Este crit´erio ´e assim chamado por se basear na compara¸c˜ao de duas fun¸c˜oes.
Sejam f e g duas fun¸c˜oes cont´ınuas, definidas em [a,∞), tais que a ≤ f(x) ≤ g(x). Nessas condi¸c˜oes, • se Z ∞ a g(x) dx converge, ent˜ao Z ∞ a f (x) dx tamb´em converge; • se Z ∞ a f (x) dx diverge, ent˜ao Z ∞ a g(x) dx tamb´em diverge.
Resumindo, se a maior converge, a menor tamb´em converge. Se a menor diverge, a maior tamb´em diverge. Aten¸c˜ao! O crit´erio de compara¸c˜ao pode ser usado apenas quando ambas as fun¸c˜oes s˜ao positivas.
Veja, na figura a seguir, uma ilustra¸c˜ao dos gr´aficos de f e g.
a x
y
f
g
O crit´erio da compara¸c˜ao afirma que, se a ´area sob o gr´afico da fun¸c˜ao g ´e finita, o mesmo ocorre com a ´area menor, sob o gr´afico de f . Em contra-partida, se a ´area sob o gr´afico da fun¸c˜ao f diverge, o mesmo ocorre com a ´area ‘maior’, sob o grafico de g.
Exemplo 27.3
Analise a convergˆencia da integral impr´opria Z ∞
4
sen2x (x− 2)2 dx.
Um passo importante para usar corretamente o crit´erio ´e determinar qual fun¸c˜ao ser´a usada como parˆametro para a compara¸c˜ao. Em outras pala-vras, quem far´a os pap´eis de f e g? ´E claro que isso implica numa expectativa da convergˆencia ou da divergˆencia da integral impr´opria em quest˜ao e, nisso, reside todo o problema.
No caso do exemplo em quest˜ao, notamos que h´a um quociente, que a fun¸c˜ao do numerador ´e limitada (y = sen2x) e que o denominador ´e uma fun¸c˜ao polinomial de grau 2.
Vamos, portanto, tentar mostrar que a integral converge, usando para compara¸c˜ao a integral impr´opria
Z ∞
4
1
(x− 2)2 dx. A garantia da convergˆencia dessa integral impr´opria ´e o grau do denominador, uma vez que estamos in-tegrando sobre a semi-reta [4,∞). Realmente,
Z ∞ 4 1 (x− 2)2 dx = lim t→∞ Z t 4 1 (x− 2)2 dx = lim t→∞ h t − 4 2t− 4 i = 1 2. Esse resultado n˜ao ´e surpreendente se levarmos em conta os parˆametros dados no exemplo 27.2.
Agora, devemos nos certificar de que as hip´oteses do crit´erio da com-para¸c˜ao s˜ao satisfeitas. Aqui est´a:
∀x ∈ R, 0 ≤ sen2x≤ 1 e, portanto, se x ≥ 4, 0≤ sen
2x
(x− 2)2 ≤ 1 (x− 2)2.
Podemos concluir dizendo: como Z ∞
4
1
(x− 2)2 dx converge, pelo crit´erio da compara¸c˜ao,
Z ∞
4
sen2x
(x− 2)2 dx tamb´em converge. Aqui est´a uma oportunidade para vocˆe tentar:
Exerc´ıcio 1. Use um parˆametro do exemplo 27.2 para mostrar que Z ∞
5
cos2x x3 dx converge.
Exemplo 27.4 Calcule Z ∞ 0 x2e−xdx e mostre que Z ∞ 0 x2e−x arctg x dx converge. Primeiro o c´alculo de Z ∞ 0 x2e−xdx.
Para calcular a integralZ x2e−xdx, usamos a
integra¸c˜ao por partes. Como Z x2e−xdx =−e−x(x2+ 2x + 2) + C, lim t→∞ Z t 0 x2e−xdx = lim t→∞ 2− e−t(t2+ 2t + 2) = 2.
A Regra de L’Hospital serve para calcular certos limites. Esse conte´udo foi ensinado no C´alculo I.
Lembre-se de que o lim
t→∞
t2+ 2t + 2
et = 0 pode ser calculado usando a Regra de L’Hospital.
Agora devemos considerar a compara¸c˜ao. Note que, se x≥ 0, 0≤ arctg x < π2.
Essa ´e uma interessante propriedade da fun¸c˜ao arco-tangente. Por-tanto,
0≤ x2e−x arctg x < π 2x
2e−x.
J´a sabemos que Z ∞
0
x2e−xdx = 2. Isso nos d´a Z ∞
0
π 2 x
2e−xdx = π e, pelo crit´erio da compara¸c˜ao,
Z ∞
0
x2e−x arctg x dx converge.
Antes do pr´oximo exemplo, algumas palavras sobre o porquˆe da vali-dade do crit´erio.
