Quantos carros podem ser lacrados na cidade de São Paulo com placas com 3 letras e 4 algarismos?
Problemas relacionados à contagem de elementos de um conjunto são trata- dos numa área da matemática conhecida como Análise Combinatória, ou ape- nas Combinatória. O estudo de problemas desse tipo é muito antigo e chamou a atenção de muitos matemáticos importantes como L. Euler (1707-1783) e B. Pascal (1625-1662), entre outros. Essa área tem tido um grande crescimento nas últimas décadas, devido ao desenvolvimento da ciência da computação. Problemas de enumeração (contagem) aparecem com muita freqüência em
teoria dos grafos, em análise de algoritmos etc. Muitos problemas importan-
tes podem ser modelados matematicamente usando a teoria dos grafos (pro- blemas de pesquisa operacional, de armazenamento de informações em ban- cos de dados nos computadores e também problemas matemáticos teóricos, como o famoso problema das 4 cores, que veremos mais adiante).
O nosso principal objetivo aqui será o de estudar algumas técnicas e con- ceitos que permitam a contagem de certos tipos de conjuntos finitos. Veremos *Parcialmente baseado no material de Cerri, C.; Druck, I. F. e Pereira, A. L. Combinatória Sem Fórmulas, do Projeto Pró-Ciências da Fapesp (2002) e do Projeto PEC-Construindo Sempre-PEB II, USP-SEE (2003).
Orga niza dores
Antônio Carlos Brolezzi Elvia Mureb Sallum Ma rtha S. Monteiro
Ela bora dora
que muitos problemas de contagem podem ser tratados usando apenas alguns princípios básicos. Vamos enfatizar a compreensão plena do problema trata-
do e o reconhecimento da técnica adequada em cada caso, não as fórmulas,
que são muito úteis, mas resolvem apenas tipos especiais de problemas. Vamos começar discutindo um problema simples de contagem. Em um car- dápio de um restaurante italiano estão listados 5 tipos de massas e 7 tipos de molhos distintos. Quantos pedidos distintos podem ser feitos? É fácil obter a resposta: 35. Foi utilizado um princípio básico de contagem: para cada tipo de massa escolhida tem-se 7 molhos diferentes para escolher, e assim, temos 5 x 7 diferentes pratos.
Vamos retomar o problema das placas de carros na cidade de São Paulo. Quantas placas de automóveis podem ser formadas usando-se três letras (in- clusive K, Y e W) e quatro algarismos? Veja o esquema abaixo de uma placa de automóvel:
Para formar uma placa, temos que escolher uma letra entre 26 para colo- car na primeira posição. Escolhida essa letra, temos 26 escolhas possíveis para a segunda posição. Então temos 26 x 26 = 676 possibilidades de preen- chimento das duas primeiras letras da placa. Mas ainda temos que preencher mais uma casa com uma letra. Assim podemos ter 26 x 26 x 26 = 17.576 maneiras de preencher a placa com 3 letras. Falta ainda colocar os 4 algaris- mos. Em cada posição temos 10 escolhas de algarismos. Então temos 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 possibilidades. Portanto, no total teremos 175.760.000 placas. Como para cada carro temos apenas uma placa, esta é a quantidade de carros que podem ser lacrados na cidade de São Paulo!
Neste caso, esta técnica de efetuar a contagem foi eficiente.
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Você fará um exame cuja prova é composta de 10 questões de múltipla escolha com 5 alternativas por questão cada uma. Quantos são os gabaritos possíveis?
Vejamos mais um exemplo.
Uma bandeira é formada por quatro listras que devem ser coloridas com até 4 cores, por exemplo, amarelo, vermelho, branco e preto, não devendo ter listras adjacentes com a mesma cor. De quantos modos a bandeira pode ser colorida?
Podemos pintar a primeira listra com 4 cores diferentes e a segunda listra com 3 cores. Mas 3 cores podem ser usadas para pintar a terceira listra, pois pode-se repetir a cor usada na primeira listra. E finalmente podemos usar 3 cores para pintar a quarta listra. Portanto temos 4 x 3 x 3 x 3 = 108 bandeiras diferentes.
Nos problemas acima, usamos um princípio básico de contagem que pode ser escrito, na forma geral, da seguinte maneira.
1a 2a 3a 1o 2o 3o 4o
letra letra letra algarismo algarismo algarismo algarismo
1a 2a 3a 4a
Princíp io da Mult ip licação Princíp io da Mult ip licaçãoPrincíp io da Mult ip licação Princíp io da Mult ip licaçãoPrincíp io da Mult ip licação
Se uma decisão d1 pode ser tomada de p1 maneiras e se, uma vez tomada a decisão d1, a decisão d2 puder ser tomada de p2 maneiras, então o número de maneiras de se tomarem as decisões d1 e d2 é p1 x p2 maneiras.
