Combinando redes de Petri e conjuntos nebulosos

As diversas abordagens

V´arios autores tˆem demonstrado as rela¸c˜oes entre redes de Petri e programas l´ogicos, como MURATA (1988), e redes de Petri e sistemas de Regras de Produ¸c˜ao, como VA- LETTE & ATABAKHCHE (1987) e ZISMAN (1978). ´E natural, portanto, a id´eia de introduzir a l´ogica nebulosa no modelo de rede de Petri. Desde o trabalho pioneiro de LOONEY (1988) v´arios autores, da comunidade de redes de Petri e de Inteligˆencia Ar- tificial, tˆem propostos diferentes tipos de redes de Petri nebulosas (RPN). Sob o mesmo nome, estes modelos s˜ao baseados em diferentes no¸c˜oes e s˜ao mais ou menos consistentes com a teoria de redes de Petri.

1_{Uma informa¸c˜ao incompleta pode ser expressa pelos termos vago e impreciso. Em geral, vago ´e} associado com a dificuldade de realizar distin¸c˜oes r´ıgidas ou precisas; a imprecis˜ao ´e associada com rela¸c˜oes one-to-many.

8.1 Redes de Petri nebulosas 120 Fichas e marca¸c˜oes

Embora n˜ao tenha sido formalmente definido em nenhum artigo, pode-se imaginar que marca¸c˜oes nebulosas poderiam ser definidas associando a cada lugar um n´umero nebuloso indicando o n´umero de fichas no lugar. Entretanto, isto deveria ser consistente com os invariantes de lugar, sen˜ao o n´umero de marca¸c˜oes cresceria infinitamente (quando a imprecis˜ao aumenta), resultando num sistema n˜ao limitado.

Por exemplo, no modelo de RPN de CAO & SANDERSON (1993), a marca¸c˜ao nebulosa ´e atribu´ıda a um lugar, para quantificar a incerteza da existˆencia de uma ficha neste. Em CARDOSO (1991), a marca¸c˜ao nebulosa (de uma rede de Petri a objetos) ´e definida atribuindo a cada ficha sua localiza¸c˜ao nebulosa, caracterizada por um conjunto nebuloso de lugares (os lugares onde ´e poss´ıvel que a ficha esteja). Em outros trabalhos em que uma proposi¸c˜ao l´ogica nebulosa ´e associada ao lugar, uma fun¸c˜ao de pertencimento ´e associada `a ficha. O valor da ficha indica o grau de verdade das proposi¸c˜oes e muda com o disparo das transi¸c˜oes, como nos trabalhos de CHEN (1990) e SCARPELLI (1996).

Transi¸c˜oes

Embora no modelo cl´assico de redes de Petri as fichas sejam removidas no disparo das transi¸c˜oes, este n˜ao ´e sempre o caso quando a rede de Petri ´e usada com t´ecnicas de Inteligˆencia Artificial. Como em l´ogica uma proposi¸c˜ao (antecedente de uma regra) permanece com valor verdadeiro ap´os o disparo da regra, a ficha no lugar correspondente n˜ao ´e removida, como por exemplo em MURATA (1988). J´a em outros trabalhos, como CARDOSO (1991), as fichas representam entidades e os lugares s˜ao os poss´ıveis estados destas entidades. Se uma ficha f est´a num lugar p, isto significa que a proposi¸c˜ao “ficha f est´a no estado p” ´e verdadeira.

No caso em que as RPNs representam regras de produ¸c˜ao nebulosa, as fichas s˜ao removidas. Isto n˜ao implica que a proposi¸c˜ao se torne falsa, mas sim que a informa¸c˜ao correspondente foi usada na realiza¸c˜ao de um cen´ario de prova.

A maioria dos trabalhos tem um fator de certeza, confian¸ca ou valor verdade asso- ciado `a transi¸c˜ao. Como a transi¸c˜ao na RPN corresponde a uma regra num sistema de produ¸c˜ao, o disparo de uma seq¨uˆencia de transi¸c˜oes (considerando o fator de confian¸ca de cada uma) define uma seq¨uˆencia de disparo nebulosa que ´e mais ou menos poss´ıvel de ser disparada.

Outra abordagem consiste em associar uma fun¸c˜ao de autoriza¸c˜ao `a transi¸c˜ao: ´e definido ent˜ao um pseudo disparo quando existe uma informa¸c˜ao imprecisa ou incerta. Durante a opera¸c˜ao normal, a RPN se comporta como uma rede de Petri cl´assica. Uma generaliza¸c˜ao deste trabalho ´e a associa¸c˜ao de uma data nebulosa a cada transi¸c˜ao. Esta data ´e comparada com o tempo corrente para verificar se a transi¸c˜ao ainda n˜ao foi disparada, ou se ela j´a o foi com certeza, ou se ´e poss´ıvel que tinha sido (poss´ıvel no sentido da teoria de Possibilidades).

