3.4 Beamspace CB-DoA
3.4.1 Compara¸c˜oes entre Beamspace CB-DoA e Beamspace ESPRIT
Complexidade Computacional: A fim de se fazer uma compara¸c˜ao entre o algoritmo Beamspace ESPRIT e a vers˜ao beamspace do algoritmo CB-DoA, a com- plexidade computacional de ambos os algoritmos ´e mostrada nesta se¸c˜ao. A Tabela 3.5 resume uma compara¸c˜ao das opera¸c˜oes b´asicas de ambos algoritmos. Quando m´ultiplas linhas ou colunas s˜ao necess´arias, uma nota¸c˜ao inspirada em scripts Mat- lab ´e utilizada. Lembra-se que M ´e o n´umero de fontes, N o n´umero de sensores e L ´e a dimens˜ao do beamspace. Como apresentado em [25], diferentes proje¸c˜oes de beamspace s˜ao realizadas em paralelo, devido `a inerente modulariza¸c˜ao do algoritmo. Com isso, a an´alise de complexidade computacional ´e realizada para apenas uma sub-banda beamspace. A partir da Tabela 3.5, verifica-se que o algoritmo Beamspace ESPRIT requer:
• 3 EVDs (1 para uma matriz hermitiana de dimens˜oes 2M × 2M, 1 para uma matriz hermitiana de dimens˜oes M × M, e 1 para uma matriz hermitiana de dimens˜oes L × L);
• 1 invers˜ao de uma matriz de dimens˜oes M × M;
• 10 multiplica¸c˜oes de matrizes (2 para produtos entre uma matriz com di- mens˜oes L × L e uma matriz com dimens˜oes L × N, 2 para um produto de
Tabela 3.5: Resumo comparativo dos algoritmos Beamspace ESPRIT e Beamspace CB-DoA.
Beamspace ESPRIT Beamspace CB-DoA
[Us,Λs,σˆN2] = EVD( ˆRz) [Us,Λs,σˆN2] = EVD(Q ˆRzQH) Ux = QTHi Us F = Λ−1s UHs Uy = QFHTHi Us Ra= ˆRz−ˆσ2I Ea= UH x UHy h Ux Uy i Ψ = FsQFHRaQHFHs
[E, Λ] = EVD(Ea) [Φ] = EVD(Ψ)
E12= E(0 : M − 1, M : end)
E22= E(M : end, M : end)
Ψ = −E12E−122
[Φ] = EVD(Ψ)
uma matriz de dimens˜oes L × L e uma matriz de dimens˜oes L × N, 1 para um produto de um par de matrizes de dimens˜oes L × L, e 4 para produtos entre uma matriz de dimens˜oes M × L e uma matriz com dimens˜oes L × M). J´a o algoritmo Beamspace CB-DoA requer:
• 2 EVDs (1 para uma matriz hermitiana de dimens˜oes L × L e 1 para uma matriz hermitiana de dimens˜oes M × M);
• 1 invers˜ao de uma matriz diagonal de dimens˜oes M × M;
• 8 multiplica¸c˜oes de matrizes (2 para um par de matrizes com dimens˜oes L×L, 1 para um produto de uma matriz de dimens˜oes M × M e uma matriz de dimens˜oes M × L, 4 para produtos entre uma matriz com dimens˜oes M × L e uma matriz com dimens˜oes L × M, e 1 para produtos de uma matriz de dimens˜oes M × L e uma matriz de dimens˜oes L × M).
Verifica-se que o algoritmo Beamspace CB-DoA apresenta uma menor complexidade computacional em rela¸c˜ao ao Beamspace ESPRIT. De fato, o Beamspace CB-DoA exige um n´umero menor de multiplica¸c˜oes de matrizes, e uma opera¸c˜ao mais simples de invers˜ao de matriz. Al´em disso, o Beamspace CB-DoA requer menos EVDs, uma opera¸c˜ao bastante complexa computacionalmente. A Tabela 3.6 mostra uma compara¸c˜ao mais detalhada em rela¸c˜ao `a complexidade assint´otica das opera¸c˜oes b´asicas, de acordo com [27].
Tabela 3.6: Compara¸c˜ao para as opera¸c˜oes requeridas por beamspace ESPRIT e beamspace CB-DoA.
