Triângulos são polígonos, portanto, para que dois triângulos sejam congruentes precisamos ter lados correspondentes congruentes e ângulos correspondentes congruentes.
Para decidirmos se dois triângulos são ou não congruentes, precisamos verificar 6 condições:
• 3 congruências entre lados correspondentes;
• 3 congruências entre ângulos correspondentes.
No entanto, os triângulos apresentam características que permitirão reduzir esse trabalho. Para lembrar...
Condição de existência de um triângulo
Vimos no 7o ano que só é possível construir um triângulo se a medida do maior lado for menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Esse fato será importante, pois vamos construir alguns triângulos.
Caso LLL
Construímos um triângulo com palitos de sorvete.
Faça um igual e verifique que não é possível deformar o triângulo. Quando fixamos as medidas dos lados de um triângulo, automa- ticamente fixamos as medidas de seus ângulos, por isso ele não pode ser deformado.
Isso significa que, para saber se dois triângulos são congruentes, podemos verificar se seus lados são respectivamente congruentes. Se forem, os ângulos também serão, e teremos dois triângulos congruentes.
É isso o que diz o caso LLL (lado-lado-lado) de congruência de triângulos:
Dois triângulos que têm os lados correspondentes congruentes são congruentes. Veja os triângulos ABC e DEF, eles apresentam lados respectivamente congruentes.
4 cm 4 cm 3,5 cm 3,5 cm 2,5 cm 2,5 cm A D E F B C
Esse fato garante que os ângulos correspondentes também são congruentes, e podemos concluir que os triângulos são congruentes. Escreveremos assim:
ABC DEF pelo caso LLL (Lê-se: caso lado-lado-lado.)
DAE
194
5ª PROVA
ANDERSON
Apanhe seu material de desenho. Vamos construir um triângulo ABC dadas as medidas de seus lados: AB 2,8 cm, AC 3,2 cm e BC 4 cm.
O triângulo ABC que você construiu é congruente ao que construímos aqui e é congruente aos que seus colegas construíram, pelo caso LLL.
A B
40°
A B
Este triângulo existe, pois o maior
lado mede 4 cm e 4 < 2,8 3,2.
Caso ALA
Vamos construir com régua e compasso o triângulo ABC, sendo dadas as medidas:
AB 4 cm
ˆ
A 40º
ˆ
B 60º
Faça também a construção em seu caderno. Traçamos o lado tABu.
Com transferidor traçamos o ângulo de 40º com
vértice em A e, em seguida, o ângulo de 60º com vértice em B. Observe que, traçando esses elementos, o vértice C fica determinado, fixando as medidas de tACu, tBCu e C.
ˆ
O triângulo que você construiu em seu caderno é congruente ao triângulo ABC traçado por nós e é congruente aos triângulos traçados pelos seus colegas. Confira!
Verificamos o caso ALA (ângulo-lado-ângulo) de congruência de triângulos:
Dois triângulos que têm dois ângulos e o lado compreendido entre eles respectivamente congruentes são congruentes.
B C B C
A
B C
1. Traçamos o lado BC. Dois vértices estão determinados. Só falta determinar o vértice A. Você pode começar traçando qualquer lado.
2. Usando a régua, abra o compasso até a marca de 2,8 cm. Com a ponta seca em B, trace um arco.
3. Agora com abertura igual a 3,2 cm, medida na régua, e ponta seca em C, trace outro arco. Determinamos o ponto A e traçamos o triângulo ABC.
60° 40° C A B Ilustr ações: Hélio Senatore DAE DAE PMR8_191_203.indd 194 3/19/12 10:10 AM
T R I Â N G U L O S : C O N G R U Ê N C I A E P O N T O S N O T Á V E I S
195
5ª PROVA
ANDERSON
A congruência desses pares de elementos garante a congruência dos demais pares.
Podemos concluir que esses triângulos são congruentes. Escrevemos assim:
PQR STU pelo caso ALA (Lê-se: caso ângulo-lado-ângulo.)
Nos triângulos PQR e STU, temos: Pˆ Sˆ
Rˆ Uˆ tPRu tSUu
Atenção: ao nomear os triângulos, siga a
correspondência entre os ângulos: P → S
Q → T R → U
Por isso, escrevemos PQR STU com os vértices nessa ordem.
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Caso LAL
Vamos a mais uma construção. Faça em seu caderno. Agora traçaremos o triângulo DEF, dados:
DE 5 cm D
ˆ
45º DF 3 cmTraçamos o lado tDEu e o ângulo de 45º com vértice em D. Como DF 3 cm, determinamos o vértice F e automatica- mente ficam determinadas as medidas de tEFu , F e
ˆ
E .ˆ
O triângulo que você construiu é congruente ao triângulo DEF que nós construímos, e é congruente aos triângulos tra- çados por seus colegas. É importante conferir essa conclusão.
