Nesta seção apresentaremos o Teorema de Regev sobre o produto tensorial de PI-álgebras. A exposição é baseada na prova de Latyshev que se encontra no livro de Drensky (2), mas usamos uma demonstração para o lema combinatório um pouco diferente da presente no livro.
Definição 1.9.1. Se T é um T-ideal de KxXy, definimos Tn Pn X T e a n-ésima codimensão cnpT q de T como a dimensão do espaço vetorial Pn{Tn, isto é, cnpT q
dimKpPn{Tnq.
Definição 1.9.2. Uma permutação π P Sné d-boa se não possui subsequências decrescentes
de tamanho d, isto é, se os inteiros 1¤ i1 i2 ik¤ n são tais que πpi1q ¡ πpi2q ¡
¡ πpikq, então k d. Exemplo 1.9.1. Para n 6 e π 1 2 3 4 5 6 5 3 2 4 1 6
a maior subsequência decrescente tem tamanho 4 ( 5 3 2 1), e portanto π é 5-boa e
6-boa.
Teorema 1.9.1. O número de permutações d-boas de Sn é menor ou igual a pd 1q2n.
Demonstração. Seja σ P Sn uma permutação. Para cada i 1, 2, . . . , n defina Dpiq como o
tamanho da maior subsequência decrescente que começa no i-ésimo elemento. Por exemplo, para n 6 e σ 1 2 3 4 5 6 4 5 3 1 6 2
temos que D 1 2 3 4 5 6 3 3 2 1 2 1 .
Note que σ é d-boa se e somente se Dpiq d para todo i. A quantidade de funções D tais que Dpiq d para todo i é igual a pd 1qn, porém é possível que mais de uma permutação corresponda à mesma função D, por exemplo,
σ1
1 2 3 4 5 6 4 6 3 1 5 2
corresponde à mesma D citada anteriormente. Porém, dada uma função D, o número de maneiras de reconstruir σ é limitado pelo seguinte: Se i j e Dpiq Dpjq então σpiq σpjq. De fato, se i j e σpiq ¡ σpjq, então é possível construir uma sequência de tamanho
Dpjq 1 adicionando o i-ésimo elemento à maior subsequência decrescente que começa no j-ésimo elemento e assim Dpiq ¡ Dpjq. Logo, para cada k 1, 2, . . . , d 1, a subsequência
formada pelos elementos com Dpiq k é crescente. Isso significa que a reconstrução da permutação é completamente definida pela partição do conjunto t1, 2, . . . , nu nas d 1 sequências. O número de partições é limitado por pd 1qn (pois para cada t1, 2, . . . , nu, basta escolher uma das d 1 sequências). Nem todos os pares compostos por uma função
D e uma partição de t1, 2, . . . , nu são válidos (podendo até gerar uma permutação, mas
cujo D não corresponde aos valores esperados), porém cada permutação d-boa gera um par diferente. Logo o número de permutações d-boas de Sn é menor ou igual a pd 1q2n.
Teorema 1.9.2. Se R é uma PI-álgebra e o T-ideal T de R contém uma identidade
polinomial de grau d, então o espaço vetorial dos polinômios multilineares de grau n em KxXy é gerado, módulo T , pelos monômios xπp1q xπpnq em que π P Sn é d-boa.
Demonstração. Como T contém uma identidade polinomial de grau d, ele contém uma
identidade multilinear de grau d. Sem perda de generalidade, podemos assumir que R satisfaz uma identidade da forma
xdxd1 x1
¸
σPSd
ασxσp1q xσpdq,
em que ασ P K e a soma percorre todas as permutações diferentes da permutação δ P Sd
definida como δ 1 2 . . . d 1 d d d 1 . . . 2 1 .
Iremos trabalhar em PnpRq Pn{Tn, isto é, o espaço vetorial dos polinômios multilineares
de grau n módulo as identidades polinomiais de R. Defina Gd como o conjunto de
todos os monômios xσp1q xσpnq P PnpRq tais que a permutação σ P Sn é d-boa. Vamos
mostrar que Gd gera PnpRq. Considerando a ordem lexicográfica dos monômios (isto é,
algum k), defina h xπp1q xπpnqcomo o menor monômio que não está no espaço vetorial
gerado por Gd. Então, por definição, π tem uma sequência decrescente de tamanho d, isto
é, existem i1 id tais que πpi1q ¡ πpidq e portanto podemos escrever h na forma
h h0xπpi1qh1xπpi2qh2 hd1xπpidqhd.
Aplicando a identidade polinomial de grau d usando xd xπpi1qh1, xd1 xπpi2qh2, . . . ,
x2 xπpid1qhd1, x1 xπpidqhd obtemos h h0 pxd x1q ¸ σPSd ασh0xσp1q xσpdq ¸ σ1PSd ασ1h0xπpiσ1pdqqhσ1pdqxπpiσ1pd1qqhσ1pd1q xπpiσ1p1qqhσ1p1q
em que σ1piq d 1 σpd 1 iq. Como πpi1q ¡ ¡ πpidq e a soma percorre as
permutações diferentes de δ, temos que todos os monômios da última soma são lexicogra- ficamente menores que h, e portanto devem estar no espaço gerado por Gd. Portanto h
também está no espaço gerado por Gd, absurdo. Concluímos que Gd gera PnpRq.
