Causalidade, Estabilidade e Passividade

O modelo de um transformador de potência, além de caracterizar numericamente seu comportamento em ampla faixa de frequências, deve garantir a preservação de suas características físicas. Caso o sistema linear invariante no tempo (LIT) representado pela matriz de admitâncias do transformador perca essas características durante o processo de medição ou de síntese do modelo equivalente, muito provavelmente uma série de inconsistências surgirão em simulações no domínio do tempo (SILVA, 2014). Neste contexto, são introduzidos os conceitos de causalidade, estabilidade e passividade que os modelos devem atender de modo a garantir sua consistência física.

Sistemas lineares invariantes no tempo obedecem aos princípios de homogeneidade e superposição. O princípio da superposição dita que se aplicada uma

excitação em um sistema linear que provoque uma resposta , e uma excitação onde se observe uma resposta , espera-se que a aplicação do sinal resulte em uma saída . Da mesma forma, a aplicação de um sinal multiplicado por uma constante deve resultar na mesma saída anterior multiplicada pela mesma constante.

A transformada de Laplace é uma ferramenta importante na análise de sistemas lineares invariantes no tempo (LIT), uma vez que transforma uma equação diferencial no domínio do tempo em equações algébricas no domínio . Nesse domínio, uma definição importante a ser apresentada é relativa à região de convergência (ROC) no plano complexo ( ). A ROC é descrita por faixas paralelas ao eixo imaginário e representa os valores de para os quais a transformada bilateral de Laplace, determinada pela equação (2.24), converge absolutamente. Além disso, ela desempenha um papel fundamental na caracterização da causalidade e estabilidade do modelo (TRIVERIO et al., 2007).

{ } ∫

Um sistema é considerado causal, ou não antecipativo, se sua saída depende unicamente das entradas atuais ou passadas. Sendo assim, nenhum efeito pode preceder o que lhe causou. Um sistema LIT é dito causal se, e somente se, os elementos da sua resposta ao impulso não existem para , ou seja, são nulos.

No domínio de Laplace, um sistema LIT é causal se a ROC de cada elemento da matriz de transferência for definida como um semiplano aberto à direita, ou seja, um semiplano à direita do polo mais à direita (TRIVERIO et al., 2007). A Figura 2.3 ilustra este conceito.

O conceito de estabilidade, do ponto de vista físico, está relacionado aos limites da resposta de um sistema, sendo que toda saída é limitada para toda entrada limitada. Para um sistema LIT, a estabilidade é garantida se, e somente se, sua resposta ao impulso for integrável de a , com resultado finito.

Figura 2.3. Função de transferência causal, com todas as singularidades confinadas no semi-plano direito (TRIVERIO

et al., 2007)

A técnica de ajuste vetorial garante a estabilidade do modelo gerado verificando apenas se a parte real dos polos do sistema é negativa, ou seja, se todos se encontram no semiplano esquerdo do plano complexo. Para sistemas causais, essa definição está em concordância com a definição formal apresentada no parágrafo anterior.

Por fim, o critério de passividade indica que um sistema pode ser considerado passivo se ele é incapaz de produzir energia. Um sistema LIT é dito passivo se a quantidade de energia absorvida pelo sistema é sempre positiva, conforme descrito na equação abaixo,

∫

para todo e todas tensões e correntes terminais admissíveis (TRIVERIO et

al., 2007).

A integral da equação (2.25) representa a energia consumida pelo sistema LIT até o instante . Em um sistema passivo, esta energia deve ser positiva para todo e essa condição só é possível se os seguintes requisitos forem atendidos:

 O sistema absorve mais energia do que gera;

 Uma possível geração de energia ocorre após a absorção de energia. Dessa forma, e com essas considerações, um sistema que garanta a passividade também garante a causalidade.

O critério de passividade é, portanto, o requisito mais importante para garantir a consistência física de um dado modelo, uma vez que passividade implica causalidade e estabilidade (TRIVERIO et al., 2007).

Vale notar que mesmo que a rotina de ajuste vetorial garanta apenas polos estáveis, ela não garante simulações estáveis no domínio do tempo, uma vez que as simulações no domínio do tempo ainda podem estar sujeitas a problemas de instabilidade numérica devido a violações de passividade. Dessa forma, GUSTAVSEN e SEMLYEN (2001) apresentaram uma rotina que força a passividade do sistema.

A metodologia consistia inicialmente em forçar a matriz , composta pelos termos independentes da síntese de , a ser definida positiva. Em um segundo momento, a matriz de condutâncias é também era forçada a ser positiva definida através da correção dos resíduos da aproximação. Essa correção é baseada em uma técnica de linearização que leva a um problema linear e restrito de mínimos quadrados, resolvido por programação quadrática (GUSTAVSEN e SEMLYEN, 2001).

Anos depois, GUSTAVSEN (2008) propôs uma nova técnica para forçar a passividade. A ideia era perturbar a matriz de resíduos e a matriz de forma a minimizar as mudanças nos elementos da matriz de admitâncias, enquanto se forçava o modelo a satisfazer os critérios de passividade, além de garantir que a matriz fosse positiva. Tem-se ainda a vantagem que os autovalores de são perturbados por uma ponderação igual ao inverso de sua magnitude. Um procedimento iterativo mais robusto utiliza um loop interno que adiciona mais restrições se novas violações de passividade forem detectadas, sem atualizar o modelo, e um loop externo gera uma lista de frequências onde a passividade deve ser aplicada.

A rotina para forçar a passividade, denominada RPdriver.m, é de domínio público e está disponível em (GUSTAVSEN, 2013a). Seu parâmetro de entrada é o modelo aproximado pela técnica do Vector Fitting.

Em tese, um sistema real e passivo, cuja resposta em frequência seja medida em laboratório com grande precisão e relação sinal ruído adequada, não necessitaria que sua passividade fosse forçada ao ser aproximado pela técnica de ajuste vetorial (SILVA, 2014). No entanto, por mais que se tente elaborar um modelo a partir de medições com

essas características, na prática é impossível se ter controle total sobre todas as variáveis, ruídos e erros nos sistemas de medição. Isso faz com que o modelo obtido possa levar a simulações instáveis, requerendo que sua passividade seja forçada por meio de artifícios matemáticos (GUSTAVSEN e SEMLYEN, 1998).