Verificamos o caso LAL (lado-ângulo-lado) de congruência de triângulos:
Dois triângulos que têm dois lados e o ângulo formado por eles respectivamente con- gruentes são congruentes.
45° D 5 cm E 45° 3 cm D 5 cm E F P Q 110° 110° 35° 35° R S U T 4 cm 4 cm Ilustr ações: DAE PMR8_191_203.indd 195 3/19/12 10:10 AM
196
5ª PROVA
ANDERSON
Veja este exemplo:
Nesses triângulos, temos: ON RQ
OM RP O R
A congruência desses pares de elementos garante a congruência dos demais pares.
Os triângulos ONM e RQP são congruentes. Escrevemos: ONM RQP pelo caso LAL. (Lê-se: caso lado-ângulo-lado.)
M Q R P O 3 cm 3 cm 2 cm 2 cm N
ˆ
ˆ
Daniel precisa descobrir se os triângulos ABC e DEF abaixo são congruentes.
Veja como ele pensou, junte-se a um colega, tentem descobrir que ideia Daniel teve e descubram se os triângulos são congruentes.
Já sei! Tive uma ideia... Se o ângulo C fosse congruente
ao ângulo F, eu poderia afirmar que os triângulos são congruentes pelo caso
ALA. Mas os ângulos C e F não foram dados...
ˆ ˆ
ˆ ˆ
Daniel lembrou que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º e determinou c 120º e f 120º. Daí escreveu:
BC EF B E C F
E concluiu que os triângulos são congruentes pelo caso ALA.
^ ^ ^ ^ 30° 30° 3,5 cm 3,5 cm A C B D F E 30° 30° c f
Os casos de congruência permitem verificarmos se dois triângulos são congruentes a partir da congruência de 3 elementos correspondentes.
Hélio Senatore Hélio Senatore Ilustr ações: DAE PMR8_191_203.indd 196 3/19/12 10:10 AM
T R I Â N G U L O S : C O N G R U Ê N C I A E P O N T O S N O T Á V E I S
197
5ª PROVA
ANDERSON É, mas dá para determinar a medida dos ângulos B e E.ˆ ˆ
Bom... Não observei ocaso LLL, LAL ou ALA.
Observe os triângulos abaixo. Sem fazer medições, podemos concluir que os triângulos são con- gruentes? 70º 50º A B C 4 cm 70º 50º D E F 4 cm
Exatamente! Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º, desco- brimos que B 60º e E 60º.
Com essa informação podemos concluir que o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF, pelo caso ALA, pois:
CB FE C F B E
ˆ
ˆ
Assim como escrevemos ABC, devemos escrever DEF respeitando a correspondência entre os ângulos.
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Se dois triângulos têm um lado, um ângulo com o vértice neste lado e o ângulo oposto ao lado respectivamente
congruentes, então os triângulos são congruentes. Isso mesmo! Sua conclusão está correta! Ilustr ações: Lápis Mágico DAE PMR8_191_203.indd 197 3/19/12 10:10 AM
198
5ª PROVA
ANDERSON
Exercícios
6 (Saresp) Na figura, os segmentos AE e ED têm a mesma medida.
Qual o valor de x? 3 cm 2x 10 16
1 Responda.
2 Observe os pares de triângulos a seguir e anote no caderno os que são congruentes, considerando apenas as indicações dadas.
3 Na figura existem dois triângulos con- gruentes. Quais são eles? ABC e ADC
4 Se você sabe que dois triângulos têm os três ângulos medindo respectivamente 40o, 60o e 80o, pode concluir que esses triângulos são congruentes? Não.
5 (Saresp) Nos triângulos LUA e AMO os elementos congruentes estão assinalados com marcas iguais.
a) Dois triângulos congruentes têm o mesmo perímetro? Sim.
b) Dois triângulos congruentes têm a mesma área? Sim.
c) Para verificar se dois triângulos são con- gruentes, é necessário verificar a congruên- cia dos seis elementos (3 lados e 3 ângulos)?
Não. Sabendo-se que UA 10 cm e LA 8 cm, responda: a) Quanto mede AO ? 8 cm b) Quanto mede MO ? 10 cm a) b) c) d) Sim. Sim. Não. Sim. 3 4 5 5 3 4 80o 60o 50o 60o 120o 30o 4 120o 4 30o 3 4 100o 4 100o 3 A B E C D 5 5 5 6 3 3 3 80o 40o 60o L U A M O A C B D 16 cm E 2x 10 20o 20o Ilustr ações: DAE PMR8_191_203.indd 198 3/19/12 10:10 AM
T R I Â N G U L O S : C O N G R U Ê N C I A E P O N T O S N O T Á V E I S
199
5ª PROVA
ANDERSON