Complexidade Computacional do DOSP-NSDE

Para uma geração do DOSP-NSDE, os principais custos computacionais estão envolvidos na estratégia do OSP (linha 5 do Algoritmo 3 e linha 8 do Algoritmo 4). Os outros procedimentos têm um custo computacional menor. Dados o número de funções objetivo

𝑀, a dimensão do indivíduo 𝐷 e o tamanho da população 𝑁, as operações básicas e suas

complexidades são:

1. A complexidade do processo de detecção de mudanças é 𝑂(𝑁).

2. O mecanismo de reação à mudança gasta 𝑂(𝑁3) cálculos. A complexidade é dada

pelo procedimento de Aproximação de Soluções Líderes na estratégia OSP.

3. A complexidade computacional total do OSP-NSDE (𝑂(𝑁3_{)) também é dada pelo}

procedimento de Aproximação de Soluções Líderes.

4. O operador de truncamento tem complexidade 𝑂(𝑁2_{𝑙𝑜𝑔𝑁), já que os indivíduos}

diferem em relação ao segundo ou terceiro vizinho mais próximo e, portanto, a clas- sificação das distâncias rege a complexidade geral (ZITZLER; LAUMANNS; THIELE,

5. A complexidade dos procedimentos da estratégia OSP (Algorithm 2) é a seguinte: • Pré-processamento de dados: 𝑂(|𝑍| · 𝑀 · 𝑁), onde |𝑍| é o número de gerações

usadas no método OSP.

• Determinação do "melhor indivíduo": 𝑂(𝑁 · 𝑀).

• Previsão com o modelo AR: A estimativa dos parâmetros do modelo AR gasta

𝑂(𝑁 ·𝑀2_{) cálculos no método dos mínimos quadrados, e a previsão gasta 𝑂(𝑁)}

cálculos.

• Aproximação de Soluções Líderes: Esta otimização intermediária usando o mé- todo SQP tem alta complexidade (𝑂(𝐼 · 𝑁3_{)). Nele, a maior complexidade}

computacional do SQP é o número de passos (𝐼) necessárias multiplicado pelo custo de resolver o QP convexo (𝑂(𝑁3)). Outros métodos menos complexos

podem ser empregados neste processo. No entanto, mais investigações são ne- cessárias para analisar o desempenho do OSP-NSDE com esses outros métodos. • Completando a população usando o GMM-LS: Determinar os parâmetros do GMM usando a VI requer 𝑂(𝐿 · 𝐷) cálculos, e reparar as soluções não viáveis exige 𝑂(𝑁 · 𝐷) cálculos.

É importante notar que a estratégia de OSP é pouco usada no EA multiobjetivo devido ao critério baseado em HV, uma vez que permite poucas execuções desta estratégia. Por conta disso, o pior caso raramente ocorre. Em suma, o OSP é executado apenas quando pode ser mais útil para o processo evolucionário.

5 RESULTADOS EXPERIMENTAIS

O DOSP-NSDE foi validado através de simulações, usando um número de benchmarks muito utilizado na literatura, e foi comparado com vários DMOEAs baseados em predição para um conjunto de DMOPs selecionados. A primeira parte do capítulo está dedicada a analisar o comportamento do DOSP-NSDE ante às mudanças dos seus parâmetros (análise da sensibilidade) e a analisar a influência da frequência e da severidade das mudanças da paisagem no desempenho do algoritmo proposto. Todas as abordagens foram independentemente executadas 20 vezes. O tamanho da população (𝑁𝑃 ) foi definido para 100 indivíduos de dimensão 𝐷 = 20. O teste de Friedman (FRIEDMAN, 1937) e o pós-teste

de Nemenyi (NEMENYI, 1962) foram realizados para indicar significância entre diferentes

resultados no nível de significância de 0,05.

