Cintura de grafos de Ramanujan bipartidos

Tal como referido no primeiro cap´ıtulo, foram vários os autores que apresentaram minorantes, majorantes e resultados exatos para a cintura dos grafos de Ramanujan que serão apresentados nesta seçcão. Comece-se por apresentar algumas defini¸cões (ver [14]) e resultados acerca de Λ(2q) por forma a culminar na apresenta¸cão desses valores para a cintura.

Defini¸cão 3.10 Seja G um grafo e sejam v1, v2 ∈ V (G). Diz-se que G é vértice-

transitivo se existe um automorfismo η : V (G) → V (G) tal que η(v1) = v2, isto ´e o

grupo de automorfismos de G atua transitivamente sobre V (G).

Considerem-se, no que se segue nesta sec¸c˜ao, dois primos distintos p, q ≡ 1 mod 4 tais que q2 _{> p.}

Sendo Xp,qum grafo de Cayley, e por consequência vértice-transitivo (ver [4]), a sua cintura é a distância m´ınima entre um vértice etiquetado com uma matriz identidade e um vértice etiquetado com um elemento não trivial de Λ(2q) na árvore infinita em Λ(2). Daqui por diante dir-se-á que um elemento de Λ(2) está no n´ıvel r se está à distância r da identidade na árvore em Λ(2). Na presen¸ca de um grafo bipartido, esta distância é necessariamente par.

Lema 3.11 [5] Se [b] ∈ Λ(2q) est´a no n´ıvel 2r, para r > 0, ent˜ao

pode ser escolhido tal que:

b0 = ± pr− mq2 ,

onde m > 0 ´e par.

Demonstra¸c˜ao. Se existe b tal que:

p2r = N (b)

= b2₀+ 4q2b2₁+ 4q2b2₂+ 4q2b2₃ ent˜ao

b2₀ ≡ p2r _{mod q}2_.

Como (Zq2)∗ é c´ıclico então é poss´ıvel extrair a ra´ız quadrada, logo:

b0 ≡ ±pr mod q2.

Como r > 0, conclui-se que a congruência tem solu¸cões para além das triviais b0 = ±pr. Além disso, tem-se que:

b2₀ = p2r− 4q2_b2

1− 4q2b22 − 4q2b23

< p2r.

Finalmente, uma vez que |b0| < pr e que b0 ´e ´ımpar tem-se o pretendido.

2 Antes do pr´oximo lema, que auxilia na determina¸c˜ao de um majorante para a cintura de Xp,q_{, veja-se um conceito essencial para este (ver [5]) e tamb´}_{em o Teorema de}

Legendre que caracteriza quais inteiros podem ser escritos como soma de trˆes quadrados.

Defini¸cão 3.12 Seja n inteiro positivo. Diz-se que n é good se não existem α e β inteiros não negativos tais que n = 4α(8β + 7).

Teorema 3.13 [5] (Teorema de Legendre) Seja n inteiro positivo. Então n é good se e só se n pode ser escrito como soma de três quadrados.

Lema 3.14 [5] Seja b = b0+ b1i + b2j + b3k ∈ L(Z). Existe uma classe de equivalˆencia

[b] ∈ Λ(2q) no n´ıvel 2r com b0 = pr − mq2 (onde m ´e par e positivo) se e s´o se

2mpr_{− m}2_q2 _´_{e good.}

Demonstra¸c˜ao. Se existe [b] ∈ Λ(2q) no n´ıvel 2r com b0 = pr− mq2 ent˜ao, pelo

Lema (3.11), pode escrever-se

p2r = pr− mq22

+ 4q2 b2₁+ b2₂+ b2₃ . Equivalentemente, tem-se que,

2mpr− m2q2 = (2b1)2+ (2b2)2+ (2b3)2.

Assim, pelo Teorema 3.13, 2mpr_{− m}2_q2 _´_{e good, tal como se pretendia.}

Já no que diz respeito à implica¸cão contrária, comece-se por notar que, como m é par, então

2mpr− m2_q2 _{≡ 0} _{mod 4.}

Como 2mpr_{− m}2_q2 _´_{e good ent˜}_{ao, pelo Teorema 3.13, tem-se que 2mp}r_{− m}2_q2 _pode

ser escrito como soma de trˆes quadrados pares:

2mpr− m2_q2 _{= (2b}

1)2+ (2b2)2+ (2b3)2.

Assim, tem-se que:

p2r = pr− mq22

+ (2qb1)2+ (2qb2)2+ (2qb3)2.

