4.1 Revis˜ ao de Literatura
4.2.1 Caso univariado Mistura normal-log-normal
A ideia para a constru¸c˜ao de uma distribui¸c˜ao alternativa `a distribui¸c˜ao normal assim´etrica ´e usar no lugar de |U | na equa¸c˜ao (4.1), uma vari´avel U que segue uma distribui¸c˜ao log-normal. A distribui¸c˜ao desta nova vari´avel aleat´oria ser´a denominada distribui¸c˜ao de mistura normal-log-normal.
mistura normal-log-normal padr˜ao ent˜ao Y pode ser escrita na forma: Y = δU + (1 − δ2)1/2V,
onde δ = √α
1+α2 e α ∈ R. As vari´aveis U e V s˜ao independentes, ln(U ) e V seguem uma distribui¸c˜ao normal padr˜ao.
A nota¸c˜ao adotada ser´a: Y ∼ N LN (α). A fun¸c˜ao de densidade de probabilidade de Y n˜ao tem uma forma anal´ıtica conhecida e pode ser descrita por
f (y) = Z ∞ 0 1 2uπ√1 − δ2 exp −1 2 (ln(u))2+ (δu − y) 2 1 − δ2 du. (4.3)
Ser˜ao apresentadas algumas propriedades da distribui¸c˜ao de mistura normal-log- normal padr˜ao, s˜ao elas:
(a) E(Y ) = δe1/2;
Demonstra¸c˜ao: E(Y ) = E[δU + (1 − δ2)1/2V ] = δE(U ) + (1 − δ2)1/2E(V ) = δe1/2.
(b) V ar(Y ) = δ2e(e − 1) + (1 − δ2);
Demonstra¸c˜ao: V ar(Y ) = V ar[δU + (1 − δ2)1/2V ] = δ2V ar(U ) + (1 − δ2)V ar(V ) =
δ2e(e − 1) + (1 − δ2) .
(c) Se a vari´avel Y ∼ N LN (0) ent˜ao Y ∼ N (0, 1);
(d) Se Y ∼ N LN (α) ent˜ao −Y ∼ N LN (−α);
Demonstra¸c˜ao: Pela Defini¸c˜ao 1, −Y = −δU − (1 − δ2)1/2V = −δU + (1 − δ2)1/2V∗ em
que V∗ = −V ∼ N (0, 1) portanto, Y ∼ N LN (−α).
Para o melhor conhecimento das caracter´ısticas da distribui¸c˜ao proposta, foram cal- culados o coeficiente de assimetria e a curtose que s˜ao definidos nas seguintes proposi¸c˜oes. As demonstra¸c˜oes podem ser vistas no Apˆendice B.
Proposi¸c˜ao 2. Seja uma vari´avel aleat´oria Y ∼ N LN (α) ent˜ao seu coeficiente de assi- metria ´e dado por:
γ3{N LN } =
δ3(e9/2− 3e5/2+ 2e3/2)
[δ2(e2− e) + 1 − δ2]3/2.
Proposi¸c˜ao 3. Seja uma vari´avel aleat´oria Y ∼ N LN (α) ent˜ao sua curtose ´e dada por: Kurt{N LN } =
δ4(e8− 3e2− 4e5+ 6e3 − 6e) + δ2(1 − δ2)(6e2− 12e) + 3(1 − δ2)2+ 6δ2e
[δ2(e2− e) + 1 − δ2]2 .
Note que o parˆametro α ∈ R est´a presente tanto no coeficiente de assimetria quanto na curtose da distribui¸c˜ao, atrav´es do parˆametro δ que ´e uma fun¸c˜ao de α. Com isso, pode-se dizer que o parˆametro α caracteriza a forma da distribui¸c˜ao de mistura normal- log-normal padr˜ao, sendo ent˜ao denominado parˆametro de forma da distribui¸c˜ao.
Estudando com mais cuidado as proposi¸c˜oes 2 e 3, obtem-se caracter´ısticas interes- santes da distribui¸c˜ao. Pode-se verificar que os limites do coeficiente de assimetria est˜ao entre (−8, 877; 8, 877) o que faz com que a distribui¸c˜ao seja mais flex´ıvel que a distribui¸c˜ao normal assim´etrica. As provas destes limites s˜ao dadas por:
lim δ→1γ3{N LN } = limδ→1 δ3(e9/2− 3e5/2+ 2e3/2) [δ2(e2− e) + 1 − δ2]3/2 = e9/2− 3e5/2+ 2e3/2 (e2 − e)3/2 = 8, 877; lim δ→−1γ3{N LN } = limδ→−1 δ3(e9/2− 3e5/2+ 2e3/2) [δ2(e2− e) + 1 − δ2]3/2 = −(e9/2− 3e5/2+ 2e3/2) (e2− e)3/2 = −8, 877.
O mesmo pode ser feito com a medida da curtose. Pode-se verificar que os limites da curtose est˜ao entre (0; 113, 93) o que torna a distribui¸c˜ao ainda mais flex´ıvel. Pois al´em de incorporar comportamentos mais assim´etricos, a distribui¸c˜ao tamb´em considera caudas mais pesadas que a distribui¸c˜ao normal assim´etrica. A prova do limite m´aximo ´e dada por:
lim
δ→±1Kurt{N LN } =
e8− 3e2− 4e5+ 6e3
A Defini¸c˜ao 1 pode ser generalizada agregando parˆametros de escala e de loca¸c˜ao a distribui¸c˜ao normal-log-normal padr˜ao.