An´alise Real ´e uma disciplina mais avan¸cada do
curso de Matem´atica. A hip´otese de que as fun¸c˜oes consideradas s˜ao positivas ´e importante. Queremos informa¸c˜oes sobre o lim
t→∞ Z t a f (x) dx. Note que F (t) = Z t a f (x) dx
´e a ´area sob o gr´afico da fun¸c˜ao (positiva) f de a at´e t. Portanto, se t2 ≥ t1, F (t2) > F (t1) (maior o intervalo, maior a ´area). Ent˜ao estamos considerando o limite de uma fun¸c˜ao crescente quando t→ ∞. Esse limite s´o pode ser um n´umero ou∞. Se uma fun¸c˜ao crescente ´e limitada, seu limite ´e finito, quando t → ∞. Se, por outro lado, ela segue majorando todos n´umeros positivos, dizemos que seu limite ´e infinito. Para demonstrar a afirma¸c˜ao anterior, usamos uma propriedade dos n´umeros reais, que afirma que todos os seus subconjuntos n˜ao vazios limitados superiormente tˆem um elemento supremo.
Este conceito ser´a melhor esclarecido em An´alise. A segunda afirma¸c˜ao ´e o que caracteriza o limite ser infinito. Assim, a integral impr´opria converge, se ´e limitada, ou diverge, caso seus valores sigam ultrapassando todos os n´umeros reais positivos.
O crit´erio da compara¸c˜ao tamb´em se aplica nos casos em que a integral impr´opria tenha seu dom´ınio de integra¸c˜ao limitado. A formula¸c˜ao fica assim: Sejam f e g fun¸c˜oes cont´ınuas no intervalo (a, b]. Se 0 ≤ f(x) ≤ g(x), para todo a < x ≤ b, se Z b a g(x) dx converge, ent˜ao Z b a f (x) dx converge. Se Z b a f (x) dx diverge, ent˜ao Z b a g(x) dx tamb´em diverge. Veja como isso funciona no seguinte exemplo. Exemplo 27.5
Analise a convergˆencia da integral impr´opria Z 4
2
√ x2+ 1 (x− 2)2 dx.
Esse exemplo mostra como precisamos ter cuidado no trato das integrais impr´oprias. A integral
Z 4 2
1
(x− 2)2 dx diverge. O expoente maior do que 1 no denominador garante a convergˆencia no caso de o limite de integra¸c˜ao ser infinito. No exemplo em quest˜ao, o dom´ınio de integra¸c˜ao ´e [2, 4].
Agora, como √ x2+ 1≥ 1 e, portanto, se 2 < x ≤ 4, √ x2+ 1 (x− 2)2 ≥ 1 (x− 2)2. Como Z 4 2 1 (x− 2)2 dx =∞, a integral impr´opria Z 4 2 √ x2+ 1 (x− 2)2 dx diverge. O pr´oximo exemplo nos d´a uma pequena extens˜ao do crit´erio da com-para¸c˜ao.
Exemplo 27.6
Seja f : [a,∞) −→ R uma fun¸c˜ao cont´ınua. Se Z ∞
a |f(x)| dx converge, ent˜ao Z ∞
a
f (x) dx tamb´em converge.
Veja como isso funciona. Sabemos que Z ∞ π e−xdx converge e queremos mostrar que Z ∞ π
e−x sen x dx tamb´em converge. No entanto, n˜ao podemos aplicar o crit´erio da compara¸c˜ao, uma vez que a fun¸c˜ao f (x) = e−x sen x assume, tamb´em, valores negativos.
Mas, 0 ≤ | sen x| ≤ 1 e, portanto, 0 ≤ |e−x sen x| = e−x| sen x| ≤ e−x. Assim, o crit´erio da compara¸c˜ao garante que
Z ∞
π |e−x sen x| dx converge, e logo,
Z ∞
π
e−x sen x dx tamb´em converge.
Para confirmar essa afirma¸c˜ao basta considerar, separadamente, os casos r≥ 0 e r < 0.
Veja como isso ´e poss´ıvel. Primeiro, para qualquer n´umero real r, 0≤ |r| + r ≤ 2|r|.
Estamos supondo que Z ∞
a |f(x)| dx converge. Ent˜ao Z ∞
a
2|f(x)| dx tamb´em converge, e como 0 ≤ |f(x)| + f(x) ≤ 2|f(x)|, podemos aplicar o crit´erio da compara¸c˜ao para concluir que
Z ∞ a |f(x)| + f(x)dx ´e conver-gente. Mas, lim t→∞ Z t a f (x) dx = lim t→∞ Z t a |f(x)| + f(x)dx − lim t→∞ Z t a |f(x)| dx. Os dois limites da direita s˜ao finitos. Assim, a integral impr´opria Z ∞
a
f (x) dx ´e convergente.
Exerc´ıcio 2. Mostre que a integral impr´opria Z ∞
5
cos 5x
x3 dx ´e convergente. Agora, o segundo crit´erio de convergˆencia.