Coeficientes de Wilson

Conforme visto na lagrangeana (2.20), podemos definir uma teoria efetiva como uma soma de operadores Oi, cada um dos quais possui dimensão Di. Assim, podemos

dividir os acoplamentos de cada operador em uma constante adimensional ci, também

conhecida como coeficiente de Wilson, e uma escala de massa elevada a uma potência de modo a termos cada operador com a dimensão de massa desejada para que a ação se mantenha adimensional. L = Lkin+ X i ci ΛDi−dOi (2.21)

De maneira geral, Λ é definida como uma escala de alta energia, ou grandes massas, assim, efeitos indiretos mediados por termos desta física em altas energias são proporcianais a ci.

Em situações que não conhecemos bem a física em uma dada escala, porém nos eliminamos determinados graus de liberdade acima de uma escala de energia Λ com o intuito de obter uma teoria efetiva para energias abaixo da escala Λ, essa aproximação é chamada top-down, podemos determinar com segurança a forma dos operadores Oi.

Contudo, para os casos em que não sabemos sobre a teoria em escalas de energias mais altas, esta aproximação é conhecida como bottom-up, é necessário uma forma para que possamos construir os operadores Oi. Surpreendentemente, a maneira com que podemos

determinar um novo conjunto de operadores Oi é bem simples e direta, temos que levar

em conta três fatores:

• O conteúdo de partículas: Em teorias efetivas os campos utilizados são graus de liberdade dinâmicos, ou seja, estes podem formar tanto as pernas externas quanto

2.3. Bases para a construção do Modelo Padrão Efetivo 67

os propagadores dos diagramas de Feynman. Todas as partículas com massa m ≪ Λ devem ser incluídas. Os operadores são combinações entre os campos e suas derivadas. • Simetrias: Algumas propriedades das simetrias que governam nossa realidade vêm

sendo medidas com extrema precisão, por isso é de se esperar que alguma violação destas simetrias seja suprimida ou ocorra apenas em escalas de energias muito altas. Estas simetrias podem ser a simetria de calibre SUc(3)⊗SUL(2)⊗UY(1), ou simetrias

do tipo espaço-tempo (simetrias de Lorentz) ou ainda simetrias globais (simetrias de sabor).

• Contagem de Potências2_{: com um conjunto de partículas e simetrias, podemos}

construir um número incontável de operadores diferentes. Desse modo, é necessário algumas regras para decidirmos quais operadores nós podemos negligenciar. Aqui entra em ação a importância da dimensão de massa dos operadores, conforme discutido anteriormente, é esperado que operadores com dimensão de massa D > d sejam suprimidos por um fator 1

ΛD−d. Assim, operadores com dimensão de massa

alta sejam mais suprimidos. Determinar um valor máximo para a dimensão dos operadores é a maneira mais eficiente para limitar o número de operadores a serem incluidos em nossa lagrangeana efetiva.

Com isso, temos as ferramentas necessárias para a construção da lagrangeana efetiva do MP.

2.3 Bases para a construção do Modelo Padrão Efetivo

Para uma grande classe de modelos além do MP, a física que ocorre abaixo de uma determinada escala de massa Λ pode ser parametrizada através de uma teoria efetiva (EFT), com a lagrangeana do MP sendo acrescida com novos operadores com dimenão D maior que 4. A teoria possui os mesmos conteúdos de campos descritos no MP, assim como as mesmas simetrias de calibre SUc(3) ⊗ SUL(2) ⊗ UY(1). Os operadores com dimenões

altas (Higher Dimensional Operators) D são organizados como uma expansão em D, com cada termo consecutivo é suprimido por por uma potência cada vez maior em Λ.

Lef f = LM P + X i c(5)i Λ O (5) i + X i c(6)i Λ2O (6) i + X i c(7)i Λ3 O (7) i + ... (2.22) Cada operador OD

i é invariante sobre as transformaçõesdos grupos SUc(3) ⊗

SUL(2) ⊗ UY(1) e os parâmetros c(D)i são os coeficientes de Wilson. Este tipo de teoria

efetiva é elaborada de modo a parametrizar efeitos observáveis para uma ampla classe de modelos além do MP com novas partículas com massa da ordem de Λ muito maior que as

massas das partículas do MP, ou até mesmo maior que a resolução de energia dos atuais experimentos.

A principal motivação para se trabalhar com teorias efetivas é a determinação dos limites para os parâmetros de uma EFT que depois podem ser re-interpretados como vínculos nas massas e acoplamentos das novas partículas em diferentes teorias além do MP. Ou seja, a tradução dos dados experimentais em limites para os parâmetros da teoria só precisa ser feito uma vez para teorias efetivas ao contrário de ser feita separadamente para cada modelo além do MP.

A contribuição de cada operador OD

i para as amplitudes de um dado processo físico

em uma escala de energia v cresce com (v/Λ)D_{−4. Uma vez que v/Λ < 1, então uma dada}

EFT que se encontra dentro de seu limite de energia em que a mesma é válida geralmete descreve pequenos desvios das previsões feitas pelo MP. Contudo, sob certas condições, uma EFT pode descrever grandes desvios de predições do MP(50, 51).

Um conjunto completo de operadores não redundantes podem ser construídos a partir dos campos do MP, são conhecidos os operadores com dimensão D = 5(52),

D= 6(53), D = 7(54) e D = 8(55). Todos os operadores com D = 5 violam a simetria de

número leptônico. Devido a essa característica, esses operadores são utilizados em modelos de geração de massa para os neutrinos, enquanto os operadores com D = 7 violam a simetria de número bariônico-leptônico ou B − L (assim como para todos os operadores conhecidos com D ímpar(56)). Dessa forma, os limites experimentais determinam que os respectivos coeficientes de Wilson para esses operadores devem ser suprimidos a um nível em que os fazem invisíveis ao LHC(57), e por esse motivo esses operadores não serão abordados aqui. Consequentemente é esperado que efeitos de uma nova física possam ser observados em operadores com D = 6(58), suprimidos por um fator (v/Λ)2_{. As contribuições dos termos}

com D ≥ 8 são suprimidas por um fator (v/Λ)4 _{ou maior e podem ser desconsideradas}

para o caso apresentado aqui.