Quando formamos agrupamentos com p elementos (p < m), de forma que os p elementos sejam distintos entre si apenas pela espécie.
Combinação simples: não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada
grupo de p elementos.
Fórmula: Cm,p = (m-p)!p! em que m = número total de elementos/m! p = número de elementos a serem combinados
Cálculo para exemplo: C4,2 = (4-2)!2! 4!
Exemplo: seja C = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. As combinações simples desses 4 elementos, tomados 2 a 2, são 6 grupos que não podem ter a repetição de qual- quer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Cs= {AB, AC, AD, BC, BD, CD}
Nas questões com termos referentes a equipes, times, diretorias, grupos, comissões, turmas etc., enfim, termos que indicam ideia de conjunto, teremos grupos nos quais a ordem não importa, ou seja, se a ordem for modificada, não teremos um novo agrupamento.
É comum não utilizar todos os elementos para construção de novos grupos, uma vez que, se forem utilizados todos os elementos, obteremos apenas um grupo.
“A ORDEM DOS ELEMENTOS NÃO ALTERA A NATUREZA”
20. Em uma festa com 20 pessoas, todas se cumprimentam uma só vez. Dessa forma, são possíveis quantos apertos de mão?
190.
Nessa questão, a ordem não altera a natureza, uma vez que, se a pessoa “A” cum- primentar a pessoa “B”, não torna necessário a pessoa “B” cumprimentar a pessoa “A”. Para que haja um aperto de mão, são necessárias duas pessoas (p = 2).
Sendo assim, trata-se de combinação e podemos resolver de duas maneiras: 1ª) Pela fórmula
Cm,p = (m-p)!p! = C20,2 = m! (20-2)!2!20! = 20x19x18!18!2! = 20x192x1 = 190 apertos
de mão.
2ª) Sem fórmula
Para obter um aperto de mão, é necessária a presença de duas pessoas. Logo, ire- mos utilizar dois espaços: “_____X_____”; e, para que possamos retirar os agru- pamentos que se repetem, iremos dividir pelo fatorial da quantidade de espaços utilizados.
20x19
2x1 = 190, o numerador expressa 20 possibilidades para a primeira pessoa,
e 19 para a segunda pessoa. No denominador, temos 2 × 1, uma vez que repre- senta o fatorial de 2 = 2!. O denominador tem a função de retirar os agrupamentos repetidos.
21. Ao término de uma reunião, cada um dos participantes cumprimentou os ou- tros com um aperto de mão apenas uma vez. Quantas pessoas havia na reunião, se foram trocados 55 apertos de mão?
11 pessoas.
Esta questão apresenta a quantidade de apertos de mão e solicita a quantidade de pessoas presentes na reunião.
Cx,2 = 55 Cx,2 = (x-2)!2! = x! x.(x-1).(x-2)!(x-2)!2! = x.(x-1)2.1 = 55
x2 – x = 110
→
equação do 2º grau. x2 – x – 110 = 0, resolvendo a equação teremos:S {–10, 11}, logo, iremos considerar a solução positiva.
22. (ESAF) Na Mega-Sena são sorteadas 6 dezenas de um conjunto de 60 pos-
síveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02,..., 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as 6 dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza ma- temática que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:
a) 8.
b) 28.
c) 40.
d) 60.
Letra b.
Esta questão trata-se de uma combinação, uma vez que a ordem dos números
não altera a aposta. Pedro sonhou com 8 números, sendo que 6 fazem parte de
uma aposta simples. Logo, podemos ter:
Cn,p = (n-p)!p! = n! (8-6)!6! = 8! 2!6! = 8! 8x7x6!2!x6! = 8x72x1 = 28 apostas simples diferentes
(quantidade total)
23. (CESPE/ADAPTADA) No item a seguir é apresentada uma situação hipotética
seguida de uma assertiva a ser julgada, acerca de contagens.
( ) Em um tribunal, os julgamentos dos processos são feitos em comissões com- postas por 3 desembargadores de uma turma de 5 desembargadores. Nessa situ- ação, a quantidade de maneiras diferentes de se constituírem essas comissões é superior a 12.
Errado.
A questão indica a formação de comissões, na qual a ordem dos integrantes não
altera a natureza da comissão. Sendo assim, trata-se de combinação.
AUTOAVALIAÇÃO
1. (CESGRANRIO) Para ter acesso a um arquivo, um operador de computador pre-
cisa digitar uma sequência de cinco símbolos distintos, formada de duas letras e três algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da sequência em que apa- recem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode fazer para acessar o arquivo é: a) 240. b) 216. c) 120. d) 360. e) 200.
2. (CESGRANRIO) Uma empresa tem um quadro de funcionários formado por 3
supervisores e 10 técnicos. Todo dia, é escalada para o trabalho uma equipe com 1 supervisor e 4 técnicos. Quantas equipes diferentes podem ser escaladas?
a) 15.120.
b) 3.780.
c) 840.
d) 630.
e) 510.
3. (CESGRANRIO) Em certa universidade, o número de matrícula dos estudantes
é formado por 7 dígitos, repetidos ou não. Os números seguem um padrão: o pri- meiro dígito não pode ser zero, o antepenúltimo indica em que semestre (primeiro
“4234.207” é um número de matrícula atribuído a um estudante que iniciou seu curso no segundo semestre de 2007. Se dois estudantes matriculados num mesmo ano devem ter, obrigatoriamente, números de matrícula diferentes, qual é o núme- ro máximo de estudantes que podem ser matriculados em 2008?
a) 6.046.
b) 9.000.
c) 10.080.
d) 18.000.
e) 20.000.
