Nesta subseção, veremos que a categoria Diff das variedades diferenciáveis admite uma teoria de cohomologia natural, chamada de cohomologia de De Rham.
A ideia é a seguinte: como Ωk(M) é módulo sobre D(M), também é espaço vetorial. Além disso, a regra que a cada função f associa a sua diferencial df é linear. Através dela, definiremos outros mapas lineares dk : Ωk(M) → Ωk+1(M), chamados de derivadas exteriores, os quais constituirão um complexo de cocadeias e comutarão com pullbacks. Assim, ficará definido um functor CdR : Diff → dVecR
que ao ser composto com H : dVecR → VecR dará a teoria de cohomologia procurada.
Para definir as derivadas exteriores, observamos que toda k-forma ω fica comple-tamente determinada por seu comportamento local em um sistema de coordenadas. Mas numa carta x : U → Rn qualquer, ω é a combinação linear de termos do tipo ai1...ik · dxi1 ∧ ... ∧ dxik. Assim, todo mapa com domínio em Ωk(M) fica caracteri-zado pela maneira como age em funções, em diferenciais de funções e em produtos exteriores, sendo estendido por linearidade.
Como queremos que a derivada exterior seja uma generalização da derivada usual, seu comportamento em funções está previamente fixado. Isto é, deve-se ter dkf = df . Assim, procuramos por condições em diferenciais de funções e em produtos exteriores que façam dos dk um complexo de cocadeias e, para cada f : M → N, dos pullbacks f∗
k : Ωk(N) → Ωk(M) um morfismo entre os correspondentes complexos. Isto é, procuramos por condições que certifiquem
dk+1◦ dk = 0 e fk+1∗ ◦ dk = dk◦ fk∗. (8.2) Em outras palavras, o que deve aparecer do lado direito de
d1(df ) =? e dk(ω∧ ω′) =?
para que valham as expressões (8.2)? Certamente a nulidade de d1(df ) é condi-ção necessária para dk+1◦ dk = 0. Rapidamente se verifica que isto, junto com a antilinearidade
dr+s(ω∧ ω′) = drω∧ ω′+ (−1)sω∧ dsω′ são suficientes para o que procuramos. Por exemplo, temos
dk(ai1...ikdxi1 ∧ ... ∧ dxik) = dai1...ik∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik + (−1)kai1...ik· dk(dxi1 ∧ ... ∧ dxik) = da ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxi , (8.3)
já que o segundo termo da soma se traduz em um combinação de coisas do tipo d1(df ), as quais são todas nulas. Desta forma, pela mesma justificativa,
dk+1(dk(ai1...ikdxi1 ∧ ... ∧ dxik)) = 0.
Assim, as derivadas exteriores haverão de ser exatamente as regras dk que coin-cidem com a derivada usual para k = 0, que se anulam em derivadas de funções (isto é, que cumprem d1(df ) = 0) e que são antilineares. Estas existem e são únicas. Para a unicidade, observe que as condições exigidas a determinam localmente (veja expressão (8.3)). Para a existência, basta defini-las localmente por (8.3) e verificar que elas independem da carta escolhida e cumprem com o requerido.
Diante disso, fica definido um functor CdR : Diff → dVecR, que a cada variedade M faz corresponder o complexo de cocadeias formado das derivadas exteriores dk : Ωk(M) → Ωk+1(M), e a cada f : M → N associa a sequência dos pullbacks f∗
k. Os
respectivos
HdRk : Diff → VecR, tais que Hk
dR(M) = ker(dk+1)/img(dk), são as cohomologias de De Rham.
.
Observação. Existe uma maneira intrínseca de definir a derivada exterior, que é a seguinte: para uma dada k-forma ω, coloca-se
dkω(X0, ..., Xk) = k X i=0 (−1)iXi(ω(X0, ..., ˆXi, ..., Xk)), + k X i<j (−1)i+jω([Xi, Xj], X0, ..., ˆXi, ..., ˆXj, ..., Xk),
em que o chapéu indica a omissão do correspondente termo. Para ver que tal expressão de fato computa a derivada exterior, por questões de unicidade de dk, basta mostrar que em coordenadas locais ela se resume a (8.2).
