Ciclo de Maslov e Focalidade - O índice de Maslov de curvas de subespaços Lagrangeanos

Nsta seção, xaremos um L0 ∈ Λ e deniremos o ciclo de Maslov e o cone tangente a

este, seguido por um Lema que envolve espaço tangente. Ainda introduziremos focali- dade e instantes L0-focais, seguido por uma proposição sobre estes últimos, terminando

com a denição de índice focal para curvas com certas propriedades na Grassmanniana Lagrangeana

Denição 2.7. O ciclo de Maslov associado a L0 é:

Σ(L0) = {L ∈ Λ : L ∩ L0 ̸= {0} =

∪

k≥1

Λk(L0)}.

Pode-se mostrar que Σ(L0) é uma subvariedade de Λ de codimensão 1 com singu-

laridades, cuja parte suave é Λ1(L0). Para cada L ∈ Σ(L0), o cone tangente a Σ(L0)

em L é denido por

CLΣ(L0) := { ˙ℓ(0) | ℓ : (−ε, 0] −→

∑

(L0)⊂ Λ tal que ℓ(0) = L} ⊂ TLΛ

Lema 2.9. (1) CLΣ(L0) = {b ∈ Sym(L) : b|L∩L0 é degenerada }

(2) Se L ∈ Λ1(L0), então:

CLΣ(L0) = TLΛ1(L0) = {b ∈ Sym(L) : b|L∩L0 ≡ 0}

Não provaremos este Lema, porém uma demonstração faz uso de : Lema 2.10. Considere um subespaço lagrangeano L ∈ Λk(L0), então

TLΛk(L0) = {b ∈ Sym(L) : b|L∩L0 ≡ 0}

onde TLΛk(L0)⊂ TLΛ = Sym(L).

Demonstração: Considere uma curva suave:

ℓ : (−ε, ε) −→ Λk(L0), ℓ(0) = L, (2.11)

como ℓ(t) ∈ Λk(L0), para todo t, ℓ(t) ∩ L0 tem dimensão constante k. Podemos,

vi : I → V é suave e ℓ(t) ∩ L0 = span[v1(t), . . . , vk(t)], ∀ t. Considere A = {b ∈

Sym(L) : b|L∩L0 ≡ 0}. Temos que provar ˙ℓ(0) ∈ A e que dados u0, v0 ∈ L ∩ L0 então

W (0)(u0, v0) = 0. Por hipótese dim(ℓ(t) ∩ L0) = k, ∀t, então ∃ extensão de classe C1

u : (−ε, ε) → V tal que u(t) ∈ ℓ(t) ∩ L0, onde u(0) = u0 ∈ L0, consequentemente,

percebemos que ˙u(t) ∈ L0, ∀t. Daí, W (0)(u0, v0) = ω( ˙u0, v0) = 0, pois L0 ∈ Λ, logo

ℓ(0)∈ A. Como A ⊂ Sym(L0) tem codimensão

k(k + 1)

2 , então A = TLΛK(L0). Denição 2.8. Seja ℓ : I → Λ curva diferenciável;

(1) t0 é L0-focal para ℓ, se ℓ(t0)∩ L0 ̸= {0} (isto é, ℓ(t0)∈ Σ(L0))

(2) Um instante t0, L0-focal, é não-degenerado se, e só se W (t0) |ℓ(t0)∩ L0 for não-

degenerado.

Veja a gura 2.2 abaixo

Figura 2.2: A gura ilustra uma curva que fura o ciclo de Maslov em 3 instantes L0-focais.

Em termos de uma carta (UL0,L1, ϕL0,L1): suponha que a curva ℓ tem traço em UL0,L1

e seja β(t) = ϕL0,L1(ℓ(t))a curva de formas bilineares simétricas em L0 correspondente.

