Da mesma forma que no caso dos juros simples, discutido anteriormente, o valor financiado deve ser corrigido para com- por o pagamento final. Nesse caso, trata- -se de corrigir R$ 10 mil, em 24 meses, a juros compostos de 5%, o que implica mul-
tiplicarmos 10 000 por 1,0524. Isso feito,
teremos R$ 32 251,00. Mas esse valor não é devolvido de uma única vez, ao final do financiamento, e sim em parcelas mensais. Para o cálculo do valor dessa parcela, de- vemos imaginar alguém que deposite, men- salmente, um valor p, a juros compostos de 5%, durante 24 meses. Nesse caso, o valor total depositado será igual ao resultado da seguinte adição:
S = P ⋅ (1,05 + 1,052 + 1,053 + ... + 1,0524). O valor de S, como observado anterior- mente, é R$ 32 251,00. Para o cálculo da par- cela p, será preciso calcular a soma da PG formada pelos termos dentro dos parênteses.
32 251 = P ⋅ an ⋅ q – a1 q – 1 = P ⋅ 1,0524 ⋅ 1,05 – 1,05 1,05 – 1 32 251 = P ⋅ 1,05 . (1,05 24 – 1) 1,05 – 1 = = P ⋅ 21 ⋅ (1,0524 – 1)
Dado que 1,0524 ≈ 3,225, fazemos:
32 251 = P ⋅ 21 ⋅ (3,225 – 1) 32 251 = P ⋅ 46,725 ⇒ P = 690,23
Portanto, a juros compostos, a parcela de financiamento deverá ser igual a R$ 690,23.
Os cálculos envolvendo processos de ca- pitalização e de amortização são comumen- te vistos em situações do cotidiano, muito embora nem sempre de forma transparente. Por isso, é comum que surjam dúvidas por parte dos alunos, as quais caberá ao profes- sor esclarecer. No caso que analisamos, do financiamento de R$ 10 mil, é preciso des- tacar com muita ênfase dois aspectos gera- dores de dúvidas. O primeiro deles refere-se à necessidade de corrigir o valor financiado,
isto é, multiplicar 10 000 por 1,0524. Os alu-
nos precisam entender que o bem financiado será considerado quitado apenas quando a última parcela for paga, e que, por esse mo- tivo, é preciso considerar a correção do valor financiado. A segunda dúvida que costuma ocorrer nesse caso refere-se à necessidade de calcular o valor futuro de cada parcela que vai sendo paga, o que conduz ao cálculo da soma da PG. É comum os alunos fazerem,
equivocadamente, a simples divisão do resul-
tado do produto 10 000 ⋅ 1,0524 por 24 para
determinar o valor de cada parcela. O profes- sor deve chamar a atenção dos alunos para o fato de que as parcelas não são todas pagas ao final do financiamento, mas sim em tem- pos diferentes, e que, portanto, o valor futuro de uma parcela não é igual ao da outra.
julgamos importante que o professor dis- cuta alguns exemplos de cálculos de mon- tantes e de parcelas de amortização, mas não deixe de retomar o assunto quando abordar o crescimento exponencial no Volume 2.
Após discutir alguns exemplos com seus alunos, o professor poderá propor a reso- lução da seguinte sequência de problemas exemplares.
17. uma financeira remunera os valores inves-
tidos à base de 4% de juros simples. Quan- to conseguirá resgatar nesse investimento uma pessoa que depositar, mensalmente, 500 reais durante 10 meses?
Trata-se de calcular a soma S = 520 + 540 + 560 + 580 + ... + 700. S = (520 + 700) ⋅ 10
2 = 1 220 ⋅ 5 = 6 100 O resgate será de R$ 6 100,00.
18. Laura aderiu a um plano de capitalização de
um banco, depositando, mensalmente, mil reais durante 12 meses. Se o banco promete remunerar o dinheiro aplicado à taxa de 2% de juros compostos ao mês, calcule quanto Laura resgatará ao final do período.
Trata-se de calcular a soma de termos em PG: S = 1 000 ⋅ 1,02 + 1 000 ⋅ 1,022 + 1 000 ⋅ 10,23 + ... + 1 000 ⋅ 1,0212 S = 1 000 ⋅ (1,02 + 1,022 + 1,023 + ... + 1,0212) S = 1 000 ⋅ an ⋅ q − a1 q − 1 = = 1 000 ⋅ 1,0212 ⋅ 1,02 − 1,02 1,02 − 1 = = 1000 ⋅ 1,02 ⋅ (1,0212 − 1) 0,02 = = 1 000 ⋅ 51 ⋅ (1,0212 − 1) = 51 000 ⋅ 0,27 = 13 770
Portanto, o resgate será de R$ 13 770,00.
19. Carlos deseja comprar um automóvel que
custará, daqui a dez meses, R$ 15 500,00. Para atingir seu objetivo, Carlos resol- veu depositar uma quantia x em um investimento que promete remunerar o dinheiro aplicado à razão de 10% de juros simples ao mês. Qual deve ser o valor mínimo de x para que Carlos con- siga comprar o automóvel ao final dos dez meses?
Sendo o cálculo do montante à base de juros simples, temos a soma de termos em PA, da seguinte maneira:
S = 1,1 ⋅ x + 1,2 ⋅ x + 1,3 ⋅ x + ... + 2,0 ⋅ x 15 500 = x ⋅ (1,1 + 1,2 + 1,3 + ... + 2,0) 15 500 = x ⋅ (a1 + an) ⋅ n 2 → → 15 500 = x ⋅ (1,1 + 2,0) ⋅ 10 2 → → 15 500 = x ⋅ 15,5 → x = 1 000
Portanto, a parcela mínima a ser depositada é igual a R$ 1 000,00.