Capítulo 9
Geometria
Em alguns momentos anteriores, comentamos que a geometria de uma varie-dade pode ser sintetizada no ato de reduzir o grupo estrutural de seu fibrado dos referenciais. No presente capítulo, reforçamos esta máxima.
Iniciamos definindo, de maneira precisa, o que vem a ser uma redução no fibrado dos referenciais: tratam-se de subfibrados principais de fr(M), estruturados por um subgrupo do grupo linear. Se este subgrupo é G, diz-se a redução corresponde a uma G-estrutura.
Em seguida mostramos que as G-estruturas estão em pareamento bijetivo com seções de um certo fibrado associado a fr(M), de modo que reduzir os referenciais possíveis é, efetivamente, dar um conjunto de transformações que preservam uma seção. Por um lado isto mostra que as reduções estão sujeitas a obstruções. Por outro, nos dá uma estratégia natural de identificar as seções que a definem.
Ainda na primeira seção, exemplificamos como a existência de tais obstruções são refletidas na física: elas impedem que consideremos qualquer variedade como modelo para o universo. De fato, quanto mais refinada for a geometria da teoria física em questão, mais restritos serão os referenciais que ela engloba e, consequentemente, as variedades que modelarão os sistemas por elas descritos estarão sujeitas a um maior número de obstruções.
Já na segunda seção, mostramos que as G-estruturas são os objetos de uma categoria (que, na verdade, é um grupoide). Em tal categoria, um morfismo entre duas G-estruturas, digamos implementadas por seções σ e σ′, corresponde a um
difeomorfismo f tal que f∗σ = σ′. Na sequência, estudamos as G-estruturas (ditas integráveis) que são localmente isomorfas à estrutura trivial.
Finalizamos o capítulo apresentando diversos exemplos de geometrias que podem ser descritas em termos de reduções de referenciais. Ali determinamos as seções que as definem, bem como as obstruções por elas enfrentadas. Além disso, damos uma caracterização à sua integrabilidade e comentamos seu interesse em física.
Textos clássicos sobre o assunto incluem [22, 84]. Outra referência interessante é a obra [12].
9.1 Estruturas
Um subfibrado π : P → M de fr(M) estruturado por G é usualmente chamado de G-estrutura na variedade M. Ao obter uma delas, diz-se que foi realizada uma redução no grupo estrutural do fibrado dos referenciais. Os elementos da fibra Pb são precisamente os referenciais b : Rn → T Mp tais que, se g ∈ GL(n), então o referencial b ◦ g está em Pb se, e só se, g ∈ G.
Observamos que, de maneira análoga, pode-se falar de reduções no grupo estru-tural de qualquer fibrado principal. Neste contexto genérico, a existência de reduções se depara com certas obstruções topológicas. Isto se deve ao seguinte: se π é um H-fibrado principal qualquer e G ⊂ H é subgrupo, tem-se uma ação natural de H em H/G. Mostra-se, pois, que as reduções de π a G estão em bijeção com as seções do fibrado associado a π por meio de tal ação (veja, por exemplo, o sexto capítulo de [40]). Assim, a existência de reduções se resume ao problema de obtenção de seções. Este último, como já vimos, admite diversas obstruções topológicas.
Se de um lado o resultado anterior evidencia a existência de dificuldades para se obter G-estruturas, de outro ele nos fornece uma estratégia bastante interessante para encontrá-las. Com efeito, a ideia é olhar para o espaço homogêneo GL(n)/G e identificá-lo com um conjunto conhecido. Feito isto, dar uma G-estrutura será o mesmo que fornecer uma regra que a cada p ∈ M faz corresponder um elemento de tal conjunto.