Armamos que, para todo t

W (t)|ℓ(t)∩L0= ˙β(t)|Ker(β(t)) (2.13)

e em consequência, um instante t é L0-focal se, e só se β(t) é degenerada, e é não-

degenerado se, e só se, ˙β |Ker(β(t)) é não-degenerada. Para mostrarmos (2.12), es-

crevendo ℓ(t) = graf(T (t) : L0 → L1), então β(t) = βT (t) = ω(T (t)·, ·). Daí,

Ker(β(t)) = Ker(T (t)) e este último é ℓ(t) ∩ L0.

Proposição 2.5. Se t0 é L0−focal não-degenerado então ∃ ε > 0 tal que ℓ não possui

outros instantes L0−focais em (t0−ε, t0+ε).Daí, em cada intervalo compacto [a, b] ⊂ I,

teremos que ℓ terá uma quantidade nita de instantes L0-focais não-degenerados.

Demonstração: Sera consequência do Lema 3.2 do próximo capítulo.

Segue desta proposição que, para curvas contendo apenas instantes L0-focais não-

degenerados, podemos fazer a seguinte denição.

Denição 2.9. Seja ℓ uma curva suave de [a, b] para Λ cujos instantes L0-focais são

todos não-degenerados. Denimos o seu índice focal por :

if ocal(ℓ, L0) :=

∑

t∈[a,b]

sgn(W (t)|ℓ(t)∩L0). (2.14)

Aqui, estamos utilizando a seguinte notação: se β é uma forma bilinear simétrica num espaço vetorial de dimensão nita, sgn(β) representa a sua assinatura, isto é, o coíndice de β menos o índice de β.

Este conceito será utilizado no próximo capítulo, o mesmo é de muita importância, pois é um invariante topológico por deformações contínuas, bem como o índice de Maslov que será posteriormente relacinado com ele.

Capítulo 3

O Índice de Maslov

Iniciamos este capítulo enunciando um importante Teorema sobre a existência do índice de Maslov. Mostraremos como as propriedades do índice de Maslov implicam numa relação deste com o índice focal denido na Denição 2.9.

Na segunda parte discorreremos sobre o grupo fundamental π1(Λ, L) da Grass-

manniana Lagrangeana e logo em seguida mostraremos como usá-lo para fazer uma construção do índice de Maslov.

3.1 Propriedades do Índice de Maslov

O teorema abaixo caracteriza a função índice de Maslov. Não o demonstraremos aqui, mas o utilizamos para deduzir outras propriedades do índice de Maslov.

Teorema 3.1. Para cada subespaço Lagrangeano L0 ⊂ V, existe uma única função

µL0 :{ℓ : [a, b] → Λ | a, b ∈ R, ℓ é contínua e ℓ(a), ℓ(b) ∈ Λ0(L0)} → Z (3.1)

tal que

(I) Se H : [0, 1] × [a, b] → Λ é uma homotopia entre ℓ0(t) = H0(t) e ℓ1(t) = H1(t) tal

que Hs(a), Hs(b)∈ Λ0(L0) ∀s, então µL0(ℓ0) = µL0(ℓ1).

(III) Se a curva ℓ1∗ ℓ2 estiver denida então µL0(ℓ1∗ ℓ2) = µL0(ℓ1) + µL0(ℓ2)

(IV) Se ℓ : [a, b] → Λ é C1 e é tal que ℓ(t

0) ∈ Λ1(L0) e W (t0) |(ℓ(t0)∩L0)> 0 (positivo

denida) e tivermos ℓ(t) /∈ Σ(L0) se t ̸= t0, então µL0(ℓ) = 1

Na verdade, duas curvas que satisfazem as hipóteses (IV ) do Teorema 3.1 são necessariamante homotópicas. Mais precisamente, provaremos no nal desta seção que:

Proposição 3.2. Se ℓ0, ℓ1 : [a, b] → Λ satisfazem as hipóteses de (IV), então existe

uma homotopia Hs entre ℓ0 e ℓ1 tal que Hs(a), Hs(b)∈ Λ0(L0) ∀s ∈ [0, 1]

O objetivo desta seção é o de estabelecer a seguinte relação entre os índices de Maslov e o índice Focal:

Teorema 3.3. Se ℓ : [a, b] → Λ é uma curva C1, cujos instantes L

0-focais são todos

não-degenerados e, além disso, os extremos ℓ(a) e ℓ(b) estão em Λ0(L0), ou seja, fora

do ciclo de Maslov, então :

µL0(ℓ) = if ocal(ℓ, L0)

= ∑

t∈(a,b)

sgn (W (t)|ℓ(t)∩L0)

As demonstrações da Proposição 3.2 e do Teorema 3.1 serão consequência de uma série de resultados. Começamos estabelecendo algumas notações: se β é uma forma bilinear simétrica num espaço vetorial V , representaremos por n+(β) e n−(β) seus

coíndice e índice, respectivamente :

n+(β) = sup{dim W : W ⊂ V é subespaço e β |W> 0}

n₋(β) = sup{dim W : W ⊂ V é subespaço e β |W< 0}

Lema 3.1. Sejam ℓ1, ℓ2 : [a, b] → Λ contínuas, com extremos em Λ0(L0), e suponha

que elas estão contidas em UL0,L1. Sejam βi(t) = ϕL0,L1(ℓi(t)) para i = 1, 2.

Se n+(β1(t)) = n+(β2(t)) para t = a e t = b, então ℓ1 e ℓ2 são homotópicas por uma

homotopia tal que Hs(a), Hs(b)1 ∈ Λ0(L0) para todo s ∈ [0, 1].

Demonstração: Precisaremos da seguinte armação:

Armação 3.1. Seja Symk,ℓ(Rn) = {B ∈ Sym(Rn) : n+(B ) = k e dim Ker(B ) =

ℓ}. Então Symk,ℓ(Rn) é conexo por caminhos.

Demonstração: Denote por Mk,ℓ a matriz

     Ik Oℓ −In−k−ℓ     .

Pelo Teorema da Inércia de Sylvester, a aplicação

Gℓ+(n) −→ Symk,ℓ(Rn)

Q 7−→ QTMk,ℓQ,

onde Gℓ+(n) ={Q ∈ Mn×n(R) : det(Q) > 0}, é sobrejetiva. Como também é contínua

e Gℓ+(n) é conexo por caminhos, segue o resultado.

Demonstração: (do Lema 3.1). Precisamos construir uma homotopia Hs(t)entre β1

e β2 tal que para todo s:

Hs(a), Hs(b)∈ ϕL0,L1(UL0,L1 ∩ Λ0(L0)) = {β ∈ Sym(L0) : Ker β ={0}},

e denotemos este último por Sym0(L0). Observe que eHs(t) := (1− s)β1(t) + sβ2(t) é

uma homotopia entre β1 e β2 mas pode acontecer de eHs(a), eHs(b) /∈ Sym0(L0). Para

contornar isso, pela hipótese do Lema e pela Armação, podemos escolher caminhos contínuos m1, m2 : [0, 1]→ Sym0(L0)tais que m1(0) = β1(a), m1(1) = β2(a), m2(0) =

β1(b), m2(1) = β2(b).

Sejam f(s) = −s(s − 1), e ηs: [a + f (s), b− f(s)] → [a, b] a reparametrização linear tal

que ηs(a + f (s)) = a e ηs(b− f(s)) = b. A homotopia procurada será:

Hs(t) =              −t + a + f(s) f (s) m1(s) + t− a

f (s)[(1− s)β1(a) + sβ2(a)], se t ∈ [a, a + f(s)]

(1− s)β1(ηs(t)) + sβ2(ηs(t)), se t ∈ [a + f(s), b − f(s)]

−t + b

f (s) [(1− s)β1(b) + sβ2(b)] +

t− b + f(s)

f (s) m2(s), se t ∈ [b − f(s), b].

Segue daí que

Hs(a) = m1(s)∈ Sym0(L0)

O lema a seguir é o coração desta seção. Ele descreve como muda o coíndice de uma curva de formas bilineares simétricas ao passarmos por um instante de degenerecência. Lema 3.2. Seja β : [t0, t1) → Sym(Rn) de classe C1 tal que ˙β |Ker(β(t0)) é não-

degenerada. Então existe ε > 0 sucientemente pequeno tal que β(t) é não-degenerada se

t ∈ (t0, t0+ ε ] e vale que:

n+(β(t)) = n+(β(t0)) + n+( ˙β(t0)|Ker(β(t0))).