Conclui-se por isso que se b = (pr− mq2_{) + 2qb}

1i + 2qb2j + 2qb3k ent˜ao [b] ∈ Λ(2q)

est´a no n´ıvel 2r, o que completa a demonstra¸c˜ao.

Exemplo 3.15 Recorde-se a condi¸c˜ao necess´aria q2 _{> p. Esta condi¸c˜}_{ao permite re-}

jeitar grafos cuja cintura seja 2, ou seja, grafos que contenham arestas paralelas. Tal condi¸cão impõe-se para evitar a hipótese de que r = 1, isto é, evita-se que exista [b] ∈ Λ(2q) no n´ıvel 2.

Para m = 2 e r = 1 tem-se 2mpr_{− m}2_q2 _{= 4 (p − q}2_{). Se 4 (p − q}2_{) < 0 ent˜}_{ao n˜}_ao

´e good. Al´em disso,

4 p − q2 < 0 ⇔ p < q2.

Conclui-se que, para m = 2 e r = 1, se p < q2 _ent˜_{ao 4 (p − q}2_{) n˜}_{ao ´}_{e good, isto ´}_{e, n˜}_ao

existe [b] ∈ Λ(2q) no n´ıvel 2.

Considerem-se p = 37 e q = 5. Pode escrever-se 37 como soma de quatro quadrados, recorrendo aos valores:

(1, ±6, 0, 0), (1, 0, ±6, 0), (1, 0, 0, ±6), (5, ±2, ±2, ±2),

(1, ±2, ±4, ±4), (1, ±4, ±2, ±4) e (1, ±4, ±4, ±2)

Para m = 2 e r = 1 tem-se 4p − 4q2 _{= 4 · 12 = 4 · (2}2_{+ 2}2_{+ 2}2_{) ´}_{e good. Assim,}

existe [b] ∈ Λ(2q) tal que b0 = p − 2q2 = −13, onde b = b0+ 4qi + 4qj + 4qk. Note-se

que | − 13| < 37.

Assim, a partir de (5, ±2, ±2, ±2), tem-se que

b = (−1) · (5 − 2i − 2j − 2k)2 = −1(13 − 20i − 20j − 20k) = −13 + 20i + 20j + 20k e N (b) = (−1)2· 372 = 1369

Note-se que, em Λ(2)/Λ(2q), o quaternião 5 − 2i − 2j − 2k é igual ao seu inverso. Partindo da identidade, chega-se ao quaternião 5 − 2i − 2j − 2k e depois regressa-se `

a identidade pela mesma aresta. Havendo repeti¸cão de, pelo menos, uma aresta não existe circuito o que implica a impossibilidade da medi¸cão da cintura do grafo. Assim, tal como referido em [5] e [29], exige-se que q2 > p.

Teorema 3.16 [5] Sejam p e q primos tais que p, q ≡ 1 mod 4 ep_q= −1 ent˜ao: 4 log_pq − log_p4 ≤ g(Xp,q) < 4 log_pq + logp4 + 2.

Demonstra¸c˜ao. Comece-se por provar que pelo menos um dos inteiros da forma 2mpr − m2_q2_{, para m = 2 ou m = 4, ´}_{e good, estando assegurado que ambos s˜}_ao

positivos. Suponha-se que para o caso em que m = 2 o inteiro n˜ao ´e good, ou seja, o inteiro 4 (pr− q2_{) n˜}_{ao ´}_{e good, e que, por consequˆ}_{encia p}r_{− q}2 _n˜_{ao ´}_{e good. Assim, para}

alguns α e β inteiros n˜ao negativos, pode escrever-se:

pr− q2 _{= 4}α_{(8β + 7).}

Para m = 4 obt´em-se um inteiro da forma 8pr− 16q2_{, onde:}

8pr− 16q2 _{= 8 p}r_{− q}2_{− 8q}2

= 8 4α(8β + 7) − q2 .

Como p, q ≡ 1 mod 4 ent˜ao pr_{, q}2 _{≡ 1 mod 4, logo α ≥ 1. Conclui-se que}

4α(8β + 7) − q2 ´e ´ımpar e que, por consequˆencia, 8pr− 16q2 _´_{e good.}

Seja r0 o menor inteiro r para o qual pr > 2q2 e note-se que, assim sendo, tanto

4 (pr− q2_{) como 8p}r_{− 16q}2 _s˜_{ao positivos. Ent˜}_ao:

pr0−1 _{< 2q}2_. _(3.9)

Por (3.9) tem-se que:

(r0− 1) logpp < logp 2q 2 r0 − 1 < logp2 + 2 logpq

r0 < 2 logpq + logp2 + 1.

