Pode-se perceber que os resultados obtidos neste trabalho apresentaram valores semelhantes à solução pelo código DIRCOL e a solução obtida na literatura. Fo- ram feitos testes variando as estimativas iniciais para os eventos, e os resultados obtidos são apresentados na Tabela (4.10). Testes variando os parâmetros do modelo (k e cBin) utilizando o código DIRCOL foram realizados e os resultados
obtidos são apresentados na Tabela (4.11).
Tabela 4.10: Variações nas estimativas iniciais. tS1(h) tf(h) tS1(h) tf(h)
1 10 25 11,44478137 19,80101779 2 5 20 11,44478077 19,80101806 3 12 20 11,44485676 19,80095945
Tabela 4.11: Variações nos parâmetros. k cbin J IFAIL
1 0,0482 2,0 19,800916 0 2 0,00482 2,0 21,000000 3 3 0,482 2,0 20,997092 3 4 0,0482 1,0 21,000000 3
As variações nos valores iniciais dos eventos influenciaram na convergência do método de solução, aumentando o número de iterações necessárias para a ob- tenção da solução numérica, mas a função objetivo e os valores dos eventos não sofreram alterações significativas. As variações nos parâmetros, retornaram o valor de IFAIL = 3 o que significa, de acordo com o código DIRCOL, que a solu- ção não convergiu pois não foi possível achar uma solução ótima que atendesse as restrições. As trajetórias de estado e controle são apresentadas nas Figuras (4.11) - (4.12).
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 C o n c e n t r a ç õ e s ( m o l / L ) Tempo (h)
Este Trabalho Srinivasan et al, 2003 C A (t) C A (t) C B (t) C B (t) C C (t) C C (t) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 C o n c e n t r a ç õ e s ( m o l / L ) Tempo (h) Este trabalho C A (t) C B (t) C C (t) DIRCOL C A (t) C B (t) C C (t)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 C o n t r o l e ( L / h ) Tempo (h) Este trabalho Srinivasan et al, 2003 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 C o n t r o l e ( L / h ) Tempo (h) Este trabalho DIRCOL
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 77,0 77,5 78,0 78,5 79,0 79,5 80,0 T e m p e r a t u r a ( º C ) Tempo (h)
Figura 4.13: Caso 3 - Perfil da Temperatura.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 V o l u m e ( L ) Tempo (h) Este trabalho DIRCOL
Neste capítulo foram realizados três estudo de casos que apresentaram resultados satisfatórios em relação aos encontrados na literatura. Foram considerados para os casos resolvidos valores iniciais para os eventos de acordo com a literatura. Testes para a análise da convergência do método foram realizados e para os casos considerados, os valores iniciais para os eventos podem aumentar o número de iterações necessárias para a solução numérica do problema. Um teste alterando os valores dos parâmetros do último caso foi feito para avaliar se possui sensibilidade paramétrica na solução dos problema.
A solução numérica através do código DIRCOL para os casos descritos por Srini- vasan et al. (2003) foi realizada utilizando a formulação multi-fásica com estimativas iniciais para os eventos, e mostrou-se bastante eficaz para a solução dos problemas através do método direto. No apêndice B, é apresentada a formulação no código DIRCOL para o caso 3.
A solução de PCO utilizando a parametrização dos eventos requer a sequência de mudanças entre as fases, fazendo com que este método torne-se de uso restrito. Neste estudo de casos considerou-se problemas com apenas uma variável manipulada, devido a dificuldade de estender esta abordagem para sistemas com múltiplas entradas, apenas analisando fisicamente o problema e considerando as ativações e desativações das restrições ao longo da trajetória.