Daí se β é C1 _{numa vizinhança de t}

0, então para ε > 0 sucientemente pequeno vale:

n+(β(t0+ ε)) = n+(β(t0− ε)) + sgn( ˙β |Ker(β(t0))).

Antes de demonstrarmos este lema, faremos alguns preliminares sobre formas bili- neares. Lembremos da denição de n+(β) na página 31. Fixada uma norma ∥ · ∥ em

Rn _{podemos denir a norma de β ∈ Sym(R}n₎_{, como}

∥ β ∥ := sup

∥u∥=1, ∥v∥=1 |β(u, v)|< ∞ (3.2)

Se para um intervalo I tivermos que I ∋ t 7→ β(t) é uma curva contínua em Sym(Rn_),

então as funções n+(β(t))e n−(β(t))não decrescem numa vizinhança de cada t0: dado

t0 ∈ I, existe ε > 0 tal que

n+(β(t))> n+(β(t0)

n₋(β(t))> n+(β(t0).

se t ∈ (t0− ε, t0+ ε) (3.3)

Em particular, se β(t) for não-degenerado para todo t, então n+(β(t)) e n−(β(t))

permanecem constantes.

Para mostrarmos (3.3), seja W ⊂ Rn_{com subespaço com dimensão n}

+(β(t0))tal que

β(t0) |W> 0. e S(W) a esfera unitária de W. Como a função S(W) ∋ v 7→ β(t0)(v, v)

é contínua e positiva, e S(W) é compacto, existe c > 0 tal que

β(t0)(v, v)> c para todo v ∈ S(W). (3.4)

Da continuidade de t 7→ β(t), existe ε > 0 tal que ∥ β(t) − β(t0) ∥<

2, se t ∈ (t0 − ε, t0+ ε).Lembrando de (3.2) e (3.4), obtemos que

β(t)(v, v)> c

daí β(t) |W> 0 e portanto n+(β(t))> n+(β(t0).A desigualdade n−(β(t))> n+(β(t0) é

análoga.

O Lema 3.2 será consequência do seguinte caso particular:

Lema 3.3. Se β : [t0, t1) → Sym(Rn) é C1 e β(t) > 0 e ˙β |Ker(β(t0))> 0, então existe

ε > 0 tal que β(t) > 0 se t ∈ (t0, t0+ ε).

Demonstração: Como antes, xemos uma norma em Rn. Seja W um comple-

mento para Ker(β(t0)),e denotemos por S(W ) e S(Ker(β(t0))) as esferas unitária de

W e de Ker(β(t0)). De β(t0) > 0 e W ∩ Ker(β(t0)) = {0}, segue que β(t0)|W> 0.

Como em (3.4), existem c0 > 0 e c1 > 0 tais que

β(t0)(w, w)> c0 para todo w ∈ S(W)

β(t0)(u, u)> c1 para todo u ∈ S(Ker(β(t0))).

(3.6)

Da mesma forma que (3.5), existe ε > 0 tal que

β(t)(w, w)> c0 2 para todo w ∈ S(W) se t ∈ [t0, t0 + ε). (3.7) Escrevamos β(t) = β(t0) + (t− t0) ˙β(t0) + r(t), (3.8) com lim t→t0 r(t) t− t0

= 0. Diminuindo ε, se necessário, podemos supor que

∥ r(t) ∥6 c1

2(t− t0), se t ∈ [t0, t0 + ε). (3.9) Até o nal da demonstração, suporemos t ∈ [t0, t0+ ε).

