A principal motivação para o desenvolvimento do IDMARC foi melhorar o desempe- nho do sinal de controle do IVS-MRAC, mantendo suas características de transitório e de robustez. Daí surgiu a necessidade natural de realizar um comparativo entre esses dois controladores.
Com o objetivo de permitir uma análise quantitativa, e não apenas qualitativa, dos desempenhos, foram utilizados os seguintes índices não intrusivos baseados no erro e no sinal de controle: IAE (Integral of the Absolute magnitude of the Error), ISE (Integral of the Square of the Error), ITAE (Integral of Time Multiplied by the Absolute Value of Er- ror), ITSE (Integral of Time multiplied by the Squared Error), Eu(Energy Consumption),
e o desvio padrão do sinal de controle (σu).
Os índices aplicados nesse comparativo estão explicitados através das equações a se- guir. IAE= Z t0 0 |eo(t)|dt (4.60) ISE= Z t0 0 eo(t)2dt (4.61) ITAE = Z t0 0 t|eo(t)|dt (4.62) IT SE = Z t0 0 teo(t)2dt (4.63) Eu= Z t0 0 |u(t)|dt (4.64) σu= 1 t0 Z t0 0 |u(t) − ¯u|dt, ¯u= 1 t0 Z t0 0 u(t)dt (4.65)
onde t0é o tempo de simulação.
Com relação aos índices baseados no erro, o que apresenta menor seletividade é o IAE, pelo fato dele não diferenciar erros grandes de erros pequenos. O ISE, por elevar o erro ao quadrado, valoriza os erros grandes. Dessa forma, quanto mais rápido for o rastreamento entre a planta e o modelo de referência, menor e melhor será o índice ISE. O ITAE e o ITSE, são mais seletivos que os anteriores, pois realizam multiplicações pelo tempo. Com eles, temos uma baixa ponderação do erro inicial (tempo pequeno) e uma grande ponderação para o erro em regime permanente. Já os índices baseados no sinal de controle nos permitem ter uma noção quantitativa do esforço que será exigido dos atuadores.
Para a análise comparativa do IDMARC com o IVS-MRAC, foram utilizados nova- mente a planta (2.22) e o modelo de referência (2.23). Os parâmetros em comum entre os dois controladores foram definidos igualmente, tais como: passo de integração h = 10−5s, filtros com Λ = −2, g = 2 e v1(0) = v2(0) = 0, estimativas iniciais dos parâmetros da
planta ˆθTp(0) = ˆkp(0) βˆT(0) αˆ1(0) αˆT(0) = 1.2 1.2 −1.8 1.2 , condição
inicial da planta x(0) = 0.25 0.25 T, e as amplitudes dos relés kp,nom= 1.9, kp= 1.6,
β = 3, α1= 4 e α = 4.
Adicionalmente, para o IDMARC, foram definidos os demais parâmetros necessários da seguinte forma: ganhos adaptativos γp= 10, Γβ= 12, Γα= 12, γ1= 12, limite inferior
para ˆkp, k0= 0.01, L = 10−6, µp= 10−7e σc= 10−4.
Primeiramente, realizou-se uma simulação com o objetivo de testar os índices de de- sempenho dos algoritmos na presença de perturbação na entrada da planta, como deta- lhado na Tabela (4.7), considerando referência r(t) = 1.
Intervalo Perturbação 0s < t6 2s d(t) = 1 2s < t6 4s d(t) = 2 4s < t6 6s d(t) = 3 6s < t6 8s d(t) = 4 t > 8s d(t) = 5
Tabela 4.7: Mudanças da perturbação na entrada da planta
O resultado do IVS-MRAC pode ser verificado através da Figura (4.30) e do IDMARC pode ser verificado através da Figura (4.31). Os resultados dos índices estão apresentados na Tabela (4.8).
Analisando os gráficos, verificamos desempenhos transitórios similares, com rápido rastreamento entre a planta e o modelo de referência. Além disso, ambos os controlado- res rejeitaram bem a perturbação na entrada da planta. A diferença se deu com relação ao sinal de controle: o do IVS-MRAC apresentou chaveamento em alta frequência de grande amplitude; e o do IDMARC esteve chaveado com baixa amplitude apenas enquanto hou- veram mudanças na magnitude da perturbação, mas em regime permanente foi observado um sinal de controle suave. Isso ocorreu devido ao fato de que quando o erro de saída e0→ 0, o parâmetro µ → 1, e consequentemente o IDMARC atua como IMRAC.