Considera¸c˜oes sobre a consistˆencia

A rede de Petri ´e caraterizada por uma dinˆamica: ´e poss´ıvel executar uma rede para analisar o comportamento do sistema modelado. O modo como as fun¸c˜oes de pertencimento dos conjuntos nebulosos s˜ao atribu´ıdas `as fichas (ou lugares) e os fatores

8.1 Redes de Petri nebulosas 121 de certeza s˜ao associados `as transi¸c˜oes s´o ser´a promissor se for consistente com a teoria de redes de Petri.

Um ponto importante na teoria de redes de Petri ´e que atrav´es da programa¸c˜ao linear (cap´ıtulo 4) ´e poss´ıvel extrair sub-redes espec´ıficas. Um invariante de lugar ´e uma sub-rede em que o n´umero total de fichas contidas nos lugares desta ´e constante. Um invariante de transi¸c˜ao ´e uma sub-rede em que a transforma¸c˜ao de marca¸c˜oes obtidas pelo disparo das transi¸c˜oes desta sub-rede ´e nula (a marca¸c˜ao final ´e igual `a inicial).

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E, pois, importante explorar pelo menos uma destas no¸c˜oes. Assim, a utiliza¸c˜ao dos invariantes de transi¸c˜ao permite encontrar, em redes de Petri que modelam programas l´ogicos, uma prova ´otima: prova em que todas as dedu¸c˜oes intermedi´arias s˜ao de fato necess´arias para obter a conclus˜ao (o que n˜ao ´e sempre verdade de modo geral). No caso de RPN que modela processos f´ısicos, para cada ficha (que ´e uma instˆancia de objeto numa rede de Petri a objetos) existe um invariante de lugar que a cont´em com certeza (a localiza¸c˜ao da ficha pode ser imprecisa ou nebulosa, mas est´a contida no invariante de lugar).

Representar regras por transi¸c˜oes numa rede de Petri ´e uma velha id´eia, mas ´e uma quest˜ao que permanece aberta e certamente n˜ao ´e resolvida quando regras nebulosas s˜ao consideradas. Isto ´e uma conseq¨uˆencia direta do fato de as fichas serem consumidas e produzidas pelo disparo das transi¸c˜oes numa rede, enquanto na l´ogica cl´assica, devido `a propriedade da monotonicidade, uma dedu¸c˜ao sempre adiciona novos valores-verdades, sem tornar falsos os que j´a foram utilizados (veja discuss˜ao sobre l´ogica linear na pr´oxima se¸c˜ao).

Como foi visto no cap´ıtulo 2, a gram´atica S =< IP, Q > associada `a rede R ´e definida pelo seu vocabul´ario IP e pelo conjunto Q de regras de reescrita ti : µ(P re(., ti)) → µ(P ost(., ti)). A uma marca¸c˜ao inicial M da rede corresponde um axioma µ(M ) da gram´atica, a partir da qual novas palavras s˜ao deduzidas.

Usando esta nota¸c˜ao, considere, por exemplo, a regra de reescrita µ(t) : P → Q ∧ R, cuja rede de Petri est´a representada na FIG. 8.1.a. Isto ´e bastante similar `a f´ormula da l´ogica proposicional P → Q ∧ R. Esta f´ormula ´e equivalente a (P → Q) ∧ (P → R) ou P → Q e P → R. Considerando, agora, regras de reescrita similares a estas duas f´ormulas, tem-se µ(t1) : P → Q e µ(t2) : P → R cuja rede est´a representada na FIG. 8.1.b. Na l´ogica cl´assica, estas duas f´ormulas s˜ao equivalentes, porque ambas levam `

a mesma conclus˜ao: se o fato P ´e verdadeiro, pode-se deduzir que Q e R s˜ao verdadeiros. Mas as duas redes de Petri da FIG. 8.1 s˜ao diferentes. Na FIG. 8.1.a ambos os lugares Q e R s˜ao marcados, enquanto na FIG. 8.1.b apenas um destes lugares ser´a marcado.

De modo geral, a aplica¸c˜ao das RPNs, no caso espec´ıfico de controle e supervis˜ao de sistemas de manufatura, pode se dar em duas linhas, segundo sua utiliza¸c˜ao como:

• um modelo para o racioc´ınio: as transi¸c˜oes representam regras de diagn´ostico, cada seq¨uˆencia de disparo de transi¸c˜oes representa uma explica¸c˜ao que poder´a ser usada para recupera¸c˜ao do erro. A RPN como um todo representa o sistema perito de diagn´ostico;

• um modelo do sistema f´ısico: as transi¸c˜oes representam as mudan¸cas de estado poss´ıveis; as seq¨uˆencias de transi¸c˜oes representam os comportamentos poss´ıveis. A RPN ´e uma ferramenta para atualizar o estado do sistema no n´ıvel de supervis˜ao, utilizando informa¸c˜ao mal conhecida (com imprecis˜ao ou incerteza), sem obter estados inconsistentes.

8.2 Redes de Petri como semˆantica para l´ogica linear 122