5.2 Comportamento do sistema do nível no interior do separador cen-
5.2.1 Comportamento em Termos dos Parâmetros Γ e β
A equação 5.24 descreve o nível do líquido no interior do separador em termos das variáveis Γ e
β definidas para a equação. O intuito da utilização desse tipo de notação é facilitar a visualização
do sistema, facilitando a identificação de seus limites e comportamento característico. Considere a constante a2 = −ab um valor negativo (onde ab >0), e a1 = 0. O nível do líquido terá a seguinte
equação: dl dt = q(t) − q β2+ Γ2(l − l c) (5.31)
com as variáveis reescritas da seguinte forma:
q(t) = qin A + B 2a2A (5.32) β2 = B 2 4a2 bA2 +γ 2H S+pρgG − CM 2 abA2 (5.33) Γ2 = 1 abA2 (5.34) nas equações acima o subscrito de B foi omitido para simplificar a notação.
Segundo essa equação, não haverá um limite de validade para os valores reais máximos que o nível no interior do separador poderá assumir sendo, no entanto, fixado um limite inferior para tais valores. São admitidos valores reais tais que l > lc−β
2
Γ2. Suponha uma tubulação de escoamento de
líquido acoplada à base do separador, ter-se-á um nível inferior mínimo (lmin) quando l = lc−β 2
Γ2.
Esse nível mínimo não pode ser assumido como um limite fixo já que, como pode ser observado nas definições β e Γ, há uma dependência de β com a fração total da frequência de rotação da bomba (γ) e com outros parâmetros do sistema como a pressão da gás acima da coluna de líquido e a pressão e vazão no interior da tubulação de escoamento do líquido. De modo geral, haverá uma relação de dependência do lmin com γ de modo a haver uma diminuição do seu valor à medida que
se aumenta a velocidade de rotação da bomba, essa relação será uma reta de inclinação negativa.
β, por sua vez, aumenta com o aumento da frequência de rotação da bomba γ. Essa previsão
está de acordo com o comportamento físico intuitivamente esperado para o sistema já que é logico pensar que um aumento da velocidade de rotação da bomba torne o escoamento do líquido para o exterior do recipiente cada vez mais eficiente, assim, quanto mais fluido se retira do sistema menor o nível de líquido dentro do separador.
No intuito de se analisar a convergência do sistema seja, por exemplo, o comportamento do nível nas imediações de um ponto de referência l = l0, em um intervalo suficientemente pequeno
para que se admita a linearização da equação diferencial em torno desse ponto. Com base na série de Taylor: f(x)| = f(x ) +f 0(x 0) (x − x ) +f00(x0) (x − x )2+ ... + fn(x0) (x − x )n (5.35)
a equação 5.31 pode ser linearizada em torno da l = l0, da seguinte maneira: ˙l = q(t) −q (β2+ Γ2l 0) − Γ 2 2p (β2+ Γ2l 0) (l − l0) (5.36)
A equação homogênea acima determina a evolução temporal do nível do líquido a partir de condições iniciais especificadas e em torno de um ponto de equilíbrio determinado pelo ponto de referência l0 essa equação é reescrita da seguinte forma:
˙l + bl = q(t) (5.37) onde b = Γ2
2
√
(β2+Γ2l0)
Tem-se em mãos, uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ser facilmente analisada por técnicas tradicionais de engenharia de controle. Aplicando-se a transformada de laplace à equação chega-se à função de transferência abaixo
L(s) Q(s) =
1
s+ b (5.38)
Para essa função de transferência, L(s) é a transformada de laplace e l(t) e Q(s), a transformada de q(t). A convergência de um sistema está associada a existência de polos negativos [Ogata 2010], logo, para se satisfazer a exigência de que do nível no interior do separador convirja para certas condições de trabalho, sua equação correspondente deverá ser convergente para um, ou um conjunto de pontos de referência l0, sob tais condições. Assim a convergência do sistema estará
garantida quando b tiver um valor real positivo. Observe que a raiz quadrada e o fato de Γ ser um valor positivo, garantem que b também será um valor positivo nesse caso.
Consideremos inicialmente o caso hipotético em que pG e CM 2 são constantes ao longo do
tempo. O retrato de fase do sistema, ou a relação entre a taxa de variação temporal do nível e o próprio nível, tem seu comportamento delimitado pela equação 5.31, o formato dessa equação guarda semelhanças com a equação de uma elipse a qual será utilizada como guia para análise do comportamento do sistema. Seja então a seguinte elipse:
˙l − q2
+ Γ2(l − l
c)2= β2 (5.39)
O retrato de fases do sistema atribuído à equação 5.31 bem como a elipse característica, dada pela equação 5.39 são mostrados na Figura 5.5. Observa-se na Figura, que a elipse característica do sistema tem origem no ponto (lc, q) plano cartesiano ˙l versus l. A Figura ainda assinala os
tamanhos dos lados da elipse, tendo o maior, o valor dado por β/Γ, e o lado menor com valor dado por β. A circunferência característica descreve os traços gerais da lei que dita as possíveis velocidades (˙l) assumidas em relação à posição do nível. A curva do retrato de fases mostrado na Figura intercepta essa elipse em, pelo menos, dois pontos. O mínimo ponto de valores reais do retrato de fases é assinalado como X na Figura e corresponde a β2
verde) intercepta a elipse nos pontos em que l = lc.