Finalmente, pelo que foi verificado anteriormente, existe [b] ∈ Λ(2q) no n´ıvel 2r0 o

que implica

g (Xp,q) ≤ 2r0 < 4 logpq + logp4 + 2,

ficando determinado um majorante para a cintura destes grafos, caso sejam bipartidos. Por forma a determinar um minorante da cintura, comece-se por enunciar dois conceitos essenciais para essa determina¸c˜ao (ver [8] e [11])

Defini¸c˜ao 3.17 Dados um grafo G e V0 ⊆ V (G), com V0 _{6= ∅, designa-se por subgrafo}

de G induzido por V0 e denota-se por hV0i_G, o subgrafo de G cujo conjunto de v´ertices ´

e V0 e o conjunto de arestas ´e composto por todas as arestas de G cujos extremos pertencem a V0.

Defini¸c˜ao 3.18 Seja G um grafo e sejam V1, V2 ⊆ V (G) tais que hV1iG e hV2iG s˜ao

isomorfos. G diz-se um grafo homog´eneo se existe um automorfismo de G definido de V1 para V2.

E relevante neste trabalho o facto de que todo o grafo de Cayley é homogéneo. Explicite-se então que o grafo de Cayley considerado no Exemplo 3.3 o verifica.

Exemplo 3.19 Considere-se o grafo de Cayley X(H, S) do Exemplo 3.3 (onde H = Z8

e S = {3, −3}) e considere-se também a parti¸cão dos seus vértices em

V (X(H, S)) = V1∪ V2, onde V1 = {0, 2, 4, 6} e V2 = {1, 3, 5, 7}.

Representam-se de seguida os subgrafos induzidos de X(H, S), hV1i_X(H,S) (`a es-

querda) e hV2iX(H,S) (`a direita), sendo que hV1iX(H,S) e hV2iX(H,S) s˜ao claramente iso-

momorfos.

4

6

2

0

5

3

7

1

Considere-se o automorfismo η : V1 → V2 i 7→ i + 1,

para i ∈ {0, 2, 4, 6} tal que se uv ∈ EhV1iX(H,S)

ent˜ao η(u)η(v) ∈ EhV2iX(H,S)

. Tal condi¸cão verifica-se trivialmente pois nenhum dos subgrafos induzidos possui arestas. Conclui-se assim que X(H, S) é um grafo homogéneo.

Depois de vistos estes conceitos, determine-se o minorante apresentado (ver [17]). Como Xp,q é um grafo de Cayley então é homogéneo. Assim, pode dizer-se que um dos circuitos de menor comprimento é o circuito que tem como vértices inicial e final a identidade. Na árvore Λ(2) esse comprimento corresponde ao número de fatores em

S do menor elemento não trivial de Λ(2q). Se ρ ∈ Λ(2q) não é uma unidade e possui t fatores em S então existe um quaternião ˜ρ ∈ Λ0(2) tal que

ρ = β1β2...βt, onde βj ∈ S, j ∈ {1, ..., t}.

Tem-se assim que:

N ( ˜ρ) = pt e ˜ρ = a0 + 2qa1i + 2qa2j + 2qa3k, at∈ Z, t ∈ {0, 1, 2, 3}.

Como ρ não é uma unidade então pelo menos um de entre a1, a2 e a3 é não nulo.

Assim, pode escrever-se

pt= a2₀+ 4q2a2₁+ 4q2a2₂ + 4q2a2₃. (3.10) Estando a estudar a cintura no caso do grafo bipartido, ou sejap_q= −1, e como da equa¸c˜ao (3.10) se tem que

a2₀ ≡ pt _{mod q}2_,

ent˜aop_qt= 1 logo t > 0 ´e par, isto ´_{e, existe r ∈ N tal que t = 2r.}

Assim a equa¸cão (3.10) tem as solu¸cões triviais a0 = ±pr. De facto, a congruência

x2₀ ≡ pt _{mod q}2 _(3.11)

admite apenas

x0 ≡ ±pr mod q2 (3.12)

como solu¸c˜oes j´_{a que (Z}q2)∗ ´e c´ıclico.