É válido ressaltar que o problema da grande amplitude no sinal de controle do IVS- MRAC poderia ser contornado diminuindo os valores individuais do vetor θp, ou ainda
com a inserção de uma saturação entre ±10. Entretanto, a ideia colocada nessa seção foi de fazer uso dos mesmos valores de projeto no caso de parâmetros comuns aos dois con- troladores, pois com valores diferentes as possibilidades possíveis de projeto são diversas. Com relação aos índices baseados no erro de saída para esta simulação, os do IVS- MARC apresentaram menor valor, com exceção do ITAE. A justificativa para este fato se deve ao próprio funcionamento do IDMARC, o qual à medida em que o erro descresce, diminui também a atuação do IVS-MRAC, aumentando a parcela do IMRAC no controle. Isso faz com que o erro torne a crescer, aumentando novamente a atuação do IVS-MRAC. Essa oscilação prejudica o desempenho do IDMARC durante o transitório, quando com- parado com o controle do IVS-MRAC puro.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t 0 0.5 1 1.5 y(t) e ym(t) Saídas Modelo de Referência Planta 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t -20 -10 0 10 u(t) u(t) Sinal de Controle
Figura 4.30: Desempenho do IVS-MRAC com perturbação incremental na entrada da planta 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t 0 0.5 1 1.5 y(t) e ym(t) Saídas Modelo de Referência Planta 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t -10 -5 0 5 u(t) u(t) Sinal de Controle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Eo(t) ×10-3 Eo Erro de Saída
Figura 4.32: Erro de saída do IVS-MRAC com perturbação incremental na entrada da planta 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Eo(t) ×10-3 Eo Erro de Saída
Figura 4.33: Erro de saída do IDMARC com perturbação incremental na entrada da planta
Essa análise pode ser evidenciada observando os gráficos do erro de saída de ambos os controladores nas Figuras (4.32) e (4.33). Através delas, podemos observar que pra- ticamente durante toda a simulação o erro de saída do IVS-MRAC é da ordem de 10−4, enquanto o do IDMARC inicia da ordem de 10−3, e em regime permanente alcança um erro de saída da ordem de 10−16.
e o ITSE, tendem a valorizar o controlador que possui um erro menor em regime perma- nente (nesse caso, o IDMARC). Dessa forma, podemos concluir que quanto mais longa fosse esta simulação, melhores seriam os índices do IDMARC.
Os índices baseados no sinal de controle representaram numericamente o que foi vi- sualizado através das Figuras (4.30) e (4.31): menor consumo de energia (Eu) e desvio
padrão (σu) do IDMARC, indicando um menor esforço de controle por parte desse con-
trolador.
Através dos comandos tic e toc do Matlabr, foram obtidos os tempos de processa- mento para cada simulação: 180.23s para o IVS-MRAC e 187.50s para o IDMARC.
Índice IVS-MRAC (104) IDMARC (104)
IAE 0.301640 0.488536 ISE 0.070821 0.071225 ITAE 2.846553 1.522471 ITSE 0.002076 0.005367 Eu 8630.210 3834.301 ¯ u -0.000383 -0.000383 σu 0.000864 0.000031
Tabela 4.8: Índices de desempenho para a simulação 1
Em seguida, o sistema foi testado com alterações de referência como descrito na Tabela (4.9) e na presença de uma perturbação senoidal na entrada da planta d(t) = 5sen(0.5t) durante toda a simulação. O resultado pode ser visualizado através das Fi- guras (4.34) e (4.35), e da Tabela (4.10). Intervalo Referência 0 < t6 5 r(t) = 2 5 < t < 10 r(t) = 1 106 t 6 15 r(t) = 2 t > 15 r(t) = 1
Tabela 4.9: Mudanças de referências
Novamente foram observadas boas propriedades de transitório e de robustez de am- bos os controladores. Assim como na primeira simulação, o IVS-MRAC apresentou um sinal de controle chaveado em alta frequência e de grande amplitude, enquanto que o do IDMARC apresentou-se chaveado de pequena amplitude durante o período das trocas de referência. A partir de aproximadamente t = 19s, já com a referência constante, o sinal de controle apresentou pequenas oscilações até o fim da simulação, devido a presença da perturbação senoidal na entrada da planta.
