As Classes W[P ], W[1], W[2],

Come¸camos com a defini¸c˜ao de um problema sobre circuitos booleanos. Um circuito booleano pode ser representado usando um digrafo ac´ıclico. O v´ertice com grau de sa´ıda igual a zero ´e chamado de v´ertice de sa´ıda. Se o grau de entrada de um v´ertice v ´e igual a zero (δ−_{(v) = 0),}

ent˜ao v ´e chamado de v´ertice de entrada. Se o grau de entrada de v ´e igual a um (δ−(v) = 1), ent˜ao v ´e chamado de v´ertice n˜ao. Se o grau de entrada de v ´e maior ou igual que dois (δ−_{(v)≥ 2), ent˜ao v ´e chamado de v´ertice e ou v´ertice ou. Se o grau de entrada de v ´e maior}

que dois (δ−(v) > 2), ent˜ao v ´e chamado de v´ertice irrestrito e ou v´ertice irrestrito ou. Veja a Figura 2.10. x w y z s e ou n˜ao

Figura 2.10: Um circuito booleano (ou l´ogico). Os v´ertices x, y e z s˜ao os v´ertices de entrada. O v´ertice s ´e o v´ertice de sa´ıda. O v´ertice ou ´e irrestrito.

A profundidade de um circuito ´e definida como sendo o n´umero m´aximo de v´ertices n˜ao, ou e e em um caminho de um v´ertice de entrada para o v´ertice de sa´ıda. A teia (weft) de um circuito ´e definida como sendo o n´umero m´aximo de v´ertices irrestritos ou e e em um caminho de um v´ertice de entrada para o v´ertice de sa´ıda.

Dizemos que C ´e k-satisfat´ıvel se o v´ertice de sa´ıda de C possui valor 1 depois da simula¸c˜ao de C com exatamente k v´ertices de entrada com valor 1. Assim, temos o seguinte problema de decis˜ao parametrizado.

O problema circuito-k-satisfat´ıvel: Dados um circuito booleano C e um n´umero natural k, decidir se C ´e k-satisfat´ıvel.

A classe W[P ] foi definida por Downey e Fellows [DF95a] como sendo a classe dos proble- mas parametrizados p-redut´ıveis ao problema circuito-k-satisfat´ıvel [FG06, Notas do Cap´ıtulo 3]. Quando o circuito de entrada do problema circuito-k-satisfat´ıvel tem profundidade e teia limitados superiormente por dois inteiros positivos, respectivamente, h e t, os problemas para- metrizados p-redut´ıveis ao problema circuito-k-satisfat´ıvel com tais limita¸c˜oes est˜ao na classe W[t]. As restri¸c˜oes mais fortes est˜ao sobre W[1] e v˜ao gradativamente enfraquecendo para W[2], W[3], . . . . As classes W[t] para todo t ≥ 1 e W [P ] formam uma hierarquia chamada de W-hierarquia. A Figura 2.11 ilustra como essas classes devem estar relacionadas.

W[1] W[2] W[P ] FPT .. .

2.6. Aspectos de Complexidade Computacional 15

Da mesma forma que um problema N P-completo provavelmente n˜ao est´a em P, um pro- blema parametrizado _{W[1]-completo provavelmente n˜ao est´a em FPT . Quando todos os pro-} blemas em _{N P s˜ao redut´ıveis a um problema P , dizemos que P ´e N P-dif´ıcil. Analogamente,} quando todos os problemas em W[1] s˜ao p-redut´ıveis a P , dizemos que P ´e W[1]-dif´ıcil. Um exemplo de um problema _{W[1]-dif´ıcil ´e o problema k-caminhos-v´ertice-disjuntos restrito a di-} grafos ac´ıclicos [Sli03], [BJG08].

Indicamos as referˆencias [DF95a], [DF95b] e [FG06] para o leitor que quiser saber mais sobre a teoria da complexidade parametrizada.