Suponha-se que (3.10) admite solu¸c˜oes n˜ao triviais onde se verifica

pt< q

4. (3.13)

Assim, pr _< q2

2 , logo, por (3.12), qualquer solu¸c˜ao x0 da congruˆencia (4.1) diferente de

±pr _satisfar´_a:

|x0| ≥

2 e portanto x2₀ ≥ q₄4.

Da equa¸c˜ao (3.10) tem-se que pt _> q4

4 contradizendo a equa¸c˜ao (3.13).

pt ≥ q

t ≥ log_p q4 − logp4

t ≥ 4 log_pq − logp4,

o que completa a prova.

2 Como consequˆencia do teorema anterior surge o color´ario seguinte.

Corol´ario 3.20 Sejam p e q primos tais que p ≥ 17, p, q ≡ 1 mod 4, p_q = −1 e llog_pq₄4m´ımpar (positivo). Ent˜ao g (Xp,q_{) =} l_log

+ 1, onde dxe denota o menor inteiro maior ou igual ao n´umero real x.

Demonstra¸cão. Do Teorema 3.16 tem-se que, se p_q= −1 então: 4 log_pq − log_p4 ≤ g(Xp,q) < 4 log_pq + log_p4 + 2. A amplitude deste intervalo é 2 + log_p16.

Come¸cando por observar que 4 log_pq−log_p4 = log_pq₄4, suponha-se quellog_pq₄4m ´e ´ımpar positivo, isto ´_{e, existe k ∈ N tal que}llog_pq₄4m= 2k + 1.

Como p_q = −1 então Xp,q é bipartido e, por consequência, a sua cintura é par, não podendo por isso ser 2k + 1 nem 2k + 3.

Como, para p ≥ 17, se tem que 2 + log_p16 < 2 + 1 = 3 e ´e garantida a existˆencia e unicidade do valor da cintura do grafo, logo

g(Xp,q) = 2k + 2 = log_p q 4 4 + 1. 2 Além deste caso particular pode ir-se mais longe e obter um outro corolário que relaciona a cintura de qualquer grafo de Ramanujan bipartido com a sua ordem, apresentando-se também um resultado exato para a cintura de qualquer grafo de Ra- manujan bipartido.

Corol´ario 3.21 [5] Sejam p, q ≡ 1 mod 4 primos tais quep_q= −1. Ent˜ao verifica- se que lim q→+∞ log_pq (q2_{− 1)} g (Xp,q₎ = 3 4.

Seja x(p, q) = dlog_p(q2_{)e. Se p}x(p,q) _{− q}2 _´_{e good ent˜}_{ao g (X}p,q_{) = 2x(p, q). Caso}

contr´ario g (Xp,q_{) = 2dlog}

p(q2) + logp2e, onde dxe denota o menor inteiro maior ou

igual ao n´umero real x (ver [5]).

Depois deste cap´ıtulo, onde são introduzidos os grafos de Ramanujan e algumas das suas caracter´ısticas relacionadas com o seu espetro e com a sua cintura, apresenta-se no próximo cap´ıtulo uma aplica¸cão destes grafos aos códigos LDPC.

Cap´ıtulo 4

Aplica¸cão à Teoria dos Códigos

Neste quarto cap´ıtulo, depois de introduzidos alguns conceitos relevantes da Teoria dos Códigos (ver [6] e [18]), são constru´ıdos e exemplificados códigos LDPC, partindo (da constru¸cão LPS) de grafos de Ramanujan. Além disso, na sua última seçcão, apresentam-se alguns conceitos, resultados e exemplos de poss´ıveis dete¸cões e corre¸cões de erros.

Seja Fq um corpo finito e Fnq o espa¸co vetorial de todos os n-uplos (em Fq). Diz-se

que C(n, m) ´e um c´_{odigo linear sobre F}q se C(n, m) ´e um subespa¸co vetorial de Fnq,

com m elementos. Sendo q, k ∈ N tais que m = qk _ent˜_{ao C(n, m) diz-se um c´}_odigo

[n, k].

Diz-se que um vetor (f1, ..., fn) ∈ Fnq, que pode ser escrito como f1...fn, ´e uma

palavra de c´odigo se (f1, ..., fn) ∈ C(n, m).

Daqui por diante denota-se um código linear por C e consideram-se os códigos lineares designados por códigos LDPC (Low-density Parity-check Codes), ou seja, códigos gerados por matrizes esparsas.