De (3.9) segue que r(t)(u, u) > −c1

2(t− t0) para todo u ∈ S(Ker(β(t0))). Voltando para (3.8) e usando (3.6), obtemos

β(t)(u, u) > (t − t0)c1−

2(t− t0) (3.10)

= c1

2(t− t0), para todou ∈ S(Kerβ(t0)) Dados u ∈ Ker(β(t0)) e w ∈ W, de (3.8) e (3.9) temos:

| β(t)(u, w) | = | (t − t0) ˙β(t0)(u, w) + r(t)(u, w)|

6 (t − t0)∥ ˙β(t0)∥ +

onde c2 :=∥ ˙β(t0)∥ +

2. Diminuindo ε > 0, podemos garantir que (t− t0)c2 <

√

c0c1

4 (t− t0)

se t ̸= t0, pois segue da garantia de existência de algum ε > 0 tal que (t − t0)2c22 <

β(t)(u + w, u + w) = β(t)(u, u) + β(t)(w, w) + 2β(t)(u, w)

> β(t)(u, u) + β(t)(w, w)− 2√β(t)(u, u)√β(t)(w, w)

= (√β(t)(u, u)−√β(t)(w, w))2 ≥ 0.

(3.13)

Isto mostra que β > 0 se t ∈ (t0, t0+ ε)

A seguinte proposição mostra como calcular explicitamente o índice de Maslov

µL0 de curvas contidas num domínio UL0,L1. Em particular, segue dela a unicidade

mencionada no Teorema 3.1 (para o caso geral de uma curva não contida num domínio de uma carta podemos particioná-la em pedaços contidos em domínios de cartas e usamos a aditividade do índice de Maslov.)

Proposição 3.4. Se uma curva contínua ℓ : [a, b] → Λ é tal que ℓ([a, b]) ⊂ UL0,L1 (

para algum L1) e ℓ(a), ℓ(b) ∈ Λ0(L0), então

µL0(ℓ) = n+(β(b))− n+(β(a)),

onde β(t) = ϕL0,L1(ℓ(t)).

Demonstração: Segue do Lema 3.1 e de (I) do Teorema 3.1 que basta encontrar- mos, para cada i, j = 0, 1, . . . , n, uma curva ℓi,j : [a, b]→ UL0,L1 tal que:

ℓi,j(a), ℓi,j(b)∈ Λ0(L0).

n+(βi,j(a)) = i, n+(βi,j(b)) = j

µL0(ℓi,j) = j− i.

onde βi,j(t) = ϕL0,L1(ℓi,j(t)).Vamos dividir em quatro partes a demonstração, segundo

(1) j = i. Tomamos βi,i(t)≡ B, onde n+(B) = ie Ker(B) = {0}. De II do Teorema

3.1,

µL0(ℓi,i) = 0 = i− i.

(2) j = i + 1. Fixe uma base {f1, . . . , fn} de L0. Com respeito às coordenadas

induzidas por essa base, dena

βi,i+1(t) =                  1 ... 1 t−a+b₂ −1 ... −1                  . (3.14)

Então, n+(βi,i+1(b)) = i + 1, Ker(βi,i+1(a)) = {0} = Ker(βi,i+1(b)). Mostremos

que ℓi,i+1 satisfaz (IV ) do Teorema 3.1 e, portanto, que µL0(ℓi,i+1) = 1 = (i +

1)− i :

ℓi,i+1(t)∩ L0 = Ker(βi,i+1(t)) =

     {0}, se t ̸= a + b 2 Span[fi+1], se t = a + b 2 Também, denotando por t0 =

a + b

2 ,e por Wi,i+1(t)o Wronskiano de ℓi,i+1(t),de (2.13) temos:

Wi,i+1(t0)|ℓi,i+1(t0)∩L0= ˙βi,i+1 |Ker(βi,i+1(t0))=

                 0 ... 0 1 0 ... 0                  |Span[fi+1]> 0.

(3) j > i + 1. Para cada i = 0, . . . , n, xe Bi ∈ Sym(L0)tal que n+(Bi)e Ker(Bi) =

βi,i+1(b) = Bi+1. Sendo eℓi,i+1(t) = (ϕL0,L1)−1( eβi,i+1(t)), então, pelo item anterior

a este, µL0(ℓi,i+1) = 1. Dena então ℓi,j pela concatenação

ℓi,j = eℓi,i+1∗ eℓi+1,i+2∗ . . . ∗ eℓj−1,j.

