Compatibilidade em t-estruturas limitadas

4.2.2 Compatibilidade em t-estruturas limitadas.

Nesta se¸c˜ao provaremos que no caso de t-estruturas limitadas as condi¸c˜oes da proposi¸c˜ao 4.10 s˜ao suficientes. Mas antes disso, demonstraremos que a no¸c˜ao de t-estrutura limitada equivale ao conceito de gerador em categorias trianguladas que definimos a continua¸c˜ao e do qual ´e poss´ıvel achar mais aplica¸c˜oes em [Hap88, p. 70].

Para mais informa¸c˜oes ver [Nee01, p. 103].

Defini¸c˜ao 4.37 Seja C subcategoria de D. Diremos que C gera D como subcategoria triangulada ou simplesmente gera, se D coincide com a mais pequena subcategoria trian-gulada de D que ´e estritamente plena e contem C como subcategoria.

O pr´oximo lema mostra que a no¸c˜ao t-estruturas limitadas e a de gerador em categorias trianguladas s˜ao equivalentes no caso particular em que o cora¸c˜ao da t-estrutura seja um gerador da categoria triangulada.

Lema 4.38 Seja A o cora¸c˜ao da t-estrutura (U, TU^⊥) em D. A geraD, se e somente se, t-estrutura(U, TU^⊥) ´e limitada.

Demonstra¸c˜ao: Seja C = [

n∈Z

U^≤n. Sabemos que U^≤n ⊂ U^≤n+1,∀n ∈ Z (ver pro-posi¸c˜ao 3.3), logo as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras:

a) C ´e uma subcategoria estritamente plena de D, pois para cada n ∈ Z, U^≤n ´e uma subcategoria estritamente plena de D, proposi¸c˜ao 3.6.

b) Da proposi¸c˜ao 3.3, segue que TC =C.

c) Do item b), o lema 3.16 e o axioma(TR2), segue que dado um triˆangulo distinguido Z

[1]

X ^//Y

[[

tal que X eY s˜ao objetos em C, ent˜aoZ ´e um objeto em C. d) Segue do lema 3.17 que C ´e aditiva.

Dos itens anteriormente, podemos afirmar que C ´e uma subcategoria triangulada de D (ver defini¸c˜ao 1.5.1 em [Nee01, p. 60]) e como A ⊂C ent˜ao C =D, poisA gera D por hip´otese.

Analogamente, se demonstra que [

n∈Z

U^≥n = D. Portanto, (U, TU^⊥) ´e limitada, de-fini¸c˜ao 3.50.

Reciprocamente, ver o lema 2.3 do artigo [LV12, p. 839].

A importˆancia de supor que a t-estrutura (V , TV^⊥) ´e limitada fica clara no resultado seguinte, pois ela nos permite provar que{X ∈D |H_Vⁿ(X)∈B^≤−n,∀n∈Z} ⊂ Obj(U), compare como o item b) da proposi¸c˜ao 4.10.

Teorema 4.39 Se B gera D como uma subcategoria triangulada. Ent˜ao as afirma¸c˜oes seguintes s˜ao equivalentes:

a) U ´e compat´ıvel com V^⊥.

b) Obj(U) ={X ∈D | H_Vⁿ(X)∈B^≤−n,∀n ∈Z}.

Demonstra¸c˜ao: Demonstraremos primeiro que b) ⇒a).

Fixado m ∈ Z, temos que provar que τ_≤m^V U ⊂ U. Suponhamos que X ∈ U, ent˜ao H_Vⁿ(X) ∈ B^≤−n. Por outro lado, pelo lema 3.42, temos que H_Vⁿ(X) = H_Vⁿ(τ_≤m^V (X)) se n ≤ m, sen˜ao H_Vⁿ(τ_≤m^V (X)) = 0, o qual implica que H_Vⁿ(τ_≤m^V (X)) ∈ B^≤−n,∀n ∈ Z. Portanto, τ_≤m^V (X)∈U.

Agora demonstraremos que a) ⇒ b).