Rn (isto é, por um fibrado descendente de T Rn) no qual GL(n) age de maneira transitiva, tendo G como grupo de isotropia de algum destes tensores. Neste caso, poderemos escrever
V (Rn)≃ GL(n)/G,
fornecendo-nos a identificação procurada. Assim, pode-se dizer que G-estruturas são traduzidas, em grande parte dos casos, em seções σ de fibrados que descendem de T M. E, neste caso, as obstruções oferecidas à existência de tais estruturas se resumem exatamente às classes características da variedade M.
Em suma, no diagrama abaixo, já apresentado em outros momentos do texto, a primeira seta pode ser acrescida de uma inversa:
secçõesks classes +3
caracteristicas +3redução dos
referenciais
+3geometria
Exemplos
Abaixo apresentamos exemplos da dinâmica apresentada pelo diagrama anterior. Eles serão desenvolvidos com mais detalhes na última secção.
Exemplo 9.1.1. A obstrução para a existência de reduções a SL(n) é precisamente a primeira das classes de Stiefel-Whitney. Via pullback, o grupo linear geral age transitivamente no espaço das n-formas alternadas e não-nulas de Rn (isto é, no espaço de suas formas de volume). Todas elas ficam estáveis pela ação do grupo linear especial. Consequentemente,
GL(n)/SL(n)≃ Ωn(Rn)− 0,
mostrando-nos que as SL(n)-reduções correspondem às formas de volume em M. Uma variedade que admite uma forma de volume é dita orientável.
Exemplo 9.1.2. Como veremos mais adiante, as obstruções à redução de GL(n) ao grupo O(r, s) são as últimas s classes de Stiefel-Whitney de M. Para identificar quem são as seções associadas a tal estrutura, observamos que o grupo linear geral admite uma ação natural e transitiva no espaço das formas bilineares simétricas e não-degeneradas de Rn. Além disso, qualquer um destes mapas que tenha forma
canônica (−1, ..., −1, 1, ..., 1), com s termos “−1” e r termos “1” é estável pela ação de O(p, q). Assim, GL(n)/O(r, s)≃ g ∈ Sym2 0(Rn), g é não-degenerada e de assignatura (r, s) ,
de modo que as reduções fr(M) ao grupo O(r, s) estão em bijeção com as métricas semi-Riemannianas de assinatura (r, s) na variedade M. Isto é, com as seções g de T2
0M que são simétricas, não-degeneradas e que em cada ponto possuem assinatura (r, s).
Exemplo 9.1.3. Dois casos particulares do exemplo anterior merecem destaque: as métricas de assinatura (n − 1, 1) e (n, 0) chamam-se, respectivamente, lorentzianas e riemannianas. Elas correspondem às reduções ao grupo de Lorentz O(n − 1, 1) e a O(n). Pelo exemplo anterior, inexiste obstrução à existência de métricas rieman-nianas (o que está de acordo com o que discutimos em outras instâncias do texto), mas para que uma variedade admita métricas lorentzianas é preciso que sua última classe de Stiefel-Whitney se anule. Ou seja, é preciso que ela possua um campo de vetores que não se anula em nenhum ponto. Este não é o caso, por exemplo, das esferas em dimensão par.
Exemplo 9.1.4. Reduções à interseção entre dois grupos indicam compatibilidade entre as geometrias subjacecentes. No entanto, para a existência de uma tal redu-ção, enfrenta-se as obstruções de cada uma das partes. Por exemplo, a existência de uma redução a SO(n) = O(n) ∩ SL(n) traduz a compatibilidade entre as geo-metrias induzidas por métricas riemannianas e por formas de volume. Como não existem obstruções à existência de métricas riemannianas, segue-se que toda va-riedade orientável pode ter grupo estrutural reduzido de SL(n) para SO(n). Em termos explícitos, a compatibilidade entre O(n) e SL(n) se traduz na possibilidade de construir formas de volume partindo-se de qualquer métrica riemanniana.