Uma vez que C ´e um subespa¸co vetorial de dimens˜_{ao k de F}n

q ent˜ao C ´e o conjunto de

todas as combina¸cões lineares de k vetores linearmente independentes com n entradas, isto é, existe uma base BC = {c1, ..., ck} tal que qualquer palavra de código pode ser

escrita como combina¸c˜ao linear dos vetores de BC, podendo por isso um c´odigo linear,

e em particular, um c´odigo LDPC ser representado matricialmente (ver [6]) atrav´es da sua matriz geradora ou da sua matriz de paridade (ver [18]).

Defini¸c˜_{ao 4.1 Sejam k, n ∈ N, com k < n. A uma matriz G de dimensão k × n e de} caracter´ıstica completa tal que C = {xG : x ∈ Fkq} é um código LDPC chama-se de

matriz geradora de C. Alternativamente, C pode ser definido a partir de uma matriz H de dimens˜_{ao (n − k) × n e de caracter´ıstica completa tal que C = {y ∈ F}n_q : HyT = 0}, onde H se designa por matriz de paridade de C.

Nota 4.2 Da defini¸cão de matriz de paridade tem-se que cada linha desta matriz indica uma restri¸cão para as palavras de código.

Dada uma matriz geradora G, qualquer vetor v ∈ Fk _{pode ser codificado numa}

palavra de c´_{odigo c ∈ F}n, contendo k s´ımbolos de informa¸cão e n − k s´ımbolos redun- dantes. Define-se a razão r de um código LDPC de dimensão k por r := _nk, podendo-se, por isso, afirmar que quanto maior a razão de um código maior será a quantidade de informa¸cão relativamente à sua redundância.

Depois de apresentadas algumas defini¸cões da Teoria dos Códigos prossegue-se este texto, na próxima seçcão, com a constru¸cão e exemplifica¸cão de códigos LDPC.

4.1 Constru¸c˜ao de um c´odigo LDPC

Nesta seçcão, depois de visitados alguns conceitos da Teoria dos Códigos, pretende- se, como já referido, construir e exemplificar códigos LDPC (ver [26]) recorrendo também a resultados de cap´ıtulos anteriores.

Comece-se, para isso, por recordar que, pelo j´a enunciado Teorema 2.13, a equa¸c˜ao a2₀+ a2₁ + a2₂+ a2₃ = p, com a0 ´ımpar e a1, a2 e a3 pares e com p ≡ 1 mod 4 primo

tem exatamente p + 1 solu¸cões. A cada uma dessas solu¸cões é associada uma matriz da forma A =   a0+ ia1 a2+ ia3 −a2+ ia3 a0− ia1   mod q, (4.1) onde i2 ≡ −1 mod q.

Denotando por S0 o conjunto formado por estas p + 1 matrizes, construa-se um grafo, Gc, (d1, d2)-biregular, onde d1 = p+1₂ e d2 = p + 1, da seguinte forma:

Considerem-se todos os q3_{− q v´ertices de X}p,q _{bipartido e considere-se daqui por}

diante, em toda a constru¸c˜ao do c´odigo LDPC e no exemplo que lhe segue, que o s´ımbolo × representa o produto de matrizes.

Comecem-se por dispor numa coluna L os vértices cuja etiqueta¸cão (uma matriz) seja um elemento de P SL2(Fq). De seguida fa¸ca-se uma cópia de L a qual, daqui por

diante, se denotar´a por L0.

Considerando que Lj ∈ (L ∪ L0) e que Mk±1 ∈ S

0_{, onde j ∈ {1, ..., q}3 _{− q} e}

k ∈ {1, ...,p+1₂ } disponham-se todos os elementos da forma Ri = Lj × M_k±1 numa

coluna, onde i ∈ {1, ...,q3₂−q}. Esta coluna designar-se-á, daqui por diante por R. Um vértice Ripertence a R se a matriz a ele associado pertence a P GL2(Fq) e não pertence

a P SL2(Fq).

Assim, por simplicidade de linguagem, diz-se que um v´ertice de Gc ´e da esquerda

(L ∪ L0) se o determinante da matriz a ele associado é res´ıduo quadrático mod q e diz-se que um vértice de Gcé da direita (R) se o determinante da matriz a ele associado

é não res´ıduo quadrático mod q.

J´a no que toca `as arestas, come¸ca-se por determinar i tal que i2 _{≡ −1 mod q e}

aplicar m´odulo q a todas as entradas das matrizes de S0, obtendo-se: S0 = {M₁±1, M₂±1, ..., M±1p+1

onde as p + 1 matrizes de S0 s˜ao da forma de (4.1) e onde M_k−1 denota a matriz inversa de Mk, k ∈ {1, ...,p+1₂ }.