Dos dois teoremas anteriores temos que:
Corolário 1.9.1. Seja R uma PI-álgebra com uma identidade polinomial de grau d. Então
a codimensão de R satisfaz cnpRq ¤ pd 1q2n, n 0, 1, 2, . . .
Observamos aqui que dim Pn n !. O teorema de Regev nos diz que se R é
uma PI-álgebra então dimpPn{PnX T pRqq cn para todo n, onde c é alguma constante.
Assim, as codimensões de uma PI-álgebra têm crescimento exponencial mas não fatorial. Por outro lado, se R é uma PI-álgebra então as dimensões de PnX T pRq crescem muito
rápido, mais que qualquer função exponencial. Portanto, ao invés de estudar as identidades multilineares de uma álgebra, é “mais fácil” estudar as “não-identidades”, isto é, os elementos de Pn{PnX T pRq.
Agora vamos demonstrar o teorema de Regev sobre o produto tensorial de PI-álgebras.
Teorema 1.9.3 (Regev). O produto tensorial R R1bK R2 de duas PI-álgebras R1 e
R2 sobre um corpo K é também uma PI-álgebra.
Demonstração. Suponha que R1 e R2 satisfazem identidades polinomiais de grau d1 e d2,
respectivamente. Então, pelo Corolário 1.9.1,
Escolhemos n tal que cnpR1qcnpR2q n!. Isso sempre é possível pois an n! para n
suficientemente grande. Sejam
tgipx1, . . . , xnq | i 1, 2, . . . , c1 cnpR1qu,
thjpx1, . . . , xnq | j 1, 2, . . . , c2 cnpR2qu
bases de PnpR1q e PnpR2q, respectivamente. Para toda permutação π P Sn consideramos
xπp1q xπpnq como um elemento de PnpR1q e o escrevemos como uma combinação linear
xπp1q xπpnq c1
¸
i1
βπigipx1, . . . , xnq
em que βπi P K. Da mesma forma, para PnpR2q
xπp1q xπpnq c2 ¸ i1 γπjhjpx1, . . . , xnq em que γπj P K.
Note que as duas equações acima são identidades polinomiais de R1 e R2, isto
é, elas são automaticamente satisfeitas para quaisquer u1, . . . , un P R1 e v1, . . . , vnP R2,
respectivamente. Agora nós procuramos por uma identidade polinomial de grau n para o produto tensorial R R1b R2 de K-álgebras. Seja
fpx1, . . . , xnq
¸
πPSn
ξπxπp1q xπpnq 0
a identidade polinomial de R que procuramos. Como f 0 é multilinear, é suficiente mostrar que ela é válida para u1b v1, . . . , unb vn arbitrários, em que u1, . . . , un P R1 e
v1, . . . , vnP R2. Calculando fpu1b v1, . . . , unb vnq obtemos fpu1b v1, . . . , unb vnq ¸ πPSn ξπpuπp1qb vπp1qq puπpnqb vπpnqq ¸ πPSn ξπpuπp1q uπpnqq b pvπp1q. . . uπpnqq ¸ πPSn c1 ¸ i1 c2 ¸ i1 ξπβπiγπjgipu1, . . . , unqhjpu1, . . . , unq c1 ¸ i1 c2 ¸ i1 p¸ πPSn ξπβπiγπjqgipu1, . . . , unqhjpu1, . . . , unq 0.
Assim, consideramos o sistema linear homogêneo ¸
πPSn
ξπβπiγπj 0
em que i 1, . . . , c1 e j 1, . . . , c2. A quantidade de variáveis ξπ é n! e a de equações
é c1c2 cnpR1qcnpR2q n!, portanto o sistema tem uma solução não nula. Tal solução
Faremos um comentário sobre a importância do teorema de Regev. Ele pro- videncia uma maneira bastante natural (mas não trivial) de construção de PI-álgebras a partir de álgebras dadas que são também PI-álgebras. Além disso tal maneira não é evidente como por exemplo o caso de somas diretas finitas ou subálgebras. Ainda mais, a demonstração acima mostra a importância dos métodos provenientes da combinatória algébrica para o estudo das PI-álgebras. Ressaltamos aqui que as identidades da álgebra de Grassmann E são bastante imediatas para descrever, enquanto ainda as de E b E são altamente não triviais. Mais um exemplo: as identidades de M2pKq em característica 0
são bem conhecidas, mas as de M2pKq b E M2pEq ainda não são conhecidas apesar dos
esforços de diversos pesquisadores. Por outro lado o teorema de Regev nos diz que essas álgebras satisfazem identidades polinomiais.