Algumas características do sistema podem ser retiradas diretamente da leitura da Figura e da definição das variáveis simplificadas dadas pelas equações 5.34, 5.32 e 5.33. O valor mínimo nível de líquido no interior do separador (ponto X na Figura 5.5) é uma função da velocidade de rotação, logo, da capacidade de elevação da bomba; da pressão do gás acima da coluna de líquido no interior do recipiente e dos valores de pressão e da vazão no início da tubulação de escoamento do líquido. Assim, uma elevação da velocidade de rotação da bomba ou de um desses valores implicará num aumento do valor de γ, aumentando β e, consequente, deslocando o ponto assinalado como X para esquerda. Dessa forma, quanto maior vazão de saída gerada pela bomba, mais líquido será lançado para o exterior do separador e menor será o nível mínimo que o sistema pode alcançar.
Uma maior vazão de entrada deslocará o ponto q para cima, consequentemente, a elipse ca- racterística também será deslocada já que seu centro é determinado pelo ponto q. Observe que a curva característica é justamente denominada assim por que seu deslocamento é acompanhado pelo deslocado do retrato de fases, de forma que a relação entre as duas curvas sempre permanece como mostrado na Figura 5.5.
Figura 5.5: A parte real do retrato de fases do sistema intercepta a circunferência (em azul) em,
pelo menos, dois pontos. A linha clara (em verde) mostra a curva de validade do retrato de fases do sistema
A pressão do gás acima do nível do líquido influencia no comportamento do sistema impondo uma diminuição do mínimo valor alcançado pelo nível l, com aumento do valor de β. Os resultados coincidem com o esperado intuitivamente do sistema físico já que quanto mais rápido a bomba extrai o fluido do interior do separador centrífugo, mais rápido o nível baixará. Da mesma forma, uma maior pressão sobre o líquido acaba por aumentar a velocidade de escoamento do fluido para fora do recipiente, já que a força por unidade de área exercida sobre o fluido aumentará.
O parâmetro CM 2 é uma medida da pressão e da vazão do fluido no interior da tubulação
de escoamento do líquido num ponto que equivale ao início da tubulação, ou seja, o ponto da tubulação que está acoplado ao recipiente. Um aumento do valor desse parâmetro acarretará uma diminuição do valor de β e um consequente deslocamento do ponto X da Figura 5.5 para a direita. Para uma dada posição fixa na abcissa do plano cartesiano ˙l versus l, por exemplo lc, se o retrato
de fases for deslocado para esquerda, o valor de ˙l dado pela curva do retrato de fases (em verde) será maior para essa posição. Portanto, lc ficará mais próximo do nível mínimo permitido ao
líquido, já que este foi deslocado para direita. Como lcé um ponto fixo no recipiente de separação,
uma maior velocidade de variação do nível nesse ponto significa que o recipiente poderá encher mais.
O valor de CM 2 aumenta com o aumento da pressão e, em geral, diminui com o aumento da
vazão no ponto referente ao início da tubulação, esse resultado também concorda com o compor- tamento físico esperado já que uma menor vazão aliada a uma maior pressão nesse ponto indicam que uma quantidade menor do líquido que entra, consegue sair. O parâmetro é dado pela equação abaixo já discutida em Capítulos anteriores (ver Capítulo 4).
CM 2= H − BQ + RQ|Q|
A equação polinomial de segunda ordem acima impõe um intervalo de valores de vazão Q para o qual CM 2 pode assumir valores negativos. Q na equação acima é a vazão do líquido no ponto
equivalente ao início de tubulação de escoamento do líquido. Assim, uma vazão que aumente gradativamente a partir do zero irá inicialmente decrescer o valor de β até um valor mínimo aumentando-o, a partir de então, sob um comportamento de uma curva polinomial de segunda ordem. Dessa forma, haverá uma vazão ótima para a qual CM 2será mínimo e "o trabalho da bomba
será mais leve". Como Q é uma função da frequência de rotação da bomba esse ponto mínimo
poderá ser alcançado com ajuste da rotação.
O parâmetro B2 foi apresentado na seção 4.1.2 e advém do comportamento transiente do fluido
no interior da tubulação de escoamento do líquido com o aparecimento da um pulso de pressão que viaja a velocidade subsônica, gerado por uma perturbação do escoamento. B2 é diretamente
proporcional à velocidade desse pulso e pode ser visualizado como uma quantificação do resultado de uma perturbação sobre o escoamento do fluido no interior da tubulação. Um aumento do valor desse parâmetro aumenta β, desloca o ponto assinalado como X na Figura para esquerda o que pode ser visto como uma facilitação do escoamento do líquido para forma do recipiente. Por outro lado, esse mesmo aumento causa um aumento de q, que desloca a elipse característica para cima, assim haverá uma velocidade maior de subida do nível no interior do recipiente de separação, o que pode ser entendido como uma dificultação do escoamento do liquido para fora do recipiente. Dessa forma, tem-se um indicativo de que os efeitos de transientes gerados por perturbações no escoamento do fluido afetam a capacidade do sistema de escoar o líquido para o exterior do separador. Isso pode gerar complicações ao controle do fluxo e, consequentemente, do nível de líquido no interior do recipiente.
A eficiência da bomba centrífuga aumenta com a2, já que a diferença de pressão entre a saída
e a entrada da bomba é proporcional ao quadrado da vazão na tubulação vezes a2 (ver equação
5.30). Esse é um parâmetro de adequação da curva de desempenho da bomba que deve ser obtido experimentalmente e que foi discutido na seção 4.3. Um aumento de a2 diminui β e deslocado o
ponto X para direita. Esse resultado também coincide com o intuitivamente, esperado já que uma bomba mais eficiente imprimirá uma maior vazão ao sistema permitindo menores alturas mínimas do nível de líquido.