Para generalizar a ideia de classes de congruência, usualmente estudada para números inteiros, vamos considerar um polinômio não constante fixo f (x) e dizemos que dois polinômios r(x) e s(x) são congruentes módulo f se r − s é divisível por f. Iremos representar por:
r ≡ s mod f
Exemplo 19. Em R[x], consideremos f (x) = x2− 1. As classes de congruência módulo este polinômio tem algumas propriedades que não desejamos no estudo que iremos realizar. Seja r(x) um polinômio de grau maior do que 1. Podemos usar o algoritmo da divisão para polinômios para escrever r(x) na forma q(x)f(x) + t(x), onde t(x) tem grau estritamente menor que o grau de f(x) (que é 2). Ou seja, t = ax + b para algum, possivelmente zero, a, b ∈ R. Então todo polinômio é congruente módulo x2− 1 a uma constante ou a um polinômio linear.
Considere os polinômios lineares x - 1 e x + 1. Nenhum deles é congruente ao polinômio nulo (porque f(x) não divide nem x - 1 nem x + 1 ). Porém (x−1)(x+1) = x2−1,
então, o produto é congruente ao polinômio nulo. Esta mesma complicação aparecerá sempre que escolhermos f(x) como um polinômio redutível, pois se f(x) = g(x)h(x) então o produto de g(x) e h(x) será congruente a zero. Por esta razão, em alguns casos iremos nos restringir a f (x) como um polinômio irredutível. Além disso, a partir de agora, também consideraremos polinômios sobre Zp, com p primo.
Por conveniência de notação, iremos escrever [r]f para representar o conjunto de
todos os polinômios s(x) que são congruentes a r módulo f. Denominamos esse conjunto de classe de congruência polinomial de r módulo f .
Cada classe de congruência polinomial módulo f tem um representante canônico, isto é, um polinômio único que tem grau menor que o grau de f(x). Para encontrar esse polinômio, iremos seguir os seguintes passos:
i) Escolha um polinômio qualquer, r(x), pertencente a classe e aplique o algoritmo da divisão para obter r(x) = q(x)f(x) + t(x) com ∂t(x) < ∂f (x): então t(x) é o representante canônico da classe de r(x).
ii) Agora iremos provar que, de fato, t(x) é único. Suponha que s ≡ r mod f : então s = pf + r para algum polinômio p. Como r = qf + t isso nos da s = (p + q)f + t podemos então observar que r e s tem o mesmo resto quando divididos por f.
Capítulo 4. Polinômios 45
Definição 14. Fixe um polinômio não constante f(x), tal que r(x) e s(x) sejam quaisquer
outros polinômios. Definimos então a soma e o produto das classes de congruência polinomial de r(x) e s(x) da seguinte forma:
[r]f + [s]f = [r + s]f e [r]f[s]f = [rs]f
Acabamos de definir soma e produto de duas classes de congruência polinomial. No entanto, precisamos ter certeza que ao escolhermos representar [r]f por algum outro
polinômio, então teremos a mesma classe de congruência para soma e para o produto.
Teorema 8. Seja f(x) um polinômio não constante, e sejam r(x), s(x) e t(x) polinômios
quaisquer. Suponha que [r]f = [t]f. Então
(i) [r + s]f = [t + s]f
(ii) [rs]f = [ts]f
Demonstração. (i) Como [r]f = [t]f, f(x) divide r(x) - t(x), então podemos escrever r(x)
= t(x) + k(x)f(x), para algum polinômio k(x). Portanto
[r + s]f = [t + kf + s]f = [s + t + kf ]f = [s + t]f (por definição de classe de
congruência) ⇒ [r + s]f = [t + s]f
(ii) A partir da notação acima,
[rs]f = [(t + kf )s]f = [ts + kf s]f = [ts]f
⇒ [rs]f = [ts]f
Aplicando o resultado acima duas vezes, obtemos a seguinte consequência:
Corolário 8. Se [r]f = [t]f e [s]f = [u]f, então:
(i) [r + s]f = [t + u]f
(ii) [rs]f = [tu]f
Exemplo 20. Iremos agora trabalhar sobre Z2, e considere f(x) como a equação cúbica
Capítulo 4. Polinômios 46
Como f(0) = 1 e f(1) = 1 + 1 + 1 = 1, f(x) não tem nenhum fator linear, como este polinômio tem grau 3, então f(x) deve ser irredutível. Toda classe de congruência terá, como representante canônico, um polinômio de grau menor ou igual a 2. Neste exemplo nossas classes de congruência polinomial serão representadas por polinômios de grau menor do que 3. Como todos os coeficientes são 0 ou 1, teremos oito polinômios que atendem a condição:
0, 1, x, x + 1, x2, x2+ 1, x2+ x, x2+ x + 1
Calculando sucessivamente as potências de x, temos x, x2, x3 = (x3 + x + 1) + (x + 1).
Deste modo, [x3]
f = [x + 1]f. Similarmente, [x4]f = [x3x]f = [x2 + x]f. Então [x5]f =
[x2+x+1]f, [x6]f = [x2+1]f e [x7]f = [1]f. Assim, cada uma das sete classes de congruência
polinomial não nulas ocorrerá como uma potência de [x]f.
No caso onde o conjunto de classes de congruência polinomial não nulas possa ser representada por potências de [x]f, dizemos que [x]f é uma classe de congruência
polinomial primitiva.