Dado que Obj(U) ⊂ {X ∈ D | H_Vⁿ(X) ∈ B^≤−n,∀n ∈ Z}, pela proposi¸c˜ao 4.10, logo somente devemos demonstrar a outra inclus˜ao. SejaX ∈D tal queH_Vⁿ(X)∈B^≤−n,∀n ∈ Z, notemos que seX = 0 ent˜aoX ∈U pois U ´e aditiva. Suponhamos ent˜ao que X 6= 0, dado que por hip´otese B gera ent˜ao pelo lema 4.38 sabemos que (V, TV^⊥) ´e uma t-estrutura limitada, mais ainda pelo lema 3.49, deduzimos que a t-estrutura (V, TV^⊥) ´e n˜ao degenerada e que o conjunto finito e n˜ao vazio{p∈Z|H_Vⁿ(X)6= 0}, assim chamando der ao m´ınimo desse conjunto e de s ao m´aximo, temos a seguinte constru¸c˜ao:

Pela defini¸c˜ao de r, temos que H_Vⁿ(X) = 0,∀n < r, ent˜ao X ∈ V^≥r pelo teorema 3.48, assim pelo lema 3.15X =τ_≥r^V (X) e dado que o triˆangulo

τ_≥r+1^V (τ_≥r^V (X))

xx [1]

τ_≤r^V (τ_≥r^V (X)) ^//τ_≥r^V (X)

dd

´e distinguido, pela defini¸c˜ao 3.8, ent˜ao pelo lema 3.19 e a proposi¸c˜ao 3.40 segue que o triˆangulo

τ_≥r+1^V (X)

zz [1]

H_V^r(X)[−r] ^//X

``

´e distinguido. Logo aplicando a defini¸c˜ao 3.8 ao objeto τ_≥r+1^V (X), temos o triˆangulo distinguido

τ_≥r+2^V (τ_≥r+1^V (X))

ww [1]

τ_≤r+1^V (τ_≥r+1^V (X)) ^//τ_≥r+1^V (X)

ff

assim pelo lema 3.19 e a proposi¸c˜ao 3.40 temos o triˆangulo distinguido τ_≥r+2^V (X)

xx [1]

H_V^r+1(X)[−(r+ 1)] ^//τ_≥r+1^V (X)

cc

Logo, depois des−1 passos teremos o triˆangulo distinguido τ_≥s^V (X)

xx [1]

H_V^s−1(X)[−(s−1)] ^//τ_≥s−1^V (X)

bb

Finalmente, aplicando o mesmo racioc´ınio ao objeto τ_≥s^V (X), obtemos o triˆangulo distin-guido

τ_≥s+1^V (X)

zz [1]

H_V^s(X)[−s] ^//τ_≥s^V (X)

bb

No qual H_Vⁿ(τ_≥s+1^V (X)) = 0,∀n ≥ s+ 1, pela defini¸c˜ao de s e como H_Vⁿ(τ_≥s+1^V (X)) = 0,∀n < s + 1 teorema 3.48, ent˜ao H_Vⁿ(τ_≥s+1^V (X)) = 0,∀n ∈ Z, assim pelo lema 3.45 conclu´ımos que τ_≥s+1^V (X) = 0, ent˜ao τ_≥s^V (X) = H_V^s(X)[−s], pelo lema 1.30. Por outro lado, sabemos que H_Vⁿ(X) ∈ B^≤−n ⊂ U^≤−n,∀n ∈ Z, ent˜ao H_Vⁿ(X)[−n] ∈ U,∀n ∈ Z, assim em particularH_V^s(X)[−s]∈U, logoτ_≥s^V (X)∈U. Al´em disso,H_V^s−1(X)[−(s−1)] ∈ U, ent˜ao τ_≥s−1^V (X) ∈ U, pois U ´e fechada por extens˜oes. Por conseguinte repetindo o argumento um n´umero finito de vezes, teremos que τ_≥r+1^V (X)∈U e como H_V^r(X)[−r]∈ U ent˜ao X ∈U.