No que diz respeito aos índices baseados no erro de saída, o IVS-MRAC apresentou valores menores que os do IDMARC, apresentando um desempenho melhor, principal-
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t 0 1 2 y(t) e ym(t) Saídas Modelo de Referência Planta 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t -40 -20 0 20 40 u(t) u(t) Sinal de Controle
Figura 4.34: Desempenho do IVS-MRAC na presença de perturbação senoidal na entrada da planta e troca de referência
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t 0 1 2 y(t) e ym(t) Saídas Modelo de Referência Planta 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t -10 0 10 u(t) u(t) Sinal de Controle
Figura 4.35: Desempenho do IDMARC na presença de perturbação senoidal na entrada da planta e troca de referência
mente nos índices mais seletivos ITAE e ITSE. Nesse caso, quanto mais tempo de simu- lação, melhores seriam os índices do IVS-MRAC, pois como podemos visualizar através das Figuras (4.36) e (4.37), o erro de saída do IDMARC durante toda a simulação é da ordem de 10−3, enquanto o do IVS-MRAC é da ordem de 10−4.
Por outro lado, novamente foi observado que o IVS-MRAC requer um esforço de con- trole bem maior que o IDMARC, através dos índices Eu e σu. Um fato interessante a ser
citado é que nas duas simulações, os sinais de controle médio ( ¯u) dos dois controladores foram iguais.
Índice IVS-MRAC (105) IDMARC (105) IAE 0.035250 0.144934 ISE 0.009826 0.010301 ITAE 0.062421 2.935386 ITSE 0.000337 0.009087 Eu 401.2995 163.1065 ¯ u 0.000011 0.000011 σu 0.000080 0.000032
Tabela 4.10: Índices de desempenho para a simulação 2
para o IVS-MRAC e 77.53s para o IDMARC. Como já era esperado, nos dois casos o IDMARC levou mais tempo para concluir a simulação. Isso se deve ao fato de possuir um número maior de instruções a serem executadas.
Através das simulações, mantendo a mesma estratégia de sintonia dos parâmetros dos controladores, é possível perceber uma vantagem do IVS-MRAC no que diz respeito aos índices relacionados com o erro de saída durante o transitório, ou durante todo o tempo caso uma perturbação variante esteja atuando no sistema. Caso essa perturbação seja constante, o IDMARC apresentará os melhores índices no decorrer do tempo. Além disso, foi confirmada a principal motivação para o desenvolvimento do IDMARC: apresentar boas propriedades de transitório e de robustez, típicas do IVS-MRAC, apresentando um sinal de controle suave em regime permanente. Fato esse evidenciado pelas simulações e pelos índices baseados no sinal de controle. Essas características são importantes quando tratamos de aplicações práticas.
Com relação a robustez na presença de perturbação na entrada da planta e as trocas rápidas de referências, ambos os controladores apresentaram boas características, sendo sempre possível refazer o projeto individual de cada controlador de uma forma a melho- rar o desempenho com relação aos índices baseados no erro de saída ou no esforço de controle.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Eo(t) ×10-3 Eo Erro de Saída
Figura 4.36: Erro de saída do IVS-MRAC na presença de perturbação senoidal na entrada da planta e troca de referência
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 t -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Eo(t) ×10-3 Eo Erro de Saída
Figura 4.37: Erro de saída do IDMARC na presença de perturbação senoidal na entrada da planta e troca de referência
Conclusões
Neste trabalho, primeiramente foi desenvolvido o IB-MRAC, o qual se comporta como IMRAC para ganhos adaptativos baixos, e como IVS-MRAC quando os ganhos ten- dem a infinito. Ganhos estes fixos e definidos na fase de projeto. A análise de estabilidade deste controlador garante que as estimativas dos parâmetros da planta não irão escapar das suas regiões limitantes (uniformemente limitadas), que o vetor de erro do estado decresce de forma exponencial para um conjunto residual da ordem inversa dos ganhos adaptativos, e que o sistema é globalmente estável. Apesar da não realização de uma prova formal de estabilidade no que diz respeito à robustez para o IB-MRAC, o mesmo sugere robustez quando possui altos ganhos para os cenários que foram colocados, contendo perturbação na entrada da planta, variação paramétrica e dinâmica não-modelada. Por hipótese, ao impor ganhos altos ao algoritmo, o mesmo tende a herdar as características de robustez do IVS-MRAC.