Segue que n+(ϕL0,L1(ℓi,j(b))) = n+(Bj) = j, n+(ϕL0,L1(ℓi,j(b))) = n+(Bj) = j,

µL0(ℓi,j) = µL0(eℓi,i+1) + . . . + µL0(eℓj−1,j) = j− i. (3.15)

(4) j < i. Segue dos casos anteriores, usando que o índice de Maslov muda de sinal quando tomamos a parametrização reversa de ℓ. (Para tal basta lembrar o item (III) do Teorema 3.1).

Podemos agora demonstrar o Teorema 3.3. Para tal, consideremos uma partição a =

t1 < t2 < . . . < tk+1 = b de [a, b] tal que cada ℓi = ℓ|[ti,ti+1] satisfaz:

(I) ℓi([ti, ti+1])⊂ UL0,Li,para algum Li

(II) Para cada i, ou ℓi está contida em Λ0(L0) ou existe um único ti∗ ∈ (ti, ti+1) tal

que ℓ(t∗

i)∈ Σ(L0).

Como existe a concatenação ℓ = ℓ1∗ ℓ2∗ . . . ∗ ℓk, então

µL0(ℓ) = µL0(ℓ1) + . . . + µL0(ℓk) (3.16)

Seja, para cada i, βi(t) = ϕL0,L1(ℓi(t)). Pela Proposição 3.4,

µL0(ℓi) = n+(βi(ti+1))− n+(βi(ti)) (3.17)

Para cada i tal que exista t∗

i, como temos que ˙βi(t∗i)|Ker(βi(t∗_i)) é não-degenerada (pois esta é igual a Wi(t∗i) |ℓi(t∗i)∩L0 que, por hipótese, é não-degenerada), segue do Lema

(3.2) que existe ε > 0 tal que

n+(βi(t∗i + ε))− n+(βi(ti∗− ε)) = sgn( ˙βi(t∗i)|Ker(βi(t∗i))) = sgn(W (t

∗

De (3.3) e do fato de que ℓi não tem instantes L0-focais em [ti, t∗i − ε] e em [t∗i + ε, ti+1],

segue n+(βi(t∗i + ε)) = n+(βi(ti+1))e n+(βi(t∗i − ε)) = n+(βi(ti))e, portanto,

µL0(ℓ) = sgn(W (t

∗

i)|ℓ(t∗_i)∩L0). (3.18)

Para cada i tal que ℓi([ti, ti+1) ⊂ Λ0(L0), sabe-se que n+(βi(t)) ca constante, e por-

tanto, de (3.17), µL0(ℓi) = 0. O resultado segue agora de (3.16)

Nosso próximo objetivo será a demonstração da Proposição (3.2). Começamos introduzindo, para cada L0 ∈ Λ, o seguinte subgrupo de Sp(V, ω):

Sp+(V, ω, L0) := {T ∈ Sp(V, ω) : T (L0) = L0e det(T|L0) > 0}. (3.19)

Lema 3.4. O grupo Sp+₍_{V, ω, L}

0) é conexo por caminhos.

Demonstração: Podemos supor que (V, ω, L0) = (R2n, ω0, Rn× {0}). Dada

T =   A B C D   , segue de (1.6) que T ∈ Sp+₍R2n_{, ω}

0, Rn× {0}), se, e somente se C = 0, det(A) > 0,

D = A−T e BTD é simétrica. Como Gℓ+(n) é conexo por caminhos, existe caminho

t 7→ At∈ Gℓ+(n), com A0 = Ine A1 = A.Dena Dt:= (At)−T e Bt:= [t.BTD(Dt)−1]T Então, t7−→   At Bt 0 Dt   é uma curva em Sp+₍R2n_{, ω} 0, Rn× {0}) começando em I2n e terminando em T .

Lema 3.5. Se a curva ℓ : [a, b] → Λ satisfaz as hipóteses de (IV ) do Teorema 3.1, e se

T ∈ Sp+₍V, ω, L

0), então existe homotopia Hs(t) entre ℓ(t) e eℓ(t) := T (ℓ(t)) tal que,

para todo s, a curva t 7→ Hs(t) satisfaz as hipóteses de (IV ).