Finalmente a hip´otese de que a t-estrutura (U, TU^⊥) ´e limitada permite-nos demonstrar a compatibilidade com at-estrutura limitada(V, TV^⊥), a partir das condi¸c˜oes c) e d) da proposi¸c˜ao 4.10, mais ainda neste caso basta supor que o funtorH_U^p H_V^q se anula somente no cora¸c˜ao da primeira t-estrutura.

Teorema 4.40 Se A e B geram `a categoria D. Ent˜ao as afirma¸c˜oes seguintes s˜ao equivalentes:

(i) U ´e compat´ıvel com V^⊥.

(ii) Obj(U) ={X ∈D | H_Vⁿ(X)∈B^≤−n,∀n∈Z}.

(iii) Simultaneamente

a) H_U^p H_V^qA = 0, para todo p, q ∈Z tal que p+q >0.

b) Para cada morfismof :X−→Y na categoriaB, tal queX ∈B^≤neY ∈B^≤n−1 tem-se que: Ker(f)∈B^≤n e Coker(f)∈B^≤n−1.

Demonstra¸c˜ao: Pelo teorema 4.39, sabemos que (i) e (ii) s˜ao equivalentes. Al´em disso, pela proposi¸c˜ao 4.10 temos que (i) implica (iii), pois A ⊂U.

Por conseguinte, falta somente demonstrar que (iii) implica (ii), mas como B gera D ent˜ao {X ∈ D | H_Vⁿ(X) ∈ B^≤−n,∀n ∈ Z} ⊂ Obj(U) (ver prova do teorema 4.39). Consequentemente somente demonstraremos a outra inclus˜ao.

Por hip´otese A gera D, ent˜ao pelo lema 4.38 sabemos que (U, TU^⊥) ´e uma t-estrutura limitada, mais ainda pelo lema 3.49, deduzimos que at-estrutura (U, TU^⊥) ´e n˜ao dege-nerada. Logo, para cadaX ∈U temos os dois casos seguintes:

1) X ∈ A. Por hip´otese, para cada n ∈ Z temos que H_U^p (H_Vⁿ(X)) = 0, ∀p ∈ Z tal que p > −n. Ent˜ao pelo teorema 3.48 H_Vⁿ(X) ∈ U^≤−n, pois a t-estrutura (U, TU^⊥) ´e n˜ao degenerada na categoriaD. Portanto, H_Vⁿ(X)∈B^≤−n.

2) X /∈ U^≥0. Dado que U^≥0 ´e aditiva, ent˜ao X 6= 0, mais ainda X /∈ U^≥n, se n ≥ 0, poisU^≥n⊂U^≥0. Por outro lado, dado que at-estrutura (U, TU^⊥) ´e limitada, ent˜ao do lema 3.49 segue que o conjunto {p ∈ Z|H_Vⁿ(X) 6= 0} ´e finito e n˜ao vazio, assim chamando de r ao m´ınimo desse conjunto e aplicando o teorema 3.48, deduzimos que H_Vⁿ(X) = 0,∀n < r, logoX ∈U^≥r e como H_V^r(X)6= 0, ent˜ao X /∈U^≥n,∀n > r, isto

´er=max{n ∈Z|X ∈U^≥n}, o que implica quer ≤ −1. A continua¸c˜ao procederemos recursivamente sobre r:

I) r = −1. Aplicando a defini¸c˜ao 3.8 ao objeto τ_≥−1^U (X) temos que o triˆangulo distinguido

τ_≥0^U(τ_≥−1^U (X))

xx [1]

τ_≤−1^U (τ_≥−1^U (X)) ^//τ_≥−1^U (X)

ee

MasX ∈U^≥−1, ent˜ao pelo lema 3.15, temos queX =τ_≥−1^U (X), e pelo lema 3.19 τ≥0(τ_≥−1^U (X)) =τ_≥0^U(X), assim, obtemos o triˆangulo distinguido

τ_≥0^U(X)

{{ [1]

H_U⁻¹(X)[1] ^//X

^^

Logo pelo teorema 3.38, para cada n∈Z, a sequˆencia

H_Vⁿ⁻¹τ_≥0^U(X) ^{f //}H_Vⁿ⁺¹H_U⁻¹(X) ^//H_Vⁿ(X) ^//H_Vⁿτ_≥0^U(X) ^{g //}H_Vⁿ⁺²H_U⁻¹(X)