Assim, no que toca `as arestas, diz-se que e ∈ E(Gc) se existem Lj ∈ L ∪ L0 e

M_k±1 ∈ S0 _{tais que e = L}

j(Lj × Mk±1) = (Lj× Mk±1)Lj.

Tendo Gcconstru´ıdo, diz-se que a sua matriz de adjacˆencia ´e a matriz de paridade do

código LDPC que é por ele originado, sendo que como anteriormente referido, cada linha desta corresponde a uma restri¸cão para as palavras de código. Veja-se um exemplo.

Exemplo 4.3 Considere-se Xp,q _{um grafo de Ramanujan onde p = 5 e q = 17. Este}

grafo é regular pois é grafo de Ramanujan e é bipartido pois 5 é não res´ıduo quadrático de 17. Assim Xp,q _´_{e um grafo (3, 6)-biregular.}

equa¸c˜ao

a2₀+ a2₁+ a2₂+ a2₃ = 5,

que tem p + 1 = 6 solu¸c˜oes com a0´ımpar e a1, a2, a3 pares, sendo elas

(1, ±2, 0, 0), (1, 0, ±2, 0) e (1, 0, 0, ±2).

A cada uma das solu¸c˜oes ´e associada uma matriz da forma:

M =   a0+ 4a1 a2+ 4a3 −a2+ 4a3 a0− 4a1 

 mod 17, obtendo-se as 6 matrizes:

M₁±1 =   1 ± 8 0 0 1 ∓ 8  , M ±1 2 =   1 ±2 ∓2 1   e M ±1 3 =   1 ±8 ∓8 1  .

Comecem-se por dispor numa coluna L os vértices cuja a sua etiqueta¸cão (uma matriz) seja um elemento de P SL2(Z17). De seguida fa¸ca-se um cópia de L a qual se

denominar´a por L0.

Considerando que Lj ∈ P SL2(Z17) e que M ∈ S0 = {M1±1, M ±1 2 , M

±1

3 } disponham-

se os elementos da forma Ri = Lj× Mk±1 numa coluna, a qual se designar´a por R, ou

seja, R tem todas as matrizes que pertencem a P GL2(Z17) e que n˜ao pertencem a

P SL2(Z17).

Assim, diz-se por simplicidade de linguagem, que um v´ertice de Gc ´e da esquerda

(L ∪ L0) se o determinante da matriz a ele associado é res´ıduo quadrático mod 17 e que um vértice de Gc é da direita (R) se o determinante da matriz a ele associado é

n˜ao res´ıduo quadr´atico mod 17.

No que toca `as arestas, diz-se que e ∈ E(Gc) se existem Lj ∈ (L∪L0) e Mk±1 ∈ S 0_tais

que e = Lj(Lj × Mk±1) = (Lj× Mk±1)Lj.

Tendo Gcconstru´ıdo diz-se que a matriz de paridade do c´odigo LDPC que se procura

construir ´e a matriz de adjacˆencia de Gc, sendo que cada linha desta corresponde a

uma restri¸c˜ao para as palavras de c´odigo. Obtemos assim, o seguinte grafo:

Identifica-se, etiquetando cada um dos 17 (172− 1) = 4896 v´ertices de L ∪ L0 _com

uma matriz de P SL2(Z17), onde |L| = |L0| = 2448. Cada um dos 2448 v´ertices de R ´e

com Lj ∈ P SL2(Z17) e Mk±1 ∈ S

0 _{obtendo-se a matriz de paridade H do c´}_{odigo LDPC}

associado, com 2448 linhas e 6 colunas, onde H = (hij). Assim, hij = 1 se o v´ertice

Ri ∈ R e o vértice Lj ∈ (L ∪ L0) estão unidos por uma aresta e hij = 0, caso contrário.

Para n = 4896 tem-se que o código apresenta n₂ = 2448 restri¸cões para as palavras de um código de razão 1₂.

Depois de finalizada esta seçcão com a exemplifica¸cão de um código LDPC é poss´ıvel avan¸car para a última seçcão deste quarto cap´ıtulo, por forma a apresentar possibili- dades de dete¸cão e corre¸cão de erros numa mensagem.

No documento Grafos de Ramanujan em teoria dos códigos e criptografia (páginas 42-55)