Conclusões e Sugestões
5.1 Conclusões
Nesta dissertação a abordagem algébrico-diferencial da solução de Problemas de Con- trole Ótimo sujeitos a restrições de desigualdade foi associada com a técnica de para- metrização de Eventos desenvolvida originalmente para Problemas Chaveados, com o objetivo de estimar os Eventos utilizando o Método Indireto de solução. Para isto, foi utilizada a determinação de Funções Identificadoras de Fase que expressam a variável de controle analiticamente em cada fase, baseada na condição de otimalidade e na aná- lise física do problema para distinguir seqüências apropriadas de ativação/desativação das restrições, que causam flutuações no índice diferencial das equações.
A geração do sistema equivalente parametrizado composto pelas equações de es- tado, co-estado e estacionariedade, condições de contorno e continuidade além das di- ferenciações das variáveis de estado e controle em relação a cada evento, feita através das equações de sensibilidade foram geradas simbolicamente a partir de uma interface específica desenvolvida em Maple°R 9.5 para sistemas chaveados. Para um sistema
chaveado de pequena dimensão, composto de 3 sub-sistemas com 2 equações em cada um, gera-se um sistema parametrizado correspondente composto de 36 equações. Esta tarefa trabalhosa de geração deste sistema foi eliminada com a implementação do có- digo EVENTS, viabilizando a aplicabilidade desta metodologia para sistemas de maior dimensão.
A atualização de ferramentas automáticas para o estudo de PCOADs foi rea- lizada, unindo códigos que fazem a caracterização das EADs em relação ao índice, resolubilidade e condições iniciais consistentes (INDEX), a implementação simbólica do algoritmo de Gear que reduz o índice e gera o sistema de índice 1 correspondente, feito pelo código ACIG e a geração das condições de otimalidade estendidas, atra- vés das equações de Euler-Lagrange, obtidas pela aplicação do Princípio do Mínimo de Pontryagin através do código OTIMA. Estas ferramentas, juntamente com o có- digo EVENTS foram associadas numa interface amigável com o usuário, denominada OpCol.
A solução numérica dos PCOADs foi feita através de um método direto com para- metrização nas variáveis de controle e nas variáveis de estado implementados no código DIRCOL utilizando uma formulação multifásica, com estimativa das variáveis adjun- tas e dos Eventos. A solução obtida foi comparada com a obtida com um algoritmo implementado em MATLAB°R 6.0, que resolve um problema de valor no contorno que
corresponde ao sistema parametrizado pelos eventos.
Os PCOADs que compuseram os estudos de casos desta dissertação foram escolhi- dos para representar casos típicos com flutuação de Índice que pudessem ser associados à metodologia de parametrização utilizada originalmente para os PCO chaveados. A comparação entre os resultados obtidos pelo método direto e pelo método indireto as- sociado à parametrização mostra que nos casos estudados os dois métodos apresentam desempenho satisfatório, ressaltando que questões ligadas ao refinamento da discreti- zação, estimativa das variáveis adjuntas, dos Eventos, do estado e do controle em cada fase no caso da DIRCOL e sensibilidade do método indireto às estimativas iniciais dos Eventos e a dificuldade de obtenção de Funções Identificadoras de Fase analiticamente para sistemas de maior dimensão devem ser cuidadosamente consideradas na solução de novos PCOADs.
Uma contribuição significativa desta Dissertação foi demonstrar através da im- plementação prática a equivalência entre sistemas híbridos com comportamento con- tínuo/discreto acoplados e os PCOAD com restrições de desigualdade que causam flutuação no índice diferencial, identificada pioneiramente por Feehery (1998).
5.2 Sugestões
• Avaliar o desempenho dos métodos direto e indireto para sistemas de grande dimensão;
• Estudar algoritmos de aceleração da convergência do método numérico de solução do sistema parametrizado;
• Avaliar o efeito da seqüência de ativação e desativação das restrições pré-definida sobre os resultados obtidos;
• Aprimorar a interface Opcol desenvolvida, criando alternativas de entrada de dados e de impressão de resultados e promovendo o acoplamento entre as ferra- mentas que a compõem;
• Estender o método indireto com parametrização de Eventos para problemas com múltiplas entradas e restrições.
