A fim de ilustrar o funcionamento da Formiga Paraconsistente, apresenta-se nesta seção um acompanhamento da execução do algoritmo para uma instância pequena do problema do caixeiro viajante. Os processos de tomada de decisão e os resultados obtidos pelas formigas da colônia são apresentados e discutidos.
A instância de problema considerada neste exemplo ilustrativo é composta de seis cidades c1, c2, c3, c4, c5 e c6 cujas coordenadas são: c1 = (2, 2), c2= (0, 5), c3 = (4, 3), c4 = (5, 0), c5= (5, 7), c6= (7, 3). O problema está ilustrado na Figura 4.4.
Figura 4.4: Exemplo ilustrativo para 6 cidades
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cidades. O valor inicial é determinado através de uma parâmetro do algoritmo. Neste exemplo, consideramos que o valor inicial é 0.5, conforme ilustrado na Tabela 4.1.
Tabela 4.1: Tabela com os valores de τ × η entre todas as cidades no passo inicial do algoritmo
τ × η c1 c2 c3 c4 c5 c6 c1 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 c2 0.5 0 0.5 0.5 0.5 0.5 c3 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.5 c4 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 c5 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0.5 c6 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0
Cada formiga é posicionada aleatoriamente numa cidade inicial, para este exemplo considera- se 6 formigas que foram posicionadas inicialmente nas seguintes cidades:
• Formiga 1 é posicionada na cidade c5; • Formiga 2 é posicionada na cidade c1; • Formiga 3 é posicionada na cidade c3; • Formiga 4 é posicionada na cidade c2; • Formiga 5 é posicionada na cidade c2; • Formiga 6 é posicionada na cidade c1.
A partir da sua cidade inicial, cada formiga, em paralelo, constrói uma solução completa para o problema, ou seja, um roteiro partindo desta cidade inicial e percorrendo todas as ci- dades sem passar duas vezes e sem evitar qualquer cidade. Como nenhum conhecimento foi construído ainda e o fator τ × η é o mesmo entre quaisquer duas cidades, nesta iteração ini- cial as formigas constroem soluções completamente aleatórias. Os roteiros construídos pelas formigas nesta primeira iteração são:
• Formiga 1 = [5, 6, 4, 1, 2, 3], cujo comprimento do percurso é 23.884; • Formiga 2 = [1, 6, 3, 4, 5, 2], cujo comprimento do percurso é 27.252; • Formiga 3 = [3, 5, 2, 1, 6, 4], cujo comprimento do percurso é 24.981; • Formiga 4 = [2, 4, 5, 6, 1, 3], cujo comprimento do percurso é 30.350; • Formiga 5 = [2, 3, 1, 4, 5, 6], cujo comprimento do percurso é 29.066; • Formiga 6 = [1, 6, 5, 3, 4, 2], cujo comprimento do percurso é 27.533.
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Estas soluções estão representadas na Figura 4.5. Na Figura, não está representada a ligação que existe entre a última cidade e a cidade inicial (identificada com a marca) em cada roteiro, com o intuito de simplificar a identificação da sequência de cidades que compõem o roteiro. A formiga que encontrou a melhor solução na primeira iteração é a formiga 1, cujo compri- mento do percurso é 23,884. Considera-se neste exemplo a distância euclidiana para medir o comprimento dos percursos.
Na próxima iteração o processo de escolha das formigas é repetido. Antes porém é realizada a atualização das trilhas de feromônio, conforme indicado no algoritmo da metaheurísitica de Colônia de Formigas apresentada na Figura 2.3 (linha 5).
Inicialmente todo o feromônio é evaporado considerando uma taxa de evaporação, que para este exemplo é igual a ρ = 0.02. A matriz de feromônios fica então, conforme representado na Tabela 4.2.
Tabela 4.2: Matriz de feromônios após a evaporação por ρ = 0.02, ao final da primeira iteração
τ × η c1 c2 c3 c4 c5 c6 c1 0 0.49 0.49 0.49 0.49 0.49 c2 0.49 0 0.49 0.49 0.49 0.49 c3 0.49 0.49 0 0.49 0.49 0.49 c4 0.49 0.49 0.49 0 0.49 0.49 c5 0.49 0.49 0.49 0.49 0 0.49 c6 0.49 0.49 0.49 0.49 0.49 0
A Matriz τ × η é recalculada, conforme a Equação 4.6. Neste exemplo usa-se α = 1 e β = 2. A heurística η é calculada com o inverso da distância entre as cidades, conforme Equação 2.2.
[τi j]α× [ηi j]β ∀i, j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} (4.6) Por fim, o caminho escolhido pela melhor formiga é premiado com uma taxa extra de fe- romônio igual ao inverso do comprimento do roteiro. O resultado está representado na Tabela 4.3.