3

Algoritmos para Junc¸˜oes em Digrafos - Revis˜ao da

Literatura

Apresentamos neste cap´ıtulo alguns algoritmos que pr´e-processam um dado digrafo e res- pondem consultas tais como acp(u, v), representante-acp(u, v), todos-acps(u, v), s-acp(u, v),

representante-jun¸c˜ao(u, v), todas-jun¸c˜oes(u, v) e s-jun¸c˜ao(u, v). Em todos os trabalhos apresen- tados nesta resenha tanto os pr´e-processamentos como as consultas s˜ao realizados de maneira eficiente. Na Se¸c˜ao 3.1, definimos o problema acp-todos-pares e descrevemos trˆes algoritmos eficientes para resolvˆe-lo. Nas Se¸c˜oes 3.2, 3.3, 3.4 e 3.5, definimos respectivamente os proble- mas: representante-acp-todos-pares, todos-acps-todos-pares, representante-jun¸c˜ao-todos-pares e todas-jun¸c˜oes-todos-pares. Em cada se¸c˜ao, descrevemos os principais algoritmos que resolvem o correspondente problema. Os algoritmos da literatura descritos na Se¸c˜ao 3.3 sup˜oem um digrafo ac´ıclico na entrada. No entanto, notamos que, para alguns algoritmos, essa restri¸c˜ao pode ser desconsiderada. Destacamos a nossa contribui¸c˜ao para uma vers˜ao mais fraca de cada um dos problemas citados, quando a entrada ´e composta por um digrafo ac´ıclico e, adicionalmente, as correspondentes consultas. Estes problemas s˜ao: representante-acp-k-pares, todos-acps-k-pares, representante-jun¸c˜ao-k-pares e todas-jun¸c˜oes-k-pares. A entrada dos problemas que pedem por jun¸c˜oes para todos os pares de v´ertices ´e constitu´ıda por apenas um digrafo, enquanto que a entrada dos problemas que pedem por jun¸c˜oes para k pares de v´ertices ´e constitu´ıda por um digrafo e por uma lista de consultas. Isso deixa os problemas com natureza diferente e a compara¸c˜ao dos algoritmos ´e feita limitando o tamanho da entrada (o digrafo e/ou a lista de consultas). Os algoritmos para os problemas que pedem por jun¸c˜oes para todos os pares de v´ertices consideram poder acessar qualquer v´ertice do digrafo em qualquer momento. Por isso, n˜ao ´e poss´ıvel adaptar os algoritmos para a vers˜ao do problema que pedem por jun¸c˜oes para k pares de v´ertices, a menos que rode o algoritmo original e responda somente as k consul- tas. Finalmente, na Se¸c˜ao 3.6 descrevemos um algoritmo da literatura que constr´oi a ´arvore de dominadores de um grafo fluxo redut´ıvel.

3.1 Ancestral Comum mais Pr´oximo em ´Arvores Enraizadas

O problema tratado nesta se¸c˜ao ´e o problema acp-todos-pares em ´arvores enraizadas. O problema acp-todos-pares: Dada uma ´arvore enraizada T , pr´e-processe T de tal forma que uma consulta qualquer acp(u, v) seja respondida.

Existe uma extensa lista de trabalhos sobre este assunto. Citamos por exemplo os trabalhos de Aho, Hopcroft e Ullman [AHU76], de Harel e Tarjan [HT84], de Berkman e Vishkin [BV94], de Cole e Hariharan [CH05], de Nyk¨anen e Ukkonen [NU94] e de Wen [Wen94]. Neste texto, daremos ˆenfase a trˆes trabalhos, dois cl´assicos e um mais recente. O algoritmo de Aho, Hop- croft e Ullman [AHU76] considera que uma lista de consultas tamb´em ´e dada na entrada. Os algoritmos de Harel e Tarjan [HT84], e o algoritmo de Berkman e Vishkin [BV94] resolvem o problema acp-todos-pares como enunciado acima.