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Manual - OpCol
Neste apêndice é apresentado um manual para o usuário conhecer a interface, a entrada de dados e geração de resultados do OpCol. A tela principal do programa é mostrada na Figura A.1. Nesta tela é possível selecionar qual código o usuário deseja utilizar. A seleção é feita clicando no botão de cada código. As Figuras A.2 - A.5 apresentam a tela de entrada do código INDEX, OTIMA, ACIG e EVENTS, respectivamente.
Figura A.2: Tela de Entrada do Código INDEX.
Figura A.3: Tela de Entrada do Código OTIMA.
Cada tela possui as seguintes opções:
•Examples - Apresenta um banco de dados para cada código.
•Via own data files - O usuário pode entrar com um arquivo próprio através desta opção, de acordo com a sintaxe utilizada em cada código (Figura A.6).
Para o código INDEX, a opção Examples possui o seguinte banco de dados, des- crito em (MURATA, 1996):
Figura A.4: Tela de Entrada do Código ACIG.
Figura A.5: Tela de Entrada do Código EVENTS.
•Index 0
1.Van der Pol - Hairer e Wanner (1993) •Index 1
1.Adsorption column - Von Meien e Biscaia (1994) 2.From Pantelides - Pantelides (1988)
Figura A.6: Entrada via arquivo do usuário.
•Index 2
1.From Pantelides - Pantelides (1988)
2.Trajectory prescribed path control - Brenan et al (1989) 3.CSTR with temperature control - McLellan (1994) 4.Condenser with fixed volume - Unger et al (1995) •Index 3
1.CSTR with temperature control - McLellan (1994) 2.The pendulum model - Brenan et al (1989)
que pode ser selecionado como mostra a Figura A.7. Ao selecionar um exemplo, ativa- se a tela de opções (Figura A.8).
O código ACIG possui o mesmo banco de dados do código INDEX, mas não apresenta a tela de opções. A tela de seleção de exemplos do código OTIMA é mostrada na Figura A.9.
O código EVENTS apresenta como banco de dados os exemplos descritos em (XU, 2001) e podem ser selecionados como mostra a Figura A.10. Ao selecionar um
exemplo, dos códigos ACIG, OTIMA e EVENTS, ativa-se a tela de resultados (Figura A.11).
Para se fazer a geração de resultados, basta clicar no botão Run. Para selecionar outro exemplo, basta selecionar a opção Restart e para finalizar a interface, seleciona-se o botão Exit.
Figura A.7: Tela de seleção - INDEX.
Figura A.9: Tela de seleção - OTIMA.
DIRCOL
B.1 Aspectos Gerais
O código DIRCOL 2.1 foi desenvolvido por Stryk (1999) e utiliza um método direto de colocação para a discretização das variáveis de controle e de estado do problema de controle ótimo de dimensão infinita, que é transformado numa seqüência de problemas de otimização sujeito a restrições não lineares de dimensão finita (Problema de Pro- gramação Não Linear). Este código não exige a aplicação da teoria de Controle Ótimo ou o desenvolvimento das equações diferenciais adjuntas para a sua aplicação. O pro- blema de Programação Não Linear (NLP) resultante pode ser resolvido pelo método de Programação Quadrática Seqüencial implementado no código NPSOL, aplicável a sistemas densos, ou pelo código SNOPT aplicado a sistemas esparsos. O DIRCOL 2.1 pode tratar sistemas multifásicos e problemas com descontinuidades no lado direito das equações diferenciais, além de fornecer estimativas confiáveis das variáveis adjuntas e das funções multiplicadoras das restrições de estado (STRYK, 1999).
A Figura (B.1) mostra esquematicamente a estrutura do código DIRCOL 2.1 . A subrotina USER.F é a subrotina que deve ser fornecida pelo usuário, específica para o problema tratado.
A seguir são descritas as subrotinas que compõem o código DIRCOL e os arquivos de entrada e saída de dados.
Figura B.1: Estrutura do DIRCOL 2.1.