Tabela 4.3: Tabela com os valores de τ × η entre todas as cidades no final da primeira iteração
τ × η c1 c2 c3 c4 c5 c6 c1 0 0.038 0.098 0.038 0.014 0.019 c2 0.038 0 0.024 0.01 0.017 0.009 c3 0.098 0.024 0 0.049 0.029 0.054 c4 0.038 0.01 0.049 0 0.01 0.038 c5 0.014 0.017 0.029 0.01 0 0.024 c6 0.019 0.009 0.054 0.038 0.024 0
As formigas são novamente posicionadas em cidades iniciais aleatórias para construir novas soluções. A cidade inicial de cada formiga na segunda iteração é:
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a b
c d
e f
Figura 4.5: Roteiros encontrados pelas formigas na primeira iteração do algoritmo de Formiga Para- consistente. a) Formiga 1, b) Formiga 2, c) Formiga 3, d) Formiga 4, e) Formiga 5 e f) Formiga 6
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• Formiga 1 é posicionada na cidade c4; • Formiga 2 é posicionada na cidade c3; • Formiga 3 é posicionada na cidade c4; • Formiga 4 é posicionada na cidade c5; • Formiga 5 é posicionada na cidade c4; • Formiga 6 é posicionada na cidade c3.
Em paralelo, cada formiga constrói uma solução completa para o problema. A formiga 1 tenta decidir usando lógica paraconsistente a próxima cidade a usar na solução. A partir da sua cidade inicial c4a formiga 1 encontra a seguinte situação:
• O melhor vizinho de c4é o vizinho c3, com τ × η = 0, 049
• O segundo melhor vizinho de c4é o vizinho c1(ou c6), com τ × η = 0, 038 • O pior vizinho de c4é o vizinho c2(ou c5), com τ × η = 0, 010
Calculados os valores dos graus de crença e descrença obtém-se os seguintes resultados: • O grau de crença do melhor vizinho é 1.0;
• O grau de descrença do melhor vizinho é 0.71; • A especialidade nesta iteração é 0.6.
A decisão da formiga 1, considerando a lógica paraconsistente não é assertiva (6= V ), con- forme ilustrado no cubo LPA3v da Figura 4.6. Desta forma a formiga 1 usa o processo de decisão probabilística original da metaheuristica de Colônia de Formigas. A próxima cidade escolhida pela formiga 1 é a cidade c1.
A formiga 2 é a próxima a escolher uma cidade para o seu roteiro. A partir da sua cidade inicial c3, a formiga 2 encontra a seguinte situação:
• O melhor vizinho de c3é o vizinho c1, com τ × η = 0.098;
• O segundo melhor vizinho de c3é o vizinho c6, com τ × η = 0.054; • O pior vizinho de c3é o c5, com τ × η = 0.024.
Calculados os valores dos graus de crença e descrença obtém-se os seguintes resultados: • O grau de crença do melhor vizinho é 1.0;
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a) b)
Figura 4.6: Cubo analisador da lógica paraconsistente anotada de três variáveis. Determinação do valor lógico para µ= 1.0 e λ = 0.71 e ε = 0.60. a) representação no cubo analisador b) projeção no plano µ× λ
• O grau de descrença do melhor vizinho é 0.37; • A especialidade nesta iteração é 0.6.
O diagnóstico da formiga 2, considerando a lógica paraconsistente é igual a V , conforme ilustrado no cubo LPA3v da Figura 4.7. Desta forma a formiga 2 escolhe a cidade c1, seu melhor vizinho, para compor o seu caminho.
a) b)
Figura 4.7: Cubo analisador da lógica paraconsistente anotada de três variáveis. Determinação do valor lógico para µ= 1.0 e λ = 0.37 e ε = 0.60. a) representação no cubo analisador b) projeção no plano µ× λ
Usando este algoritmo, as formigas vão construindo as suas soluções e o melhor resultado encontrado por todas as formigas da colônia é armazenado entre as iterações só sendo atualizado
RESULTADOS EXPERIMENTAIS 40
se um resultado melhor for encontrado. Os resultados encontrados pelas formigas 1 e 2 ao final da segunda iteração estão representados na Figura 4.8.
a b
Figura 4.8: a) Roteiro encontrado pela formiga 1 na segunda iteração, b) Roteiro encontrado pela formiga 2 na segunda iteração
O melhor roteiro encontrado em todas as iterações está representado na Figura 4.9.
Na próxima seção é apresentada a comparação da Formiga Paraconsistente, deste trabalho com a melhor estratégia da metaheurística de Colônia de Formigas, aplicada para uma instância maior (com 225 cidades) do problema do caixeiro viajante.
Figura 4.9: Melhor roteiro encontrado ao final de todas as iterações