Demonstração: Pelo Lema anterior, exite caminho s 7→ Ts ∈ Sp+(V, ω, L0) com

T0 = IV e T1 = T. Dena então Hs(t) := Ts(ℓ(t)). Resta mostrar que cada curva

ℓs(t) := Hs(t) satisfaz as hipóteses de (IV ) : De Ts(L0) = L0,temos que

daí cada ℓs(t) intersecta Σ(L0) num único instante t0 e dim(ℓs(t0)∩ L0) = 1. Falta

mostrarmos que se 0 ̸= ˜v0 ∈ ℓs(t0)∩L0 então Ws(t0)(˜v0, ˜v0) > 0,onde Ws(t)é o Wrons-

kiano de ℓs(t). Com efeito, por (3.20) temos ˜v0 = Ts(v0) para algum v0 ∈ ℓ(t0)∩ L0.

Aplicando o Lema (2.8), obtemos fWs(t0)(˜v0, ˜v0) = W (t0)(v0, v0)e este último é positivo

pois ℓ(t) satisfaz as hipóteses de (IV )

Demonstração: (da Proposição 3.2);

Sejam t0, t1 ∈ (a, b) os instantes tais que ℓ0(t0)∩ L1 ̸= {0} e ℓ1(t1) ∩ L1 ̸= {0}.

Reparametrizando ℓ1, podemos supor que t0 = t1 = t∗. Também, como dim(ℓ0(t∗)∩

L0) = 1 = dim(ℓ1(t∗)∩ L0), pelo Teorema 1.10 existe T ∈ Sp+(V, ω, L0) tal que

T (ℓ0(t∗)) = ℓ1(t∗). Pelo Lema 3.5, a curva eℓ0 := T (ℓ0(t)) é homotópica a ℓ0(t) por

curvas que satisfazem as hipóteses de (IV ) do Teorema 3.1. Daí, podemos supor que

ℓ0(t∗) = ℓ1(t∗). Sejam L1 subespaço Lagrangeano complementar a L0 e ε > 0 tais que

ℓ0([t∗− ε, t∗+ ε])⊂ UL0,L1 e (3.21)

ℓ1([t∗− ε, t∗+ ε])⊂ UL0,L1 (3.22)

e denotemos por βi(t) = ϕL0,L1(ℓi(t)) quando i = 0, 1. Para prosseguir precisamos da

seguinte armação;

Armação 3.2. Temos que

n+(β0(t∗− ε)) = n+(β1(t∗− ε)) (3.23)

n+(β0(t∗+ ε)) = n+(β1(t∗+ ε)) (3.24)

Demonstração: Por hipótese, Ker(Wi(t∗)|ℓi(t∗)∩L0) ={0}, n+(Wi(t

∗₎_| ℓi(t∗)∩L0) = 1 e n₋(Wi(t∗)|ℓi(t∗)∩L0) = 0, isto é, Ker( ˙βi(t∗i)|Ker(βi(t∗i))) ={0}, n+( ˙βi(t ∗ i)|Ker(βi(t∗i))) = 1 n₋( ˙βi(t∗i)|Ker(βi(t∗i))) = 0 Aplicando o Lema 3.2; n+(βi(t∗+ ε)) = n+(βi)(t∗) + 1 n+(βi(t∗− ε)) = n+(βi)(t∗) + n−( ˙βi(t∗)|Kerβi(t∗)) = n+(βi(t∗))

O resultado segue agora de β0(t∗) = β1(t∗) (pois ℓ0(t∗) = ℓ1(t∗)).

Segue desta armação que podemos aplicar o Lema 3.1 para concluir que as curvas

ℓ0 |[t∗−ε,t∗+ε]e ℓ1 |[t∗−ε,t∗+ε] são homotópicas através de curvas com extremos em Λ0(L0).

No documento O índice de Maslov de curvas de subespaços Lagrangeanos (páginas 36-50)