Facilmente, o princípio acima pode ser generalizado para uma quantidade finita de decisões.
Agora, usando o princípio da multiplicação, resolva alguns problemas de contagem.
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Em uma estante existem 5 livros em espanhol, 6 em francês e 3 em inglês. De quantas maneiras posso escolher 2 livros sem escolher dois da mesma língua?
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- Quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem? (Preste atenção: as decisões envolvidas podem ser tomadas em várias ordens. Qual é a mais conveniente?) - Quantos números naturais pares de 3 algarismos distintos existem? (Qual a dificuldade maior deste problema?)
Um outro princípio elementar de contagem diz respeito ao número de elementos da união de conjuntos.
Um problema de contagem muito interessante é o seguinte: ao se colorir um mapa, pode-se usar a mesma cor mais de uma vez, desde que dois países que têm fronteira comum sejam pintados de cores diferentes. Usando no má- ximo 4 cores, de quantas maneiras se pode colorir um mapa formado pelos seguintes países: Brasil, Uruguai, Argentina e Paraguai? E um mapa formado por Brasil, Uruguai, Argentina, Paraguai e Chile? E pelos países Brasil, Ar- gentina, Paraguai e Bolívia?
Usando no máximo 3 cores, seria possível pintar um mapa formado pelos países Brasil, Uruguai, Argentina e Paraguai? E o mapa formado por Brasil, Argentina, Paraguai e Bolívia?
O Problem a das 4 Cores O Problem a das 4 CoresO Problem a das 4 Cores O Problem a das 4 CoresO Problem a das 4 Cores.
Na resolução do problema anterior, você percebeu que, em alguns casos, não se pode usar menos de 4 cores para pintar um determinado mapa. Mas, fazendo alguns testes, percebe-se que é possível pintar vários mapas com até 4 cores. Será possível pintar qualquer mapa com até 4 cores? Este atraente problema pode ser formulado matematicamente, já que “mapas” não deixam de ser subdivisões do plano que não se sobrepõem. O Problema das 4 Cores, como é conhecido hoje, foi proposto pela primeira vez em 1852, por Francis Guthrie. Contudo, só foi publicado em 1878, após ter sido estudado por vários matemáticos da época. Em 1879, Kempe apresentou a primeira “demonstração” da conjectura, cujo erro foi descoberto por Heawood, que provou que o resultado era verdadeiro para 5 cores. Finalmente, depois de
muitos anos e esforços, o resultado foi provado em 1977 por K. Appel e W. Haken. Porém, a demonstração fez uso de mais de 1200 horas de processamento (isso mesmo, computador!), o que provocou grandes discussões sobre a validade da prova. Recentemente, em 1997, N. Robertson, D. Sanders, P. Seymour e R. Thomas encontraram uma resolução mais simples, mas ainda dependente do auxílio de computadores.
Princípio da Adição Princípio da AdiçãoPrincípio da Adição Princípio da AdiçãoPrincípio da Adição
Se A e B são dois conjuntos disjuntos, com p e q elementos respectivamente, então A B possui p+q elementos.U
O problema das 4 cores é um típico problema de Teoria dos Grafos. Um “grafo” é um tipo de diagrama com vértices e linhas. Podemos fazer um es- quema do problema das 4 cores usando um diagrama do tipo,
onde cada vértice é um país. Uma linha ligando os vértices significa que os países têm fronteiras em comum. Um outro problema fascinante deste tipo é o Problema das Sete Pontes de Königsberg, que foi resolvido por L. Euler em 1735. Como este é um assunto bastante vasto, não o discutiremos aqui. Se você ficou interessado, leia sobre o problema na Revista do Professor de Ma- temática (Alguns problemas clássico sobre grafos, n. 12, 1988) ou no site http://www.prof2000.pt/users/agnelo/pontesh.htm.
Voltemos aos problemas de contagem.
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- De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras em fila? (Resposta 60) - Quantos números de quatro dígitos são maiores que 2400 e
(a) têm todos os dígitos diferentes? (Resposta 3864) (b) não têm dígitos iguais a 3, 5 ou 6? (Resposta 1567)
(c) satisfazem às duas condições acima simultaneamente? (Resposta 560) - Quantos subconjuntos possuem um conjunto de n elementos? (Resposta 2n)
Discuta com seus colegas o raciocínio usado em cada resolução, pois às vezes obtém-se a resposta correta por métodos incorretos.
Vamos fazer algumas generalizações. Consideremos n objetos distintos. De quantas maneiras n objetos diferentes podem ser ordenados? De quantas for- mas podemos permutá-los? A resposta é fácil agora: n(n-1).(n-2)...3.2.1=n! Se, por outro lado, desejamos saber de quantos modos podemos ordenar m objetos dentre os n, logo m n, a resposta é de
maneiras.