Beamspace Beamspace
Opera¸c˜ao Complex. [27] ESPRIT CB-DoA
EVD Matr. Hermitianas O(n2) 3 2
Invers˜ao Completa O(2n3/3) 1 –
Invers˜ao Matr. Diagonais O(n) – 1
Multipl. de Matrizes O(n3) 10 8
Subtra¸c˜ao O(n2) – 1
Desempenho: Assim como na Subse¸c˜ao 3.3.1, foi usado o MSE como m´etrica de compara¸c˜ao, como definido na equa¸c˜ao (3.28). No nosso cen´ario de compara¸c˜ao, foi computada uma m´edia sobre 200 execu¸c˜oes de Monte Carlo. A Figura 3.8 compara Beamspace ESPRIT com o algoritmo proposto Beamspace CB-DoA para 2 fontes e 18 antenas de recep¸c˜ao, em fun¸c˜ao do n´umero de beams. Como pode ser obser- vado a partir da Figura 3.8, o comportamento de ambos algoritmos em termos de MSE ´e bastante pr´oximo, tanto no cen´ario sem ru´ıdo quanto para SNR = 25 dB. Como s˜ao usadas 18 antenas de recep¸c˜ao, lembra-se que, para 18 beams, os algo- ritmos beamspace equivalem `a sua vers˜ao elementspace. A partir da defini¸c˜ao do algoritmo CB-DoA no beamspace, percebe-se que o desempenho do algoritmo Be- amspace CB-DoA em termos de MSE ´e inferiormente limitado pelo desempenho da sua vers˜ao elementspace, que equivale ao algoritmo vers˜ao beamspace quando 18 an- tenas ˜ao usadas, tanto na vers˜ao sem ru´ıdo quanto quando ´e usada SNR = 25 dB. O
11 12 13 14 15 16 17 18 10−10 10−8 10−6 10−4 10−2 100 Beams MSE
B. ESPRIT Sem Ruido B. CB−DoA Sem Ruido B. ESPRIT 25dB B. CB−DoA 25dB
Figura 3.8: MSE medido para os algoritmos Beamspace ESPRIT e Beamspace CB- DoA, usando 2 fontes e 18 antenas de recep¸c˜ao, em fun¸c˜ao do n´umero de beams.
MSE da vers˜ao beamspace pode ocorrer devido a caracter´ısticas inerentes ao pr´oprio algoritmo ou por se utilizar uma banda inadequada no dom´ınio DFT.
3.4.2
Compara¸c˜oes com o CRLB
Num segundo cen´ario de simula¸c˜ao, foi medido o MSE para os algoritmos Be- amspace ESPRIT e Beamspace CB-DoA para 2 fontes e 18 antenas de recep¸c˜ao, usando-se um beamspace de dimens˜ao 12. Foi inclu´ıda tamb´em uma aproxima¸c˜ao para o limite te´orico CRLB, de acordo com a express˜ao simplificada apresentada na equa¸c˜ao (3.30), CRLB = 6σ 2 N K(N2− 1)Nσ2 s , (3.43)
onde K = 500 representa o n´umero de snapshots e σ2
s representa a potˆencia das fontes. O resultado ´e bastante coerente com o que foi visto na subse¸c˜ao 3.3, com uma distˆancia grande entre o Beamspace CB-DoA e o CRLB. Essa distˆancia j´a aparecia na vers˜ao elementspace e o processamento no beamspace n˜ao reduz o MSE, j´a que o foco est´a apenas na diminui¸c˜ao da complexidade computacional.
Os resultados comparativos para o MSE das vers˜oes beamspace do ESPRIT e CB- DoA eram at´e certa forma esperados, pelos resultados j´a obtidos para o elemetspace, que pode ser visto como um caso espec´ıficos do beamspace, e por serem feitas as mesmas opera¸c˜oes em ambos os algoritmos para a redu¸c˜ao de complexidade.
10 20 30 40 50 60 10−8 10−6 10−4 10−2 100 SNR (dB) MSE B. ESPRIT B. CB−DoA CRLB
Figura 3.9: MSE para os algoritmos Beamspace ESPRIT e Beamspace CB-DoA, para M = 2 fontes e N = 18 antenas de recep¸c˜ao, em fun¸c˜ao da SNR, para 12 beams. CRLB tamb´em est´a inclu´ıdo. O uso de 18 antenas neste cen´ario corresponde `as vers˜oes elementspace de cada algoritmo.