Para estes experimentos foram escolhidos nove DMOPs bi-objetivos (DF1-DF9) e cinco DMOPs de três objetivos (DF10-DF14) do conjunto de testes de competição CEC2018

(JIANG et al., 2018). Essas funções têm características que também podem ser frequen-

temente encontrados em problemas do mundo real, alguns deles são PF/PS geometrias dependentes do tempo, formas de PF irregulares, como desconexão e joelho (knee). Além disso, funções como FDA1-FDA3 e dMOP2 (DMOPs bi-objetivos) foram selecionadas do conjunto de testes FDA (FARINA; DEB; AMATO, 2004) e dMOP (GOH; TAN, 2009), res-

pectivamente. Além disso, UDF1, UDF2, UDF4 e UDF5 foram escolhidos do conjunto de testes UDF (BISWAS et al., 2014), onde para esses dois últimos problemas de teste

há uma relação de correlação não-linear entre as variáveis de decisão. Para avaliar o de- sempenho DOSP-NSDE foram escolhidas várias métricas amplamente usadas. Assim, se calcularam os valores médios da Distância Geracional Invertida (IGD) (WANG; LI, 2009),

HiperVolume (HV) (ZITZLER; BROCKHOFF; THIELE, 2007) e da métrica de Espaçamento

de Schotts (SP) (SCHOTT, 1995) para a comparação do algoritmo proposto com os outros

algoritmos.

Outros experimentos foram realizados para compreender melhor o método OSP. As- sim, neste capítulo apresenta-se uma secção dedicada a análise da estratégia quando ela é empregada como CRM, e a influência do OSP quando é usada como parte do otimiza- dor multiobjetivo (OSP-NSDE). Nesta última parte, o OSP-NSDE foi validado através de simulações usando alguns problemas de teste MOPs bem conhecidos. Foram escolhi- dos sete MOPs de dois objetivos (UF1-UF7) e três MOPs de três objetivos (UF8-UF10) do conjunto de testes de UF. Os problemas de Zitzler-Deb-Thiele (ZDT), consistindo de cinco MOPs de dois objetivos (ZDT1-ZDT4 e ZDT6), também foram empregados no es- tudo. Por último, os experimentos foram realizados em dois outros conjuntos de testes conhecidos com três objetivos: DTLZ1-7 e WFG1-9. OSP-NSDE foi comparado com onze algoritmos de última geração sobre MOPs selecionados. Os experimentos foram execu-

tados usando PlatEMO, uma plataforma livre e baseada em MATLAB para otimização multiobjetivo evolucionária (TIAN et al., 2017). Três métricas de desempenho, Distância

Geracional Invertida (IGD), HiperVolume (HV) e Performance Metrics Ensemble (HE; YEN, 2013) foram empregadas para avaliar o OSP-NSDE e os outros algoritmos. No caso

do Performance Metrics Ensemble, nove indicadores[1]_{codificados em PlatEMO são usados}

para calcular a classificação dos algoritmos. Todas as referências para os problemas de teste, métricas de desempenho e algoritmos usados em experimentos podem ser encontra- das em (TIAN et al., 2017). Todas as abordagens foram executadas 30 vezes independentes

para um número máximo de 300000 avaliações de funções. O tamanho da população foi definido para 100 indivíduos. O teste da soma de postos de Wilcoxon foi escolhido para comparar os resultados obtidos pelo OSP-NSDE e os outros algoritmos ao nível de significância de 0,05.

Finalmente, o capítulo apresenta os resultados dos experimentos em problemas reais. Todos os experimentos foram executados em um notebook com CPU de 2,5GHz, 8GB de RAM e sistema operacional Windows10. A Tabela 4 resume os diferentes experimentos e os problemas, métricas e configuração paramétrica usados neste capítulo.

Tabela 4 – Condições Experimentais.

Experimento Secção Problemas Métricas Configuração

Experimental Teste esta-tístico *Análise da sensibili- dade 5.1 _FDA1-3DF1-14 dMOP2 UDF1,2,4,5 IGD HV SP Execuções: 20 NP: 100 D: 20 *Influência da frequên-

cia e da severidade das mudanças da paisagem 5.2 Teste de Friedman e Nemenyi *OSP como CRM 5.3.1 *Comparação do DOSP-NSDE com DMOEAs baseados em predição 5.4

*OSP dentre do otimi-

zador (OSP-NSDE) 5.3.2 UF1-7 ZDT1-4,6 DTLZ1-7 WFG1-9 IGD HV Ensemble Execuções: 30 NP: 100 D: muda com o problema Wilcoxon rank sum test

[1] _{Os indicadores de desempenho são Métrica de Cobertura, Métrica para Diversidade, Distância Gera-}

cional, HiperVolume, Distância Geracional Invertida, HiperVolume Normalizado, Diversidade Pura, Espaçamento e Spread.