Defini¸c˜ao 2. Seja Y uma vari´avel aleat´oria tal que se Y ∼ N LN (α) ent˜ao a vari´avel aleat´oria Z escrita na forma:
Z = µ + σY,
segue uma distribui¸c˜ao Z ∼ N LN (ν, σ, α) em que o parˆametro de loca¸c˜ao µ ∈ R e o parˆametro de escala σ > 0.
Usando as propriedades da m´edia e de variˆancia, obtem-se que:
E(Z) = E(µ + σY ) = µ + σE(Y ) = µ + σδe1/2,
V ar(Z) = V ar(µ + σY ) = σ2V ar(Y ) = σ2δ2e(e − 1) + σ2(1 − δ2).
A seguir ´e realizada uma compara¸c˜ao entre a distribui¸c˜ao que acaba de ser proposta com a distribui¸c˜ao normal assim´etrica.
Compara¸c˜oes entre a distribui¸c˜ao de mistura normal-log-normal e a normal assim´etrica
Os gr´aficos das fun¸c˜oes de densidade de probabilidade das duas vari´aveis aleat´orias em quest˜ao s˜ao apresentados na Figura 4.1. O intuito ´e analisar o comportamento e a diferen¸ca entre as duas distribui¸c˜oes. Na Figura 4.1 s˜ao considerados diferentes valores para o parˆametro de forma, α. Para a constru¸c˜ao dos gr´aficos das fun¸c˜oes de densidade da vari´avel normal-log-normal foi usada a Defini¸c˜ao 1 para a gera¸c˜ao dos dados e foi feita uma aproxima¸c˜ao atrav´es do uso de kernels Gaussianos.
Pode ser visto na Figura 4.1 que para todos os diferentes parˆametros de forma, a distri- bui¸c˜ao de mistura normal-log-normal apresenta uma cauda mais pesada e uma assimetria mais acentuada que a distribui¸c˜ao normal assim´etrica. Para confirmar as caracter´ısticas
das distribui¸c˜oes assim´etricas foram calculados os coeficientes de assimetria e a curtose das duas distribui¸c˜oes para diferentes valores do parˆametro de forma (α).
Na tabela 4.1 s˜ao apresentados os valores do coeficiente de assimetria das distribui¸c˜oes normal assim´etrica padr˜ao e normal-log-normal padr˜ao. Vale ressaltar que a tabela se restringe a valores positivos para o parˆametro α, pois para os respectivos valores negativos de α, os coeficientes ser˜ao negativos tamb´em. Observando a tabela 4.1 pode-se dizer que o coeficiente de assimetria da normal assim´etrica padr˜ao n˜ao varia tanto com grandes varia¸c˜oes do parˆametro α. O mesmo n˜ao ocorre para a distribui¸c˜ao de mistura normal- log-normal pois grandes varia¸c˜oes no parˆametro levam tamb´em a grandes varia¸c˜oes no coeficiente de assimetria.
Tabela 4.1: Coeficiente de assimetria das distribui¸c˜oes assim´etricas
α 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 1.5 2 10 20
NA(α) 0 0.0002 0.0017 0.006 0.013 0.024 0.14 0.30 0.45 0.95 0.98 NLN(α) 0 0.06 0.39 0.99 1.73 2.45 4.63 5.40 5.72 6.16 6.18
A tabela 4.2 apresenta os valores da curtose, para diferentes valores de α, para as duas distribui¸c˜oes: normal assim´etrica padr˜ao e a normal-log-normal padr˜ao. Lembrando que a curtose ´e uma medida que est´a relacionada com as caudas da distribui¸c˜ao da vari´avel aleat´oria. Quando α = 0 ambas as distribui¸c˜oes s˜ao sim´etricas e, portanto, o valor da curtose ´e igual a 3, que ´e o valor da distribui¸c˜ao normal. Analisando a tabela 4.2 nota-se que a distribui¸c˜ao de mistura normal-log-normal assume maiores valores para a curtose e que mudan¸cas pequenas para o valor de α acarreta em valores muito diferentes para a curtose. Verifica-se que a distribui¸c˜ao de mistura normal-log-normal apresenta caudas mais pesadas que a da distribui¸c˜ao normal assim´etrica.
Tabela 4.2: Curtose das distribui¸c˜oes assim´etricas
α 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1 1.5 2 10
NA(α) 3 3.00001 3.0002 3.009 3.003 3.006 3.06 3.17 3.30 3.82 NLN(α) 3 3.22 5.75 12.72 23.29 35.20 78.26 95.50 102.95 113.47
Densidade −4 −2 0 2 4 6 0.0 0.2 0.4 0.6 Normal Padrão NA(3) NLN(3) Densidade −4 −2 0 2 4 6 0.0 0.2 0.4 0.6 Normal Padrão NA(5) NLN(5) Densidade −6 −4 −2 0 2 4 0.0 0.2 0.4 0.6 Normal Padrão NA(−10) NLN(−10) Densidade −6 −4 −2 0 2 4 0.0 0.2 0.4 0.6 Normal Padrão NA(−15) NLN(−15)
Figura 4.1: Gr´aficos das fun¸c˜oes de densidade de probabilidade das vari´aveis que se- guem uma distribui¸c˜ao normal assim´etrica e normal-log-normal, variando o parˆametro de forma. A distribui¸c˜ao normal serviu como base de compara¸c˜ao. Os parˆametros de posi¸c˜ao e escala foram fixados em µ = 0 e σ = 1.
As caudas mais pesadas e a flexibilidade na assimetria da distribui¸c˜ao de mistura normal-log-normal motivam a constru¸c˜ao do modelo normal-log-normal espacial. Por- tanto, usando esta distribui¸c˜ao e seguindo a ideia de Zhang e El-Shaarawi (2010) em modelar a distribui¸c˜ao marginal para cada localiza¸c˜ao ´e proposta uma nova abordagem a seguir.