Nesta se¸c˜ao apresentamos m´etodos para a obten¸c˜ao de uma L(2, 1)-colora¸c˜ao total ´otima em v´arias classes simples de grafos.
Figura 8.7: L(2, 1)-colora¸c˜oes totais ´otimas em grafos caminhos.
Grafo Caminho
Bonomo e Cerioli [13] estudaram uma L(2, 1)-colora¸c˜ao na classe dos grafos blo- cos e determinaram que para grafos que s˜ao caminhos de triˆangulos, λ ≤ 6. Como um caminho de triˆangulos ´e o grafo T R(Pn) dos grafos caminhos Pn, λT(Pn) ≤ 6.
Por outro lado, pela Propriedade 8.2, todo Pn com n ≥ 5 tem uma D2T e
λT(Pn) ≥ 2∆ + 2 = 6. E, obtemos uma L(2, 1)-colora¸c˜ao total ´otima em grafos
Pn com n ≥ 5 atribuindo repetidamente as cores 0, 2, 4, 1 e 6 aos v´ertices e arestas
de Pn. Para os casos restantes, L(2, 1)-colora¸c˜oes totais ´otimas est˜ao dispostas na
Figura 8.7.
Teorema 8.2 Para grafos caminhos Pn com n ≥ 4, λT(Pn) = 6.
Teorema 8.3 Existe algoritmo linear para obter uma L(2, 1)-colora¸c˜ao total ´otima em grafos caminho.
Grafo Ciclo
Teorema 8.4 Para grafos ciclos Cn com n 6= 5, λT(Cn) = 6.
Prova. Como todo grafo ciclo tem uma D2T , pela Propriedade 8.2, λT(Cn) ≥
2∆ + 2 = 6. Seja Cn descrito como (v1, e1, v2, e2, . . . , en−1, vn, en). Definimos uma
L(2, 1)-colora¸c˜ao total de Cn dependendo do valor do resto da divis˜ao de n por 3.
Se n ≡ 0 mod 3, quando n ≥ 6, atribu´ımos: (
(i) (0, 5, 3, 1, 6, 2, 0, 5, 3, 1, 6, 2);
(ii) e atribu´ımos (0, 5, 3, 1, 6, 2) repetidamente para os outros v´ertices e arestas. Se n ≡ 1 mod 3, quando n ≥ 7, atribu´ımos:
(
(i) (6, 4, 0, 2, 5, 3, 1, 4, 6, 2, 0, 5, 3, 1);
Caso contr´ario, se n ≡ 2 mod 3, quando n ≥ 14, atribu´ımos: (
(i) (6, 4, 0, 2, 5, 3, 1, 4, 6, 2, 0, 5, 3, 1, 6, 4, 0, 2, 5, 3, 1, 4, 6, 2, 0, 5, 3, 1);
(ii) e atribu´ımos (6, 2, 0, 5, 3, 1) repetidamente para os outros v´ertices e arestas. Nos casos restantes, L(2, 1)-colora¸c˜oes totais ´otimas com λT = 6 para os ciclos
C3, C4, C6, C8 e C11s˜ao dadas na Figura 8.8 (a), (b) e (c). Com observa¸c˜ao, diferente
dos outros grafos ciclos, um grafo ciclo de tamanho 5 tem λT(C5) = 7.
Teorema 8.5 Existe algoritmo linear para obter uma L(2, 1)-colora¸c˜ao total ´otima em grafos ciclo.
A Figura 8.8 (a) apresenta o m´etodo de atribui¸c˜ao para Cn do Teorema 8.4 no
caso que n ≡ 2 mod 3, em (b) est´a descrito o m´etodo para o caso n ≡ 0 mod 3 e, em (c), o caso n ≡ 1 mod 3.
Figura 8.8: L(2, 1)-colora¸c˜oes totais ´otimas em grafos ciclos.
Grafo Estrela
Teorema 8.6 Para grafos estrelas Sn com n ≥ 3, λT(Sn) = 2∆ + 1.
Prova. Pela Propriedade 8.2, λT(Sn) ≥ 2∆ + 1. Para obter uma L(2, 1)-colora¸c˜ao
total ´otima de um grafo estrela Sn atribu´ımos a cor 0 ao v´ertice universal u, as
cores {2, . . . , ∆ + 1} aos v´ertices de N (u) e as cores em {∆ + 2, . . . , 2∆ + 1} para as arestas em NE(u). S´o ´e necess´ario evitar que a cor ∆ + 2 esteja na aresta incidente
A Figura 8.9 apresenta o m´etodo de atribui¸c˜ao de cores do Teorema 8.6 para grafos estrelas.
Teorema 8.7 Existe algoritmo linear para obter uma L(2, 1)-colora¸c˜ao total ´otima em grafos estrela.
Figura 8.9: M´etodo para obter uma L(2, 1)-colora¸c˜ao total ´otima em grafos estrelas.
Grafo Roda
Teorema 8.8 Para grafos rodas Wn com n ≥ 7, λT(Wn) = 2∆ + 1.
Prova. Pela Propriedade 8.2 um grafo roda tem λT(Wn) ≥ 2∆ + 1. Para os
grafos rodas Wn com n ≥ 7, obtemos uma L(2, 1)-colora¸c˜ao total ´otima atribuindo
inicialmente as cores {0, . . . , ∆ + 1} aos v´ertices de G da mesma forma que para uma L(2, 1)-colora¸c˜ao, como descrito na Se¸c˜ao 3.1. A seguir, atribu´ımos as cores {∆ + 2, . . . , 2∆ + 1} as arestas em NE(v) (onde v ´e o v´ertice universal desse grafo
roda). S´o evite atribuir a cor ∆ + 2 a aresta incidente ao v´ertice que recebeu a cor ∆ + 1. Finalmente, o n´umero m´aximo de cores proibidas para as arestas do ciclo externo desse grafo roda ´e 13 e, atribu´ımos gulosamente cores em {0, . . . , 2∆ + 1} a
essas arestas quando ∆ ≥ 6.