Posteriormente, realizou-se o desenvolvimento do IDMARC. Algoritmo este que tor- nou possível obter um transitório rápido e sem oscilações (característico dos sistemas a estrutura variável), com um sinal de controle suave em regime permanente (característico dos controladores com adaptação paramétrica). Além disso, com o IDMARC foi possível atuar entre o IMRAC e o IVS-MRAC de uma forma automatizada, pois o parâmetro que determina o grau de atuação de cada um é determinado dinamicamente, a depender do erro de saída instantâneo.
Para o IDMARC, foram realizadas duas análises de estabilidade: para condições ide- ais e considerando a presença de perturbação na entrada da planta. Na primeira, foi pro- vado que todos os sinais do sistema em malha fechada são uniformemente limitados, assim como a norma do vetor de erro do estado ||e(t)|| tende a zero quando o tempo tende a infinito. Já na segunda, foi provado que ||e(t)|| é limitada e proporcional à magnitude da perturbação ¯d. Além disso, foi demonstrado que o vetor de erro do estado e(t) e o vetor de erros paramétricos da planta ˜θp convergem exponencialmente para um conjunto
residual, descrito em função de parâmetros de projeto.
Como a principal motivação do IDMARC foi melhorar o sinal de controle do IVS- MRAC, mantendo as suas características de transitório e de robustez, foi realizado um estudo comparativo entre os dois controladores fazendo uso de índices de desempenho para proporcionar uma análise quantitativa. Desse estudo, foi observado um desempenho transitório melhor para o IVS-MRAC com relação aos índices baseados no erro de saída. Isso acontece devido ao fato do IDMARC oscilar a sua atuação entre o IVS-MRAC e o
IMRAC durante o transitório. Entretanto, em regime permanente, foi verificado um de- sempenho melhor do IDMARC quando o cenário de robustez permanece constante por um tempo. Por exemplo, quando não há troca constante de referência em um curto inter- valo de tempo, e quando a magnitude da perturbação se torna constante por um tempo. No caso do cenário mudar constantemente ao longo do tempo (com troca de referência, variação paramétrica ou de perturbação), o IVS-MRAC puro alcança resultados bem me- lhores com relação ao erro de saída. No que diz respeito aos índices baseados no sinal de controle, o IDMARC possui melhores resultados em todos os casos, exigindo menos dos atuadores em aplicações práticas. É sempre importante deixar claro que existem diver- sas possibilidades de mudanças no projeto de ambos os controladores para obtenção de resultados melhores. Os resultados obtidos levaram em consideração a manutenção dos parâmetros que são comuns aos dois controladores.
Através deste trabalho, observamos que os controladores indiretos apresentam desem- penhos similares às suas versões diretas, e ainda permitem um projeto mais intuitivo do controlador, seja nas estimativas iniciais para os parâmetros da planta, nas amplitudes dos relés, ou na definição das regiões limitadoras, das quais as estimativas não podem ultrapassar. O aumento na carga computacional é balanceado atualmente pelo avanço dos processadores atuais.
A seguir, são listadas as principais contribuições desta tese:
1. Desenvolvimento do Controlador Adaptativo Binário por Modelo de Referência In- direto (IB-MRAC) para o controle de plantas lineares, monovariáveis, incertas, e com grau relativo unitário;
2. Realização da análise de estabilidade do IB-MRAC para condições ideais;
3. Desenvolvimento do Controlador em Modo Dual Adaptativo Robusto Indireto (ID- MARC) para o controle de plantas lineares, monovariáveis, incertas, e com grau relativo unitário;
4. Realização da análise de estabilidade do IDMARC para condições ideais;
5. Realização da análise de estabilidade do IDMARC considerando perturbação limi- tada na entrada da planta.
Como propostas de continuação deste trabalho, temos:
1. Análise de estabilidade do IB-MRAC considerando perturbações e dinâmica não- modelada;
2. Análise de estabilidade do IDMARC considerando dinâmica não-modelada; 3. Generalização do IDMARC para plantas com grau relativo arbitrário;
4. Utilização de técnica de aprendizagem por reforço para sintonia automática de pa- râmetros de projeto do IDMARC, como o L, σc e µp;
5. Aplicação prática dos controladores IB-MRAC e IDMARC;
6. Extensão dos controladores IB-MRAC e IDMARC para o caso multivariável e clas- ses de sistemas não-lineares;
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