20. uma geladeira cujo preço à vista é de
R$ 1 500,00 será financiada em seis par- celas mensais fixas. Se os juros compos- tos cobrados no financiamento dessa
geladeira são de 3% ao mês, qual é o valor da parcela mensal? (observação: 1,036 = 1,19.)
O valor futuro da geladeira, em seis meses, será igual a 1 500 ⋅ 1,036 = 1 500 ⋅ 1,19 = 1 785.
A soma das parcelas fixas, a 3% de juros compostos ao mês, corresponde a: S = P ⋅ (1,03 + 1,032 + ... + 1,036), onde
P é o valor da parcela fixa mensal. Como S = 1 785, tem-se: 1 785 = P ⋅ 1,03 6 ⋅ 1,03 − 1,03 1,03 − 1 = P ⋅ 1,03 ⋅ (1,036 − 1) 0,03 = = P ⋅ 34,33 ⋅ (1,036 − 1) = P ⋅ 34,33 ⋅ 0,19 = = 1 785 = P ⋅ 6,5227 ⇒ P = 273,65
Portanto, a parcela mensal deverá ser igual a R$ 273,65.
21. julia guardou, mensalmente,
200 reais em um banco que re- munerou seu dinheiro à base de 4% ao mês de juros compostos. Ao final de 8 meses de aplicação, julia usou o di- nheiro que havia guardado para dar de entrada em um pacote de viagem que custava, à vista, R$ 5 mil. julia pretende financiar o saldo devedor em 5 vezes, em parcelas iguais e fixas, à taxa de 2% ao
mês. (observação: 1,048 ≅ 1,37; 1,025 ≅
≅1,10.)
a) Quanto julia deu de entrada no pacote
de viagem?
O valor total capitalizado exige o cálculo de uma soma de termos em PG. S = 200(1,04 + 1,042 + 1,043 + ... + 1,048) S = 200 ⋅ 1,048 ⋅ 1,04 − 1,04 1,04 − 1 = = 200 ⋅ 1,04 ⋅ (1,048 − 1) 0,04 = 200 ⋅ 26 ⋅ (1,37 − 1) = 1 924
b) Qual é o valor da parcela mensal fixa
do financiamento do saldo do pacote de viagem?
O valor financiado foi igual à diferença entre R$ 5 mil e R$ 1 924,00, ou seja, R$ 3 076,00. Esse valor, em cinco meses, a 2% ao mês, torna-se 3 076 ⋅ 1,025 = 3 383,60.
Uma parcela fixa P, paga todo mês e corrigida à base de 2% ao mês, deve, ao final, gerar montante equivalente a R$ 3 383,60. 3 383,60 = P ⋅ (1,02 + 1,022 + 1,023 + 1,024 + 1,025) 3 383,60 = P ⋅ 1,025 ⋅ 1,02 − 1,02 1,02 − 1 = = P ⋅ 1,02 ⋅ (1,025 − 1) 0,02 = P ⋅ 51 ⋅ 0,10 = P ⋅ 5,1 3 383,60 = P ⋅ 5,1 ⇒ P = 663,45
Portanto, a parcela fixa será igual a R$ 663,45.
Considerações sobre a avaliação
Nesta Situação de Aprendizagem, de for- ma semelhante ao realizado na anterior, foi proposto que as somas das PAs e PGs fossem estudadas paralelamente. Insistimos nessa prática, pois entendemos que ela valoriza a percepção de regularidades numéricas possí- veis de serem traduzidas por equações mate- máticas, em detrimento da aplicação imediata de fórmulas na resolução de exercícios des- contextualizados.
A apresentação das expressões de cálculo para as somas das sequências foi feita a partir da ideia de que cálculos que se repetem devi- do a algum tipo de regularidade podem ser traduzidos por intermédio de um algoritmo, isto é, por uma sequência ordenada de passos
que, quando realizada corretamente, conduz ao resultado desejado de forma mais rápida. Consideramos importante que os alunos com- preendam essa ideia e que, após a exercitarem durante a resolução de alguns problemas, possam, com autonomia, generalizar em uma expressão o raciocínio envolvido no algoritmo.
Os instrumentos preparados para a ava- liação dos conceitos aqui tratados deverão levar em conta, de acordo com as considera- ções anteriores, a possibilidade de que sejam propostos problemas que envolvam tanto PAs como PGs, desenvolvidos sobre contex- tos diferentes dos problemas apresentados e discutidos durante as aulas, com base no contexto da Matemática Financeira e nos cálculos de montantes e de parcelas em pro- cessos de capitalização.
Gostaríamos, ainda, de ressaltar o fato de que a obtenção de soma de termos de uma PG exige, via de regra, o cálculo de uma potência na qual, muitas vezes, a base não é um número inteiro. As aplicações das progressões à Ma- temática Financeira são exemplos clássicos dessas situações. Nesses casos, visando a que o aspecto da compreensão conceitual não seja sobrepujado pela dificuldade aritmética, suge- rimos ao professor que permita o uso de cal- culadoras, inclusive científicas, até mesmo nas avaliações individuais. uma segunda sugestão é fornecer ao aluno o resultado aproximado da potência necessária para a resolução da atividade proposta.