A Figura 8.10 fornece L(2, 1)-colora¸c˜oes totais ´otimas dos grafos W5 e W6 com
span 2∆ + 1 e descreve as cores proibidas as arestas do ciclo externo desses grafos rodas. O grafo W4 ´e o ´unico grafo roda com λT = 2∆ + 2, entretanto, este ´e visto
como um grafo completo e ´e tratado a seguir.
Teorema 8.9 Existe algoritmo linear para obter uma L(2, 1)-colora¸c˜ao total ´otima em grafos rodas.
Figura 8.10: L(2, 1)-colora¸c˜oes totais ´otimas de W5, W6 e cores proibidas das arestas
restantes.
Grafo Completo
Teorema 8.10 Para grafos completos Kn: λ(K1) = 0; λT(Kn) = 2n + 1 se n ´e
´ımpar (a n˜ao ser K3 e K5) e; λT(Kn) = 2n caso contr´ario.
Prova. Uma L(2, 1)-colora¸c˜ao total ´otima do grafo K1 e outra do grafo K2 s˜ao
dadas na Figura 8.7. Pela Propriedade 8.2, quando n ≥ 3, λT(Kn) ≥ 2∆ + 2 = 2n.
Esse limite inferior ´e justo nos grafos K3, K5 e Kn quando n ´e par, caso contr´ario,
mostramos que λT(Kn) = 2n + 1. Como observa¸c˜ao, diferente dos outros grafos
completos com n´umero ´ımpar de v´ertices, os grafos K3 e K5 tˆem λT = 2n, essas
atribui¸c˜oes est˜ao presentes na Figura 8.11.
Suponha por contradi¸c˜ao que λT(Kn) = 2n quando n ≥ 7 ´e ´ımpar. Temos 2n + 1
cores em {0, . . . , 2n}. Os v´ertices do Kn recebem cores que diferem de pelo menos
duas unidades entre si. Portanto, em qualquer atribui¸c˜ao de cores a v´ertices do Kn,
no m´aximo quatro cores n˜ao utilizadas por v´ertices de Kn n˜ao tˆem uma de suas
cores consecutivas em v´ertices do Kn. Essas quatro cores podem ser utilizadas em,
no m´aximo, n−12 arestas cada e, as outras n−3 cores, em n−32 arestas. Como tratamos de um grafo completo, precisamos que 4n−1
2 +
(n−3)(n−3)
2 ≥
n(n−1)
2 . Entretanto, isso
s´o ocorre quando n ≤ 5, uma contradi¸c˜ao. Em outras palavras, λT(Kn) ≥ 2n + 1
quando n ≥ 7 ´e ´ımpar.
Fornecemos agora um m´etodo semelhante ao da constru¸c˜ao geom´etrica na co- lora¸c˜ao de arestas de um grafo completo, dispon´ıvel em [8], para obter uma L(2, 1)- colora¸c˜ao total ´otima de grafos completos com n´umero ´ımpar de v´ertices:
(i) Atribu´ımos as cores pares em {0, . . . , 2n − 4} aos v´ertices do grafo completo em um sentido hor´ario e a cor 2n ao ´ultimo v´ertice.
(ii) Para cada i ´ımpar em {1, . . . , 2n − 5}, usamos i nas n−32 arestas paralelas a arestas cujos extremos recebem cores i − 1 e i + 1.
(iii) Atribu´ımos a cor 2n + 1 para as n−12 arestas do ciclo externo de forma que n˜ao seja incidente ao v´ertice que recebeu a cor 2n.
(iv) Similarmente, atribu´ımos a cor 2n − 3 para as outras n−12 arestas do ciclo externo, sem ser incidente ao v´ertice que recebeu a cor 2n − 4.
Figura 8.11: L(2, 1)-colora¸c˜oes totais ´otimas de K4 e K5 e m´etodo de atribui¸c˜ao
para os grafos K7 e K8.
(v) Ent˜ao, atribu´ımos a cor 2n − 2 a ´ultima aresta do ciclo externo e as arestas paralelas `a aresta cujo extremos receberam cores 2n − 4 e 2n.
(vi) Finalmente, atribu´ımos a cor 2n − 1 as arestas restantes do grafo completo (que s˜ao as paralelas aos v´ertices que receberam as cores 0 e 2n).
Assim, λT(Kn) ≤ 2n + 1 para valores ´ımpares com n ≥ 7. Indo al´em, a cor 2n + 1
s´o ´e utilizada por arestas do grafo completo e, cada v´ertice do Kn tem pelo menos
uma cor dispon´ıvel que s˜ao diferentes entre si e de 2n + 1. Como consequˆencia, estendemos essa atribui¸c˜ao para Kn+1 quando n ≥ 7 ´e ´ımpar. Basta atribuirmos a
cor 2n + 2 ao novo v´ertice universal e as cores dispon´ıveis a cada v´ertice do Knpara
as suas novas arestas incidentes. Portanto, λT(Kn) = 2n para n ≥ 8 par.
Teorema 8.11 Existe algoritmo linear para obter uma L(2, 1)-colora¸c˜ao total ´otima em grafos completos.
A Figura 8.11 (a) descreve o m´etodo de atribui¸c˜ao para o K7, a letra (b) apresenta
L(2, 1)-colora¸c˜oes totais ´otimas do K4, K5 e K6 e, a letra (c) mostra como estender
Figura 8.12: L(2, 1)-colora¸c˜oes totais ´otimas em pol´ıgonos de grafos grades regulares.