4. (CESGRANRIO) Certa operadora de telefonia celular só pode habilitar telefones de 8 dígitos, que comecem por 9 e tenham como segundo dígito um algarismo menor ou igual a 4. Qual a quantidade máxima de números telefônicos que essa operadora pode habilitar em uma mesma cidade?
a) 3 × 106.
b) 4 ×106.
c) 5 × 106.
d) 4 ×C9,6.
e) 5 × C9,6.
5. (CESGRANRIO) Certo campeonato estadual de futebol será realizado com 14
clubes divididos em dois grupos iguais. Dentro de cada grupo todos os times se enfrentarão uma única vez. Em seguida, serão realizadas as partidas semifinais, quando o primeiro colocado de cada grupo enfrentará o segundo colocado do outro grupo. A final será realizada com os vencedores desses dois jogos. No total, quan-
a) 87.
b) 84.
c) 65.
d) 45.
e) 42.
6. (2015/CESGRANRIO/PETROBRAS) Durante o intervalo, alguns alunos jogam um
torneio de pingue-pongue no qual quem perde uma partida é eliminado. Cada partida é disputada por dois alunos e há somente uma mesa de pingue-pongue na escola. Para que esse torneio termine exatamente na hora em que o intervalo termina, cada partida deve ter, exatamente, 3 minutos. Além disso, as regras do torneio são estabelecidas de modo a não ocorrer empate nas partidas.
Se o intervalo dura 30 minutos, quantos alunos disputam o torneio?
a) 11
b) 10
c) 9
d) 8
e) 6
7. (2013/CESGRANRIO/BNDES) Compareceram a uma festa exatamente 20 ho-
mens com suas respectivas esposas.
Quantos pares (A, B) podem ser formados, de maneira que A é um homem, B é uma mulher e A não é casado com B?
a) 20
c) 210
d) 380
e) 400
8. (2013/CESGRANRIO/BNDES) Cinco pessoas devem ficar em fila, sendo que duas
delas (João e Maria) precisam ficar sempre juntas.
De quantas formas diferentes essas pessoas podem-se enfileirar?
a) 48
b) 50
c) 52
d) 54
e) 56
9. (2011/CESGRANRIO/TRANSPETRO) Deseja-se identificar cinco vagas de um es-
tacionamento para uso da diretoria de uma empresa, cada uma com uma cor. En- tretanto, há restrições: as vagas estão dispostas linearmente e são adjacentes, só há três cores diferentes no almoxarifado e duas vagas consecutivas não podem ter a mesma cor.
De quantas maneiras essa identificação é possível?
a) 15
b) 32
c) 48
d) 125
10. (2011/CESGRANRIO/PETROBRAS) O gerente de um projeto quer dividir sua equipe, que é composta de 12 pessoas, em três grupos de quatro pessoas cada um. Entretanto, duas dessas pessoas, João e Maria, por questões de perfil profissional, serão colocadas em grupos diferentes. O número de maneiras distintas que esse gerente tem para dividir sua equipe segundo a forma descrita é
a) 930
b) 3.720
c) 4.200
d) 8.640
GABARITO
1. c 2. d 3. d 4. c 5. d 6. a 7. d 8. a 9. c 10. cDESAFIO – COMENTÁRIO
Temos que, na questão, há uma caixa fechada com nove bolas, sendo três brancas, três azuis e três verdes. O participante responde nove perguntas do apresentador e, a cada resposta correta, retira uma bola da caixa. O participante, que só identifi- ca a cor da bola após retirá-la da caixa, ganha o prêmio do programa se conseguir retirar da caixa pelo menos uma bola de cada cor. Para que o participante tenha
certeza de que ganhará o prêmio, independentemente de sua sorte ao retirar as
bolas da caixa, deverá responder corretamente, no mínimo: a) 3 perguntas.
b) 5 perguntas. c) 6 perguntas. d) 7 perguntas. e) 9 perguntas.
Vamos observar que não se pede uma chance, ou seja, probabilidade, e sim uma certeza; logo, temos uma questão com aplicação do Princípio da Casa dos Pombos, ou, como eu costumo dizer, método da pior hipótese.
Segundo o método, temos de retirar bolas de mesma cor, pois se deseja uma de cada cor, isto é, cores diferentes.
Desta forma, a pior hipótese seria 3 bolas de uma das cores, depois 3 de uma outra cor e precisamos de somente mais uma para que tenhamos uma bola de cada cor.
Solução: 3 + 3 + 1 = 7 bolas. Resposta: letra “d”.
Mostre que você aprendeu com esse desafio e faça uma questão da CES- GRANRIO.
1. (2013/CESGRANRIO/BR DISTRIBUIDORA) Dentro de um saco há 24 balas, to-
das indistinguíveis, a não ser por seus sabores: 6 são de morango, 8 de caramelo e 10 de hortelã. Uma pessoa coloca a mão dentro do saco e pega n balas.
Para que essa pessoa tenha certeza de que pegou pelo menos duas balas de hor- telã, o menor valor de n deverá ser2
a) 4
b) 10
c) 16
d) 18