O conjunto de classes de congruência polinomial é fechado para adição e também o conjunto de classes de congruência polinomial não nulas é fechado para multiplicação. Cada classe de congruência polinomial não nula tem um inverso, no sentido da definição a seguir.
Agora consideremos An o conjunto das classes residuais de A = Zp[x] módulo um
polinômio mônico não constante f (x) de grau n, ou seja,
An= Zp[x]f (x) = {[h(x)]f|h(x) ∈ Zp[x]}.
Seja h(x) ∈ An então pelo algoritmo da divisão para polinômios, temos que existem
polinômios q(x) e r(x), tais que
h(x) = f (x)q(x) + r(x) com r(x) = 0 ou gr(r(x)) < n.
Calculando a classe de congruência módulo f (x) dos polinômios da igualdade acima, obtemos que
[h(x)]f = [r(x)]f
Logo,
An= Zp[x]f (x) = {[r(x)]f|r(x) ∈ Zp[x]} com r(x) = 0 ou gr(r(x)) < n.
Vemos que An munido das operações de soma e produto, conforme a Definição 14,
é um anel. Observemos que pelo Teorema 8 e o Corolário 8 essas operações estão bem definidas.
Capítulo 4. Polinômios 47
Definição 15. Uma classe de congruência polinomial [r]f tem um inverso se existe uma
classe de congruência polinomial [s]f tal que [r]f[s]f = [1]f (denotamos por [r]−1f = [s]f).
Note que essa equação significa que rs = tf + 1 para algum polinômio t(x). Claramente a classe de congruência do polinômio zero não pode ter inverso.
Exemplo 21. Como no exemplo acima, consideremos o polinômio f (x) = x3+ x + 1 sobre
Z2. Os inversos de cada classe de congruência são dados da seguinte forma:
elemento 1 x x + 1 x2 x2+ 1 x2+ x x2+ x + 1 inverso 1 x2+ 1 x2+ x x2+ x + 1 x x + 1 x2
O conjunto das classes de congruência polinomial não nulas módulo f = x3+x+1 ∈
Z2[x] é um corpo onde o conjunto é fechado com relação a adição, o conjunto dos elementos
não nulos é fechado com relação a multiplicação e todos possuem inverso. Este corpo possui um número finito de elementos.
À cargo de curiosidade, temos que Galois foi o primeiro a estudar corpos com um número finito de elementos. Ele mostrou que qualquer corpo finito possui uma quantidade de elementos que é potências números primos, e este número determina unicamente a estrutura do corpo.
A seguir veremos que classes de congruência não nulas sempre tem inversos desde que f seja um polinômio irredutível.
Proposição 15. Seja f (x) um polinômio irredutível. Então toda classe de congruência
polinomial não nula módulo f tem inverso.
Demonstração. Seja r(x) um polinômio não divisível por f (x) (então [r]f não é igual a
[0]f). Considere um máximo divisor comum de r(x) e f (x). Tal polinômio não é múltiplo
de f (x) (pois r(x) não é divisível por f (x)), mas deve dividir f (x). Como f (x) é irredutível, esse máximo divisor comum deve, portanto, ser um polinômio constante não nulo, digamos c(x). Então existem polinômios u(x) e v(x), que podemos encontrar, de acordo com a seção anterior, tal que c(x) = u(x)r(x) + v(x)f (x). Como c(x) é uma constante não nula, é válido dividir por c(x) para obter 1 = u1(x)r(x) + v1(x)f (x), onde u1(x) = u(x)c(x) e v1(x) = v(x)c(x).
Isto significa que [1]f = [u1r]f = [u1]f[r]f.
Então [u1]f é um inverso para [r]f.
Capítulo 4. Polinômios 48
1. Procuramos entre os polinômios de grau n sobre Zp um polinômio irredutível, f (x).
Observemos que este polinômio sempre vai existir, mas não temos como objetivo mostrar este resultado nesse trabalho.
2. Formaremos um conjunto de classes de congruência polinomial módulo f munido das operações de adição e multiplicação.
3. Como f é irredutível, cada classe de congruência polinomial não nula, possui um inverso. Notemos que construímos um corpo com pn elementos, pois vimos que
r(x) ∈ An é da forma a0+ a1x + ... + an−1xn−1 onde ai ∈ Zp, com i = 1, ..., n.
A seguir veremos um exemplo importante onde o polinômio f (x) não é irredutível. Precisaremos deste exemplo para caracterização de códigos cíclicos.
Exemplo 22. Seja n um inteiro e tome f (x) = xn− 1 sobre Z
p. Este é sempre redutível
já que f (1) = 0.
Como já vimos, dentro do conjunto de classes de congruência polinomial, haverá, então, divisores de zero e tal classe não terá inverso. Contudo, ainda podemos considerar o conjunto de classes de congruência polinomial módulo f, mesmo não formando um corpo. Como antes, um representante canônico para estas classes será um polinômio de grau menor do que n. Agora, se multiplicarmos o polinômio g(x) = a0+ a1x + a2x2+ ... + an−1xn−1
pelo polinômio linear x, vemos que
[xg(x)]f = [a0x + a1x2+ ... + an−2xn−2+ an−1xn]f
= [a0x + a1x2 + ... + an−2xn−2+ an−1.1]f
= [an−1+ a0x + a1x2+ ... + an−2xn−2]f
sendo xn− 1 ≡ 0 mod f. O importante a observar é que os coeficientes das potências de x
permutam de forma cíclica.