´e exata e comoB ´e uma categoria abeliana, obtemos a sequˆencia exata curta 0 ^//Coker(f) ^//H_Vⁿ(X) ^//Ker(g) ^//0

Assim pelo lema 3.37 temos que o triˆangulo Ker(g)

{{ [1]

Coker(f) ^//H_Vⁿ(X)

bb

´e distinguido. Al´em disso, dado que X ∈ U, ent˜ao τ_≥0^U(X) = H_U⁰ (X) ∈ A e como H_U⁻¹(X) ∈ A, segue do item 1) que H_Vⁿ⁻¹τ_≥0^U(X) ∈ B^≤−n+1 e que H_Vⁿ⁺¹H_U⁻¹(X) ∈ B^≤−n. Consequentemente, o item b) da hip´otese garante que Coker(f)∈B^≤−n. Analogamente, temos queH_Vⁿτ_≥0^U(X)∈B^≤−neH_Vⁿ⁺²H_U⁻¹(X)∈ B^≤−n−2 ⊂B^≤−n−1 e de novo pelo item b) da hip´otese conclu´ımos queKer(g)∈ B^≤−n. Portanto, H_Vⁿ(X)∈B^≤−n, dado que B^≤−n ´e fechada por extens˜oes.

II) r ≤ −2. Suponhamos que para algum k tal que r ≤ k < −1, j´a temos demonstrado a afirma¸c˜ao para k + 1, isto se, X ∈ U^≥k+1 e X ∈ U ent˜ao H_Vⁿ(X) ∈ B^≤−n,∀n ∈ Z. Agora demonstraremos que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira seX ∈U^≥k.

Pela defini¸c˜ao 3.8 aplicada ao objeto τ_≥k^U(X) temos que o triˆangulo distinguido τ_≥k+1^U (τ_≥k^U (X))

xx [1]

τ_≤k^U (τ_≥k^U (X)) ^//τ_≥k^U(X)

dd

Mas X ∈ U^≥k, ent˜ao pelo lema 3.15, temos que X = τ_≥k^U(X), e pelo lema 3.19 τ_≥k+1(τ_≥k^U(X)) =τ_≥k+1^U (X), assim, obtemos o triˆangulo distinguido

τ_≥k+1^U (X)

zz [1]

H_U^k(X)[−k] ^//X

``

Logo pelo teorema 3.38, para cada n∈Z, a sequˆencia

H_Vⁿ⁻¹τ_≥k+1^U (X) ^{f //}H_V^n−kH_U^k(X) ^//H_Vⁿ(X) ^//H_Vⁿτ_≥k+1^U (X) ^{g //}H_V^n−k+1H_U^k(X)

´e exata e comoB ´e uma categoria abeliana, obtemos a sequˆencia exata curta 0 ^//Coker(f) ^//H_Vⁿ(X) ^//Ker(g) ^//0

Assim pelo lema 3.37 temos que o triˆangulo Ker(g)

{{ [1]

Coker(f) ^//H_Vⁿ(X)

bb

´e distinguido. Al´em disso, dado que τ_≥k+1^U (X) = τ_≥k+1^U (τ_≤0^U(X)) ∈ U T

∈ U^≥k+1, ent˜ao pela hip´otese recursiva temos que H_Vⁿ⁻¹τ_≥k+1^U (X) ∈ B^≤−n+1 e como H_U^k(X)∈A, segue do item 1) que H_V^n−kH_U^k(X)∈B^≤−n+k ⊂B^≤−n, pois k < 0. Por conseguinte, o item b) da hip´otese garante que Coker(f) ∈ B^≤−n. Analogamente, temos queH_Vⁿτ_≥k+1^U (X)∈B^≤−neH_V^n−k+1H_U^k(X)∈B^{≤−n+r−1} ⊂ B^≤−n−1 e de novo pelo item b) da hip´otese conclu´ımos queKer(g)∈B^≤−n. Por-tanto, H_Vⁿ(X)∈B^≤−n, dado que B^≤−n ´e fechada por extens˜oes.

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